例析解析幾何中有關(guān)線段長(zhǎng)度問題的幾種典型處理策略

范習(xí)昱

(江蘇省鎮(zhèn)江市丹徒高級(jí)中學(xué) 212143)

解析幾何中有關(guān)線段長(zhǎng)度問題是解析幾何中最為普遍和基礎(chǔ)的研究對(duì)象，屬于解析幾何的核心內(nèi)容范疇，并且所考查知識(shí)和技能都是通性通法，近年來頻繁出現(xiàn)在一些省市高考題和大型質(zhì)量檢測(cè)題中，受到命題專家的青睞.在解決這些解析幾何問題時(shí)，如果方法選擇不當(dāng)，勢(shì)必會(huì)導(dǎo)致繁雜的計(jì)算，學(xué)生很難繼續(xù)進(jìn)行，大多半途而廢.本文筆者結(jié)合一線教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和思考，立足通性通法，充分考慮課堂教學(xué)及考試的可操作性，利用典型例題探討解析幾何中有關(guān)線段長(zhǎng)度問題的幾種典型的處理策略.歡迎指正.

一、與原點(diǎn)相關(guān)線段長(zhǎng)度問題，運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式策略

線段的一個(gè)端點(diǎn)是原點(diǎn)是解析幾何中有關(guān)線段長(zhǎng)度問題最為簡(jiǎn)單和普遍的一種，難度一般不大.由于原點(diǎn)坐標(biāo)的簡(jiǎn)單特殊性，我們的處理策略一般是運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式.即：

若P(x1,y1),Q(x2,y2)，則

(1)求橢圓E的方程；

(2)設(shè)直線MA,MB與y軸分別交于點(diǎn)C,D，求證：OC·OD為定值．

(2)證明：顯然直線MA，MB的斜率存在．設(shè)M(x0，y0)，A(s,t),B(-s,t),則lMA的方程為：

所以O(shè)C·OD=|yC·yD|

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

二、與圓錐曲線焦點(diǎn)相關(guān)線段長(zhǎng)度問題，運(yùn)用圓錐曲線統(tǒng)一定義策略

圓錐曲線中的焦點(diǎn)弦或者焦半徑是一類特殊的線段，處理這類線段長(zhǎng)度問題，若仍然運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式，就會(huì)帶來較為復(fù)雜的計(jì)算，這是解析幾何的大忌.我們?nèi)绻\(yùn)用圓錐曲線統(tǒng)一定義，將其轉(zhuǎn)化為圓錐曲線上的點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離，將大大消減繁雜的計(jì)算，學(xué)生極易上手，應(yīng)該是這類相關(guān)問題的首選策略.即：

∴|P1F2|+|P3F2|=2a-e(x1+x3),2|P2F2|=2a-2ex2，∵x1+x3=2x2，

∴|P1F2|+|P3F2|=2|P2F2|，故|P1F2|、|P2F2|、|P3F2|成等差數(shù)列．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1)．

點(diǎn)評(píng)與反思案例3的三個(gè)線段都是雙曲線的焦半徑，而案例4的線段AB是橢圓的一條焦點(diǎn)弦，可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)焦半徑的和，運(yùn)用圓錐曲線統(tǒng)一定義，將這類線段轉(zhuǎn)化為圓錐曲線上的點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離，使計(jì)算繼續(xù)進(jìn)行成為可能，操作性很強(qiáng)，學(xué)生較易掌握.

三、同一直線上的線段長(zhǎng)度問題，運(yùn)用圓錐曲線的弦長(zhǎng)公式策略

當(dāng)一些相關(guān)線段的端點(diǎn)在某條或者某兩條直線上時(shí)，我們可以引入直線斜率去掉根號(hào)和消掉一組坐標(biāo)(橫或縱)，運(yùn)用圓錐曲線的弦長(zhǎng)公式處理線段長(zhǎng)度問題，這樣利于控制計(jì)算量達(dá)到解決目的.即：

若P(x1,y1),Q(x2,y2)是斜率為k的直線l上的兩點(diǎn)，則

(1)求橢圓C的方程；

當(dāng)l平行于x軸時(shí)，AM=AN，所以BM=BN，從而點(diǎn)B在y軸上，設(shè)B(0，t)；

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)由題意，設(shè)直線l1的方程為y=k1(x-t)，代入橢圓E的方程中，并化簡(jiǎn)得

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2),

同理，PCPD所以為定值．

四、圓中的線段長(zhǎng)度問題，運(yùn)用圓的弦長(zhǎng)公式策略

圓是特殊而對(duì)稱的，圓中的線段長(zhǎng)度問題其實(shí)很多是圓的弦長(zhǎng)問題，我們運(yùn)用圓的弦長(zhǎng)公式一般就能解決此類問題.即：

(1)求證：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M始終在一個(gè)確定的橢圓上；

(2)過點(diǎn)T(-2，t)(t∈R)作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.

①求證：直線AB過定點(diǎn)(與t無關(guān))；

(2) ①不難求出直線AB的方程為-2x+ty=2，所以直線AB過定點(diǎn)(-1，0)．

練習(xí)：

以上四類解析幾何中有關(guān)線段長(zhǎng)度的問題，根據(jù)線段呈現(xiàn)的背景不同，歸納總結(jié)了相應(yīng)四種處理策略，一般來講也是優(yōu)選考慮的策略，是基于解析幾何根本指導(dǎo)思想的解析法而展開思考的，其他的方法比如參數(shù)方程法等等或許也能較為便捷的解決一些問題，考慮到學(xué)生的接受成本和通法的重要性，這里不主張講解，一線教師應(yīng)該有這種經(jīng)驗(yàn).

從某種意義上說，高中解析幾何教學(xué)最大的問題是如何提高學(xué)生的運(yùn)算能力，但在時(shí)間有限、考試壓力等等因素的影響下，提高學(xué)生的運(yùn)算能力的空間已經(jīng)十分有限.很多高三老師的經(jīng)驗(yàn)和做法是從適當(dāng)優(yōu)化計(jì)算策略入手，讓學(xué)生充分審題，選擇較為合理的解題方法，以此彌補(bǔ)計(jì)算上的不足.當(dāng)然，放棄運(yùn)算能力的培養(yǎng)，絕對(duì)是不可取的.

數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)十分重要的一個(gè)指標(biāo)，優(yōu)秀的高中畢業(yè)生應(yīng)該具有較強(qiáng)的運(yùn)算能力，但這并不是意味著不加任何篩選的能夠處理繁雜的運(yùn)算能力就是高的運(yùn)算素養(yǎng)，而我認(rèn)為是否具備較高數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)最為重要的一個(gè)表現(xiàn)是能不能迅速分析找到合適于具體環(huán)境的運(yùn)算策略！