關(guān)于拋物線的焦點(diǎn)弦教學(xué)的一點(diǎn)思考

羅志勇

考綱要求掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線的幾何性質(zhì)以及拋物線與直線的位置關(guān)系，理數(shù)形結(jié)合的思想。因此拋物線是歷年考試的重點(diǎn)，常以選擇、填空題的形式考查拋物線的方程、幾何性質(zhì)，以解答題的形式考查直線與拋物線的位置關(guān)系等。縱觀近幾年高考小題中對(duì)拋物線的考查主要是兩種形式：一是考查拋物線的定義;二是考查拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)。特別是拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)頻繁出現(xiàn)，而許多學(xué)生在考試中卻不能很快速的找到解題的切入點(diǎn)，不善于運(yùn)用焦點(diǎn)弦的性質(zhì)結(jié)論，小題大做，浪費(fèi)了大量時(shí)間的不說，而且準(zhǔn)確率不高。本文就拋物線中焦點(diǎn)弦問題談?wù)勛约旱囊稽c(diǎn)思考。

【問題】已知拋物線，過焦點(diǎn)F作一直線l交拋物線于，其傾斜角為θ，分別過A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為A1，B1，弦AB的中點(diǎn)為M，線段A1B1的中為M1。

性質(zhì)1、（1）=2X0+p。

（2）若直線l的傾斜角為，則弦長。

（3）當(dāng)時(shí)，，即過焦點(diǎn)的弦中通徑長最小2P。

性質(zhì)2、（1） ;（2） 。

性質(zhì)3、以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切。

性質(zhì)4、。

性質(zhì)5、

針對(duì)以上性質(zhì)，請(qǐng)看下面的例子：

例1.（2008年全國Ⅱ卷）已知F是拋物線的焦點(diǎn)，過F且斜率為1的直線交C于A、B兩點(diǎn).設(shè)，則|FA|與|FB|的比值等于__ ? ? ? ?.

解、由題意知，解得

例2、（2010年重慶卷）已知以F為焦點(diǎn)的拋物線上的兩點(diǎn)A、B滿足，則弦AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為____ ? ? ? ? .

解、由知直線AB過拋物線的焦點(diǎn)F，設(shè)則，

又知

解得，所以弦AB中點(diǎn)到準(zhǔn)線得距離。

例3.（2017全國1卷理科10）已知F為拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則的最小值為（ ? ）.

A.16 ? ? ? ?B.14 ? ? ? ?C. 12 ? ? ? D.10

解、設(shè)AB的傾斜角為θ，拋物線的準(zhǔn)焦距為p.作AK1垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)K1，AK2垂直X軸于點(diǎn)K2，如圖所示.

則.

又DE與AB垂直，即DE的傾斜角為，.

所以，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最小值為16.故選A.

通過以上實(shí)例可以看出拋物線的定義與性質(zhì)的考查比較受命題專家組的青睞。從以上試題在試卷中位置來看，往往是以中等或者中等偏上的難度出現(xiàn)。而試題風(fēng)格“走大道，求大氣”，注重考查學(xué)科思維方法和創(chuàng)新能力。

對(duì)于拋物線的這個(gè)重要考點(diǎn)，實(shí)際上老師都是重點(diǎn)講解，也拓展很多相關(guān)結(jié)論。但是很多學(xué)生在考試中不善于運(yùn)用性質(zhì)，甚至有些小題大做。我覺得主要原因是教師只是把大量的性質(zhì)結(jié)論拋給學(xué)生，而沒有針對(duì)這些性質(zhì)進(jìn)行有效的課堂訓(xùn)練，特別是合理運(yùn)用性質(zhì)去解決這類問題，當(dāng)然若能用計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，圖形就會(huì)更直觀，效果會(huì)更好。所以在備考中，解決此類問題要達(dá)到小題小做、小題巧做、事半功倍的效果。