正方形教學案例分析

柏承娟

(新疆克拉瑪依市第九中學 新疆克拉瑪依 834000)

一、課堂引入

1.做一做：用一張長方形的紙片（如圖所示）折出一個正方形。

學生在動手做中對正方形產生感性認識，并感知正方形與矩形的關系.問題：什么樣的四邊形是正方形？

正方形定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。

指出：正方形是在平行四邊形這個大前提下定義的，其定義包括兩層意思：

2.問題：正方形有什么性質？

由正方形的定義可以得知，正方形既是有一組鄰邊相等的矩形，又是有一個角是直角的菱形。

所以，正方形具有矩形的性質，同時又具有菱形的性質。

二、例題分析

例1（人教版教材P58例5），求證：正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形。

已知：四邊形ABCD是正方形，對角線AC、BD相交于點O（如圖）。

求證：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形。

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AC=BD，AC⊥BD，

AO=CO=BO=DO（正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分）

∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO

例2（補充），已知：如圖，四邊形ABCD是正方形，分別過點A、C兩點作l1//l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直線MB、ND分別交l2于Q、P點。

求證：四邊形PQMN是正方形。

分析：由已知可以證出四邊形PQMN是矩形，再證△A B M ≌△D A N，證出AM=DN，用同樣的方法證AN=DP，即可證出MN=NP，從而得出結論。

證明：∵PN⊥l1，QM⊥l1，

∴PN//QM，∠PNM=90°

∵PQ//NM，

∴四邊形PQMN是矩形

∵四邊形ABCD是正方形

∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四條邊都相等，四個角都是直角）

∴∠1+∠2=90°

又∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3

∴△ABM≌△DAN

∴AM=DN，同理AN=DP

∴AM+AN=DN+DP

即MN=PN，

∴四邊形PQMN是正方形（有一組鄰邊相等的矩形是正方形）

三、隨堂練習

1.正方形的四條邊_________，四個角_________，兩條對角線__________。

2.下列說法是否正確，并說明理由。

（1）對角線相等的菱形是正方形；（ ）

（2）對角線互相垂直的矩形是正方形；（ ）

（3）對角線垂直且相等的四邊形是正方形；（ ）

（4）四條邊都相等的四邊形是正方形；（ ）

（5）四個角相等的四邊形是正方形。（ ）

3.已知：如圖，四邊形ABCD為正方形，E、F分別

為CD、CB延長線上的點，且DE＝BF。

求證：∠AFE＝∠AEF

四、課后練習

1.如圖，E為正方形ABCD內一點，且△EBC是等邊三角形，求∠EAD與∠ECD的度數。

2.已知：如圖所示，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，求證：四邊形CFDE是正方形。

點評：本節的主要內容是正方形概念、性質和判定方法，重點是正方形定義。

學生在小學階段對正方形已有初步了解，生活中應用很廣，其實正方形不僅是特殊的平行四邊形，而且是特殊的矩形和特殊的菱形，學好正方形有助于鞏固矩形、菱形各自特有的性質和判定。

學生在小學學過了正方形，他們知道正方形的四個角都是直角，四條邊相等，正方形的面積等于它邊長的平方，本節課的教學是加深學生的理論認識，拓寬學生的知識面，使學生理解為什么正方形的四個角都是直角，四條邊相等，拓寬學生對正方形對角線性質的知識。在教學中可以讓學生動手從一張矩形紙中折出一個正方形，培養學生的實踐能力。另外，通過對正方形定義和性質的講解，培養學生類比思想、歸納思想、轉化思想和隔離方法。

掌握正方形定義是學好本節的關鍵，正方形是在平行四邊形的前提下定義的，它包含兩層意思：

正方形不僅是特殊的平行四邊形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形。教師在教學時要結合教科書P58中的圖18.2-11，具體說明正方形與矩形、菱形的關系，這些關系是教學難點，也是教學內容的重點和關鍵，要結合圖形或教具，或用簡單的集合關系圖，使學生把正方形與平行四邊形、矩形、菱形的關系搞清楚。這些概念重疊交錯，不易搞清楚，在教學這些內容時進度可稍放慢些。

因為正方形是平行四邊形、矩形，又是菱形，所以它的性質是它們性質的綜合，不僅有平行四邊形的所有性質，也有矩形和菱形的特殊性質，所以講正方形性質的關鍵是在復習矩形、菱形的基礎上進行總結?？梢詫⒄叫蔚男再|總結如下：

邊：對邊平行，四邊相等；

角：四個角都是直角；

對角線：對角線相等，互相垂直平分，每條對角線平分一組對角。

還要讓學生注意到：正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，對角線與邊的夾角是45°；正方形的兩條對角線把它分成四個全等的等腰直角三角形，這是正方形的特殊性質。要使學生熟悉這些最基本的內容。

對于怎樣判定一個四邊形是正方形，因為層次比較多，不必分析得太具體，只要強調能判定一個四邊形是矩形，又能判定這個矩形也是菱形，或者先判定四邊形是菱形，再判定這個菱形也是矩形，就可以判定這個四邊形是正方形，實際上就是根據正方形定義來判定。

正方形的性質和判定是本大節講的平行四邊形、菱形、矩形的性質與判定的綜合?？梢酝ㄟ^本節的教學總結、歸納前面所學的內容，還可以通過本節的教學，澄清學生存在的一些模糊概念。

本節課安排了兩個例題，例1是人教版教材P58的例4，例2是補充的題目。其中例1是正方形性質的應用，在講解時，應注意引導學生正確運用其性質，例2是正方形判定的應用，它是先判定一個四邊形是矩形，再證明一組鄰邊相等，從而可以判定這個四邊形是正方形。隨后可以再做一組判斷題，進行練習鞏固（參看隨堂練習1），為了活躍學生的思維，也可以將判斷題改為下列問題讓學生思考：

1.對角線相等的菱形是正方形嗎？為什么？

2.對角線互相垂直的矩形是正方形嗎？為什么？

3.對角線垂直且相等的四邊形是正方形嗎？為什么？如果不是，應該加上什么條件？

4.能說“四條邊都相等的四邊形是正方形”嗎？為什么？

5.說“四個角相等的四邊形是正方形”對嗎？