整體思想解題策略研究

周超富

[摘要]整體思想是數學解題中一種重要的思想方法.從整體上認識問題，利用知識聯系來對問題簡化變形，可實現問題的高效求解.整體思想解題的策略有整體代入、整體換元、整體變形、整體轉化等.研究應用整體思想解題的策略，能提高學生的解題能力.

[關鍵詞]整體思想;解題;策略

[中圖分類號]G633.6? [文獻標識碼]A? [文章編號]1674-6058（2020）02-0016-02

整體思想是特殊的思想方法.整體思想，即探究問題時不著眼于問題的局部，而是關注問題的整體形式、結構、特點，從而充分認識問題，把握問題的本質內涵.整體思想的常用解題策略有如下幾種.

一、整體代入

整體代入常用于數與式的運算中，解題時常將題干的條件視為一個整體，代入到所求問題中，從而減少計算量，提高解題效率.整體代入最為關鍵的一步是根據實際情況對問題或條件進行變形，構建出符合代入的形式結構.

[例1]已知，試求的值.

解析：直接利用已知條件無法求出a和b的值，只能考慮通過觀察已知式和待求式的特點，采用整體代入的方式求解.首先對已知式進行簡單變形，可得a-b=-4ab，則只需要在待求式中變形出a-b的形式，就可以建立條件與問題之間的關系.而，將代入上式可得，即的值為6.

評析：本題屬于代數式的求值題.常用的求解方法有兩種.一是求解未知參數間接求值;二是整體代入間接求值.而上述解題過程采用的就是整體代入的方法.先變形，后整體代入.雖增加了結構分析的過程，但可以簡化運算.

二、整體換元

換元法是數學解題常用的簡化方法，而與整體思想相結合的整體換元更能凸顯方法的優勢，尤其是對于多元、高次方程問題，巧妙利用整體換元法可以達到降低思維難度的目的.而在整體換元過程中需要關注兩點：一是關注其中的相同項;二是關注參數的取值范圍.

[例2]已知x和y均為實數，且滿足方程x²+3x+y-3=0，試求x+y的最大值.

解析：已知條件為二元二次方程，x和y之間存在著大小關系，因此無法直接求出x和y的值.此時可以將x+y視為一個整體，通過整體換元將已知方程變形為關于x的函數，然后利用函數的性質求最值.將已知方程等號的左側變形為x+y，則有x+y=x²-2x+3，令x+y=z，則z=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，已知x為實數，則當x=-1時，z可取得最大值4，即x+y的最大值為4.

評析：本題的難點在于所給方程既是關于x的方程，也是關于y的方程，無法直接獲得x和y的取值范圍.實際上該方程就是x和y的關系式，最為有效的方式就是通過整體換元的方式構造出求解函數，利用函數求最值的方法達到目的.

三、整體變形

在遇到一些不規則的圖形問題時，可以考慮應用整體變形的方式，通過適當地補全或分割來求解.

[例3]已知半圓O的直徑AB為2，在其圓弧上取一點C，過點C作AB的平行線，交圓弧AB于點D，再連接OC和OD，如圖1所示.若∠COD=90°，連接AD和CO，試求圖中陰影部分的面積.

解析：本題屬于常見的幾何陰影面積求值題.圖中的陰影部分為扇形和三角形的組合，常規的求法是通過割補的方式來求解.但相對而言，計算步驟較多，需要考慮多個圖形的幾何面積.此時可以從整體上來考慮.由于CD//AB，對于△ADC，可以視為是以CD為底，以點A為頂點的三角形，則CD邊上的高就為點O到CD的距離，分析可知其面積與△COD的面

積相等，通過重新組合可知陰影部分就與扇形OCD的面積相等，可直接利用扇形面積公式完成求解，即，則圖中陰影部分的面積為.

評析：本題是從整體上對圖形進行重組變形，是圖形割補的一種方式，相較于常規的面積割補，其特殊之處在于采用了局部等面積轉化的方式，并從整體上將陰影部分變形為一個規則圖形.該整體變形的關注點有兩個：一是圖形的規則化;二是圖形整體的簡潔化.

四、整體轉化

轉化是一種重要的解題策略.從整體上對問題進行轉化變形則是基于數學整體思想的一種重要形式.即解題時基于知識之間的聯系，將問題轉化為等價的新問題，然后通過對新問題的簡單求解來達到解題的目的.采用整體轉化策略解題時需要特別關注轉化前后是否“等價”，確保答案準確.

[例4]已知一次函數的解析式為，反比例函數的解析式為，如果兩函數的交點為點A（-2，-1）和點B（n，2），回答下列兩個問題：

（1）試求兩函數的解析式;

（2）已知不等式y₁>y₂，試求x的取值范圍.

解析：本題為常規的函數題，對于第（1）問可以采用常規的“點與函數解析式的互求”策略來求解，可解得一次函數解析式為y=x+1，反比例函數的解析式為.對于第（2）問，粗略看屬于解不等式題，但考慮到是以函數為背景的問題，則可以采用整體化歸的策略.將問題轉化為函數圖像分析題，分別繪制y₁和y₂的圖像，如圖2所示.y₁>y₂則表示一次函數圖像位于反比例函數圖像上端的部分.根據圖像可知在原點的左側為-21，因此x的取值范圍就為-21.

評析：本題是中考常見的函數綜合題，其特殊之處在于第（2）問依托函數構建了不等式問題，在解題時可以充分利用不等式與圖像之間的聯系，從整體上將問題轉化為函數圖像分析題.該解法的優勢在于幾何法解代數問題更具直觀性，可簡化運算直接獲解.

總之，無論是整體代入、還原，還是整體變形、化歸，都是整體思想解題的表現形式，其在代數與幾何問題中均有著廣泛的應用.整體思想的應用是基于對問題的本質認識，對學生的能力有著較高的要求.因此在實際教學中，教師要引導學生注重知識本質的挖掘，養成整體分析的習慣，逐步拓展學生的解題思路.

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