線性代數課程的實用教學案例

游慶山

[摘? ? ? ? ? ?要]? 大學教育教學線上教學在各個高校大面積開展。理論性較強的線性代數如何適應線上教學，線上教學如何提高學生的學習興趣和積極性，給出一個極具使用背景的教學案例，提升學生的學習興趣，加深他們對線性代數知識理解。

[關? ? 鍵? ?詞]? 線性代數;教學案例;線上教學;向量內積

[中圖分類號]? G642? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2020）32-0232-02

一、背景

2019年末2020年初，大學紛紛擁抱線上教學，作為工科最基礎的線性代數也不例外。

線性代數課程是理工科和經管類專業重要基礎課程之一，教學內容包括線性方程組、矩陣、向量空間等。線性代數相關知識在現代信號處理、信息與通信技術、計算機圖像處理等課程中均有廣泛應用。線性代數課程也是理工科繼續深造研究生矩陣論、隨機矩陣和特殊矩陣的基礎。

線性代數的向量空間對理工科學生而言理論較強、概念比較抽象，一時很難理解和接受。傳統課堂教學學生理解都有一定難度，線上教學學生只學習視頻而缺乏互動的情況下學生理解更困難。線上教學時，很多學生在學習向量空間、線性相關性、向量組極大線性無關組以及向量空間的基等概念時反映很難理解相關概念。線上教學缺乏對學生的有效督促、缺乏學生和教師的有效交流。在此情況下，怎樣調動學生的學習積極性、怎么讓枯燥乏味的概念生動起來是我們教育從業者應該思考和研究的問題。通過線性代數知識的簡單實例可以增強學生的學習積極性，讓枯燥乏味的概念鮮活起來。

二、線性代數在碎紙片的拼接復原問題中的應用案例

破碎文件拼接是很古老的問題之一，其在司法物證提取、歷史文獻修復特別是軍事保密情報獲取等領域均有重要應用。在信息技術不發達時拼接復原工作往往由人工完成，雖然準確率很高，但效率特別低。碎片數量巨大，人工拼接方法時效性很難滿足人們對信息的要求，很難在短時間內完成任務。隨著計算機信息技術的發展和成熟，科研人員試圖開發碎紙片的自動拼接技術以提高拼接復原效率、滿足實時性要求。

對來自同一頁印刷文字文件的碎紙機破碎紙片（僅縱切）的情況提供線性代數概念解釋的絕佳案例。一張印刷文字文件只有縱切，也可以理解為將一張滿是文字的圖片沿著平行于邊沿的方向分割成幾個小圖形，小圖形的邊界提供向量形象實例。原始切割圖形見圖1。

數字圖片在計算機存儲中就是線性代數研究對象矩陣。要想借助計算機信息技術處理碎紙片的拼接復原問題，首先就是將圖片讀成線性代數對象矩陣形式。imread命令可以實現圖片轉化為Matlab程序的矩陣。將圖片轉化為矩陣后，很容易提取每幅圖的邊界向量——每幅圖的左邊界向量和右邊界向量。邊界向量直觀圖見圖2。

直觀上看，第1幅圖的右邊界向量和其他幅圖的左邊界向量（第1幅圖的右邊界只可能和其他幅圖的左邊界鏈接起來）進行比較找到比較相似的向量。可以利用怎么評價兩個向量相似的問題引出向量內積的概念。兩個向量α、β的內積為：

考慮到向量模長的影響，可以用向量夾角的余弦值近似衡量兩個向量的相似程度。兩個向量越相似，則這兩個向量的夾角越小;兩個向量越不相似，夾角的余弦值越大。從而夾角余弦值的大小可以衡量向量的相似程度。也就是

碎紙片的左邊界向量按列排列，右邊界向量按行排列，可以得到任意兩個向量的相似程度。從而得到相似度的矩陣，如圖3所示。

選擇相似程度矩陣比較大的值，進行拼接可得如下完整圖形：

三、結論

目前，各個高校紛紛進行網上教學。針對理論性強，概念抽象的線性代數線上教學，鮮活有趣的實用案例可以增加學生的學習興趣，加深學生對抽象概念的理解程度，加深學生對相關知識的理解和記憶。

參考文獻：

[1]柏如海，董琬月，石瑩，等.有效控制措施下新型冠狀病毒流行趨勢模擬[J].醫學新知，2020，30（2）：94-98.

[2]郭空明，徐亞蘭，朱應敏.線性代數線性方程組教學中的一個實用力學案例[J].教育教學論壇，2020（9）：266-267.

[3]霍敏霞，薛博桓.基于智能算法的破碎文件拼接復原技術的研究[J].計算機科學，2018，45（S1）：174-178.

◎編輯 張 俐

Practical Teaching Case of Linear Algebra Course

YOU Qing-shan

Abstract：The new coronavirus pneumonia that broke out in early 2020 had a profound and widespread impact on China and the world. University education and teaching are also deeply affected by it， online teaching is carried out in large areas in various universities. How theoretical linear algebra can adapt to online teaching and how online teaching can increase students interest and motivation in learning.

Keywords：linear algebra teaching; teaching case; online teaching; vector inner product