考慮融合算法與交叉熵的畢達哥拉斯決策模型

宋 娟

寧夏大學 物理與電子電氣工程學院 寧夏沙漠信息智能感知重點實驗室，銀川750021

1 引言

管理決策分析主要用于在可數的備選策略或對象集合中，依據相關的指標或標準進行評價分析，最終優選出綜合條件最好的策略或對象[1-2]。由于現實管理決策問題復雜性急劇增加，20 世紀60 年代，著名學者Atanassov在模糊集理論[3]的基礎上，引入了以隸屬函數和非隸屬函數為特征的直覺模糊集[4]的概念，這是對模糊集概念的一種推廣形式，因為模糊集的基本成分只是隸屬函數。對于直覺模糊集中的元素，每對有序組合的隸屬度和非隸屬度之和小于或等于1。文獻[5]提出了直覺模糊加權平均算子、直覺模糊有序加權平均算子和直覺模糊混合聚集算子。隨后，文獻[6]建立了直覺模糊加權幾何算符、直覺模糊有序加權幾何算符、直覺模糊混合幾何算符等幾何集合算符，并將其應用于評價信息為直覺模糊數的多屬性群決策問題中。文獻[7]基于阿基米德范數定義了直覺模糊廣義運算法則，并構建了廣義形式直覺模糊信息集成算子，探究了它們的一些常用算子形式。Vlachos 和Sergiadis[8]引入了直覺模糊交叉熵的概念，并且將其應用于模式識別、醫療診斷和圖像分割中。

雖然直覺模糊集得到了廣泛的運用，但是其有時候也會存在一些缺陷。比如，當專家提供的隸屬度為0.6，非隸屬為0.7 時，這種情況下就不能夠運用直覺模糊集來表達專家評價信息。于是，作為直覺模糊集的擴展模糊集，畢達哥拉斯模糊集[9]就被提出，其雖然也是以隸屬函數和非隸屬函數為特征，但是不同于直覺模糊數，畢達哥拉斯模糊數中隸屬度和非隸屬度的平方和小于或等于1，因此畢達哥拉斯模糊數能描述更多的不確定信息[10]。類似于直覺模糊集，信息融合算法和交叉熵理論也是畢達哥拉斯模糊集理論的兩個重要研究課題[11]。Reformat 和Peng 和Yang[12]構建了畢達哥拉斯模糊優劣關系排序方法來解決畢達哥拉斯模糊多準則組決策問題。Ren 等[13]提出了畢達哥拉斯模糊TODIM 多準則決策方法。Zeng 等[14]構建了一種混合方法應用于畢達哥拉斯模糊多準則決策問題。Garg[15]提出了一種新的廣義畢達哥拉斯模糊信息聚集方法。Wei[16]利用算術和幾何運算開發了一些畢達哥拉斯模糊交互聚合算子，其中包括畢達哥拉斯模糊交互加權平均算子、畢達哥拉斯模糊交互加權幾何算子、畢達哥拉斯模糊交互有序加權平均算子、畢達哥拉斯模糊交互有序加權平均算子、畢達哥拉斯模糊交互混合平均算子、畢達哥拉斯模糊交互混合幾何算子等等。文獻[17]基于正弦函數和正切函數設計了兩種畢達哥拉斯模糊交叉熵，然后建立相應的決策模型，并應用于綠色供應商的選擇問題中，但是其中的交叉熵計算方法較為復雜。

綜上分析可知，信息融合算法和交叉熵對于深入研究畢達哥拉斯模糊集理論具有重要作用。然而現有的這些融合算法缺乏考慮輸入屬性值間存在的內在關系，同時忽略了領導者在決策中的重要價值；另一方面，現有研究中信息集成算法較為單一，沒有一個較為統一的融合形式。因此，本文首先定義了廣義畢達哥拉斯模糊數運算法則，并結合幾何Heronian 平均[18]，提出靈活性更高且能夠挖掘數據關聯性的畢達哥拉斯模糊幾何Heronian平均算子，同時基于對數函數設計了計算方式較為簡單的畢達哥拉斯模糊交叉熵，最后構建新的畢達哥拉斯模糊決策模型，并通過引進人才團隊案例驗證模型的可靠性。

2 預備內容

定義1[18]令ai≥0(i=1,2,…,n)，p,q ＞0，則稱：

為a1,a2,…,an的幾何Heronian 平均，簡記為GHM。事實上，GDM 在對數據融合的過程中不僅可以挖掘它們之間的內在聯系，還能夠突出領導人在決策中的重要地位。

面對現實中的復雜決策問題，學者們通過引入畢達哥拉斯模糊集來對決策評價信息進行全面的概括。定義2[9]令Y={y1,y2,…,ym}是給定的方案集，則稱：

為畢達哥拉斯模糊集，這里的μA(yi),νA(yi)均表示Y 到[0，1]上的函數，分別表示隸屬度和非隸屬度，且(yi)+(yi)∈[0,1]。為了便于計算，稱αi=(μi,νi)=(μA(yi),νA(yi))為畢達哥拉斯模糊數，記Ω 為畢達哥拉斯模糊數集合。

現有成果中定義在畢達哥拉斯模糊信息上的基本運算法則大部分是基于代數運算或Einstein 運算得到的。為了擴大畢達哥拉斯模糊信息融合算法的使用范圍和靈活性，豐富信息融合算法樣式，下面將介紹新的畢達哥拉斯模糊數基本運算法則。

定義3 令α=(μ,ν),α1=(μ1,ν1),α2=(μ2,ν2) 均為畢達哥拉斯模糊數，定義新的基本運算法則：

這里的函數g(t)具有單減性，函數h(t)具有單增性，且h(t)=g(1-t)，h-1(t)=1-g-1(t)。

3 PFGHM算子的構建和基本性質

對于一列畢達哥拉斯模糊數，本章基于第2章中定義的基本運算法則和幾何Heronian平均，提出畢達哥拉斯模糊幾何Heronian 平均（PFGHM）算子，該算子在挖掘畢達哥拉斯模糊數關聯關系和突出領導人重要地位的同時，還擴大了信息集成算子的靈活性。

定義4 令αi(i=1,2,…,n)為一組畢達哥拉斯模糊數，參數p,q ＞0，如果映射PFGHM:Ωn→Ω 滿足：

則 稱PFGHM(α1,α2,…,αn) 為 畢 達 哥 拉 斯 模 糊 幾 何Heronian平均（PFGHM）算子。

定理1 令αi(i=1,2,…,n)為一組畢達哥拉斯模糊數，參數p,q ＞0，則運用PFGHM 算子集成的結果也是畢達哥拉斯模糊數，并且有：

證明（1）首先證明公式（4）成立。由于：

則

那么

所以

從而

（2）接下來證明運用PFGHM 算子集成的結果也是畢達哥拉斯模糊數。易知PFGHM 算子集成結果的隸屬度和非隸屬度均為非負數。下面將詳細分析PFGHM算子集成結果的隸屬度和非隸屬度的平方和不超過1。

而g(t)和g-1(t)單調遞減，h-1(t)=1-g-1(t)，所以

隨后有：

于是

因此

則

那么

上式即表示PFGHM 算子集成結果的隸屬度和非隸屬度的平方和不超過1。

于是證明了定理1的結論正確。

接下來，將簡單分析PFGHM算子一些性質。

性質1（冪等性）令專家給定的一列畢達哥拉斯模糊數αi=(μi,νi)(i=1,2,…,n)均相同，即αi=α,i=1,2,…,n，則有：

性質2（單調性）令αi=(μi,νi),βi=(φi,φi)(i=1,2,…,n)是兩列不同的畢達哥拉斯模糊數，若μi≤φi,νi≥φi,i=1,2,…,n，于是：

性質3（有界性）令專家給定的一列畢達哥拉斯模糊數αi=(μi,νi)(i=1,2,…,n)，那么：

性質4（置換性）令{α′1,α′2,…,α′n}是{α1,α2,…,αn}通過隨機排列后得到的畢達哥拉斯模糊數序列，那么：

PFGHM(α′1,α′2,…,α′n)=PFGHM(α1,α2,…,αn)（11）

4 畢達哥拉斯模糊交叉熵及其計算模型

不同信息環境下數據之間通常存在著一定的差異性，而交叉熵就是衡量決策信息間差異性的一種有效工具，其也是模糊信息測度中的一種較為常用形式。本文在構建模型的過程中，將借鑒TOPSIS 思想刻畫備選方案和正負理想方案之間的差異程度。因此，本章首先提出了畢達哥拉斯模糊交叉熵的公理化定義條件，并結合對數函數構造出計算方法更為簡便的交叉熵計算模型，該模型從隸屬度和非隸屬度兩個角度進行設計，從而保證了交叉熵計算模型的可靠性和精確性。

定義5 假定α1=(μ1,ν1),α2=(μ2,ν2)是兩個畢達哥拉斯模糊數，則稱二元函數C(x,y)是畢達哥拉斯模糊交叉熵，如果其滿足：

（1）C(α1,α2)≥0；

（2）C(α1,α2)=0 當且僅當μ1=μ2,ν1=ν2。

假設α1=(μ1,ν1),α2=(μ2,ν2) 都是畢達哥拉斯模糊數，基于對數函數，構建下面的信息測度公式：

定理2 通過公式（12）構建得到的信息測度c(α1,α2)是畢達哥拉斯模糊數α1和α2的交叉熵。

證明 在證明信息測度（12）滿足定義5的兩個條件之前，首先設計如下函數：

因此c(α1,α2)≥0。

（2）c(α1,α2)=0 ?

綜上，證明了定理2的結論成立。

5 畢達哥拉斯模糊決策算法及其應用

5.1 決策模型

令Y={y1,y2,…,ym}和C={C1,C2,…,Cn}分別是決策問題中給定的方案集和指標評價屬性集合。專家提供屬性值信息運用畢達哥拉斯模糊數αij來表示。為了進行備選方案的優選，下面將運用本文提出的PFGHM算子和交叉熵模型構建一種新的畢達哥拉斯模糊決策算法。具體如下：

步驟1 依據專家提供的畢達哥拉斯模糊數評價信息，構造出畢達哥拉斯模糊決策矩陣P=(αij)m×n，并根據實際問題背景將矩陣P=(αij)m×n進行標準化處理，得到新的畢達哥拉斯模糊決策矩陣Q=(βij)m×n。

步驟2 運用PFGHM 算子將畢達哥拉斯模糊決策矩陣Q=(βij)m×n中的每一行屬性評價值進行融合，生成備選方案對應的綜合評價值βi(i=1,2,…,m)。

步驟3 運用公式（12）計算βi(i=1,2,…,m)分別與正理想方案α+=(1,0)和負理想方案α-=(0,1)的交叉熵c(αi,α+)和c(αi,α-)。

步驟4 計算備選方案yi(i=1,2,…,m)對應的綜合評價值βi的貼近度：

步驟5 依據貼近度的大小，對備選方案進行優劣排序，并選擇最優方案。

5.2 模型應用

為了加快實現高校雙一流建設的目標，某高校人事部門依據建立的人才引進計劃，擬引入一個人才團隊。在眾多應聘的人才團隊中，該高校人事部門已對應聘團隊的基本條件和業務水平進行了初步篩選，最后有四個人才團隊{y1,y2,y3,y4}入圍綜合面試流程。為了對面試的人才團隊進行綜合素質考察，該高校人才引進小組將從以下四個方面對參與面試的人才隊伍進行評估，分別包括：科研能力C1、教學能力C2、人才團隊人員分布合理性C3以及科研規劃C4。為了更為全面表示不確定評價信息，人才引進小組在評估時運用畢達哥拉斯模糊數αij進行了信息的表達，并構建了如下的畢達哥拉斯模糊數決策矩陣P=(αij)4×4：

步驟1 由于人才隊伍的四個考核指標均為收益性，因此原始畢達哥拉斯模糊數決策矩陣P=(αij)4×4不需要進行標準化。

步驟3 運用設計的畢達哥拉斯模糊交叉熵計算公式（12）確定四個人才團隊對應的綜合屬性信息αi(i=1,2,3,4)與正理想人才團隊α+=(1,0)和負理想人才團隊α-=(0,1)的交叉熵，計算結果如下：

步驟4 通過公式（14）計算得到四個人才團隊綜合評價值αi(i=1,2,3,4)的貼近度分別為：

Γ1=0.454 1,Γ2=0.547 8,Γ3=0.529 4,Γ4=0.487 3

步驟5 由于Γ2＞Γ3＞Γ4＞Γ1，那么這四個人才團隊的綜合素質優劣順序為y2?y3?y4?y1，因此建議該校人事部門聘請人才團隊y2。

為了說明本文提出的PFGHM 算子的穩定性，接下來，令函數g(t)=（p=q=1），此時運用新的PFGHM算子形式，并結合畢達哥拉斯模糊交叉熵，計算得到四個人才團隊的綜合素質優劣順序結果見表1。分析表1中的決策結果可知，當PFGHM 算子運用不同的函數g(t)進行計算時，最終得到的四個人才團隊的綜合素質優劣順序結果相同，這也說明了本文提出的PFGHM算子的內在一致性。

表1 人才團隊優選結果

為了說明構建的畢達哥拉斯模糊決策算法的合理性和有效性，下面將分別運用文獻[19]和文獻[17]中的算法模型處理上述的人才團隊優選問題。文獻[19]主要是依據設計的畢達哥拉斯模糊冪加權平均算子對專家的評價信息進行融合，并基于設計的算子構建一個畢達哥拉斯決策方法。文獻[17]則通過正弦函數和正切函數設計了兩個畢達哥拉斯模糊交叉熵計算模型，同時構造出畢達哥拉斯模糊決策方法。在分別運用文獻[19]和文獻[17]中的決策方法計算上述人才團隊優選問題時，得到的最終結果詳見表1所示。

通過表1中的決策結果可知，運用本文構建的決策模型與文獻[19]和文獻[17]得到的最優人才團隊均為y2，這說明了構建的基于PFGHM算子和交叉熵的畢達哥拉斯模糊決策算法是合理的。進一步，深入分析表1中四個人才團隊綜合素質優劣順序的結果可知，文獻[19]中決策算法計算得到的結果與本文方法計算結果存在一定的差異，即人才團隊y1和y4的優劣序不同。事實上，根據專家提供的原始畢達哥拉斯模糊決策矩陣P=(αij)4×4可知，y4對應的屬性評價值大部分都高于y1對應的屬性評價值，即y4?y1，這與本文算法的計算結果相一致。另一方面，文獻[19]中決策算法是運用畢達哥拉斯模糊冪加權平均算子進行信息的融合計算，其在計算過程中沒有考慮到專家提供的評價信息之間存在相互聯系的情形。因此，本文提出的決策模型更為合理可靠。

6 結束語

本文首先定義了畢達哥拉斯模糊數的新運算法則，然后將幾何Heronian 平均融入到畢達哥拉斯模糊決策信息的集成過程中，提出了畢達哥拉斯模糊幾何Heronian平均算子，該算子不僅能夠挖掘輸入屬性值的內在聯系，還可以突出領導者的重要存在價值；緊接著，運用對數函數設計了衡量畢達哥拉斯模糊數之間差異的交叉熵；最后，建立了新的畢達哥拉斯模糊決策模型，并通過高校引進人才團隊實例進行了驗證分析。本文在信息融合的過程中，僅考慮了屬性權重相同的情形，因此，今后將基于信息熵設計合理可靠的屬性權重計算方法以完善畢達哥拉斯模糊信息融合理論。