HPM視角下的初中函數概念課例研究

秦語真 汪曉勤 余慶純

【摘 要】函數概念是中學數學的核心概念。部分初中教師由于對函數概念的歷史缺乏了解，掌握的有關史料有限，對數學史教育價值的理解不夠到位，因而在實踐中往往難以在教學中重構函數概念的發生和發展過程，難以讓學生經歷函數概念從“解析式說”到“變量依賴說”，再到“變量對應說”的自然發展過程，最終實現數學史的多元教育價值。研究者按照“聚焦與準備”“研討與設計”“實施與評價”“整理與寫作”的前三個環節，開展初中函數概念的課例研究。

【關鍵詞】HPM;函數;重構

一、引言

函數概念是中學數學的核心概念。德國數學家F·克萊因（F.Klein）曾指出：“我確信函數概念的教學是學校的靈魂，以函數為中心，將全部數學教材集中在它的周圍，進行充分的綜合。”[1] 滬教版初中數學教科書采用函數的“變量依賴說”，而人教版教科書則采用了“變量對應說”。在有關研究者所呈現的函數HPM課例中，由于時間的限制，有的教師在課堂上未能實現從“變量依賴說”到“變量對應說”的跨越，也沒有讓學生感受到數學背后的理性精神，數學史應有的教育價值未能得到充分體現[2]。如何在教學中重構函數概念的發生和發展過程，讓學生經歷函數概念從“解析式說”到“變量依賴說”，再到“變量對應說”的自然發展過程，最終實現數學史的多元教育價值？部分初中教師由于對函數概念的歷史缺乏了解，掌握的有關史料有限，對數學史教育價值的理解不夠到位，因而在實踐中往往難以有效地解決上述問題。

為此，HPM工作室按照“聚焦與準備”“研討與設計”“實施與評價”“整理與寫作”四個環節，開展了初中函數概念的課例研究。本文根據前三個環節，呈現函數概念的課例形成過程，以期為函數概念教學以及初中HPM課例研究提供參考。

二、聚焦與準備

（一）問題聚焦

函數概念歷史發展過程中的障礙也會成為今天學生學習函數概念的認知障礙[3]。據有關調查研究表明，初中生對函數概念的理解傾向于“解析式”，他們對于表格和圖像兩種表達方式的理解存在困難[4]。針對已有HPM課例中的不足，借鑒其他教學研究的結果，本次課例研究將聚焦以下問題。

如何借鑒歷史，從學生的認知起點出發，讓他們經歷函數概念的發生和發展過程？

如何實現數學史的多元教育價值？

（二）史料搜集

確定要解決的問題后，高校研究者對函數概念的歷史進行了梳理。

早期函數的概念經歷了從17世紀萊布尼茨（G.W.Leibniz）眼中的“冪”到18世紀伯努利（John Bernoulli）定義的“代數運算”，再到18世紀歐拉（L.Euler）定義的“解析式”和“變量依賴關系”，最后到19世紀狄利克雷（P.G.L.Dirichlet）定義的“變量對應關系”[5]1-7（如圖1）。

最初，萊布尼茨認為函數指的是x的冪，但接下來萊布尼茨將曲線上某一點的橫坐標、縱坐標、切線長、次切線長、法線長以及次法線長這六個幾何量稱為函數[6]。要表達與冪函數圖像對應的六個幾何量，需要對冪實施代數運算，因而導致函數概念從冪到代數式的演進。1718年，瑞士數學家伯努利（John Bernoulli）將一個變量的函數定義為“由該變量和常數以任何方式組成的量”[7]。

1748年，瑞士數學家歐拉（L.Euler）在《無窮分析引論》中進一步將一個變量的函數定義為“由該變量和一些數或常量以任何方式組成的解析表達式”[5]1-7。但歐拉所說的表達式已包括指數函數這樣的超越函數，從而突破了代數式的局限性。

隨著“弦振動問題”的出現，函數概念再一次引發了數學家們的思考：把一根兩端固定的彈性弦形變成某種初始狀態，如何刻畫振動弦在某時刻的函數[8]？這個圖像可以由一個具體的解析式給出嗎？一般地，一條徒手畫出的任意曲線有解析式嗎？面對這樣的問題，歐拉在《微分基礎》中更新了函數定義：“如果某些量依賴于另一些量，當后面這些量變化的時候，前面這些變量也隨之變化，則前面的量稱為后面的量的函數。”[5]1-7這就是我們通常所說的“變量依賴說”，滬教版初中數學教科書中的定義與此相似，只不過局限于一元函數。

但新的問題又產生了。若在x的某個變化范圍內，y始終取常數值，此時y是否是x的函數？僅僅根據“變量依賴說”，是無法回答上述問題的。1837年，德國數學家狄利克雷（G.L.Dirichlet）進一步擴展了函數概念：“如果對于給定區間上的每一個x的值有唯一的y值和它對應，那么y就是x的一個函數。”[9]這就是我們通常所說的“變量對應說”。該定義被稱為函數的現代定義，是函數概念認識上的一次飛躍。人教版初中數學教科書中的定義與此相似。

盡管狄利克雷給出了函數的現代定義，但人們并沒有因此拋棄“解析式說”或“變量依賴說”，畢竟這兩種定義更容易被人理解。19世紀，英國數學家德摩根（A.De Morgan）在《代數學》，以及美國數學家羅密士（E.Loomis）在《代微積拾級》中都仍然采用函數的“解析式說”。中國數學家李善蘭和英國傳教士偉烈亞力（A.Wylie）在翻譯這兩部著作時，將“變量”譯為“變數”，將“包含變數的表達式”譯成“函數”，其中“函”“含”同義[5]1-7。從此，“函數”一詞在我國一直沿用至今。

（三） 初步設計

HPM工作室為執教者提供了有關函數概念的史料和國內已有的函數概念教學設計。執教者在研讀相關材料之后，結合教材和學情分析，擬訂了如下教學目標。

（1）通過具體實例，讓學生認識變量和常量。

（2）知道用運動、變化的觀點看待事物，理解在變化過程中，兩個變量之間相互依賴的含義，從而理解函數的概念;知道函數的自變量以及函數解析式。

（3）在合作交流中，激發學生學習的積極性，培養學生遷移類推和概括的能力。

（4）通過對函數概念的產生、發展以及引入中國的過程的了解，加深對函數概念的理解，并感受數學文化的魅力。

以下是執教者初步的教學設計（見表1）。

三、 研討與設計

（一）歷史分析

根據函數概念的歷史，可以得到以下教學啟示。

為了讓學生實現從“代數式”到“變量依賴關系”的過渡，需要他們認識那些無法寫出解析式或從圖像上看沒有規律的函數。兩個變量之間只要存在“依賴關系”，其中的一個變量就是另一個變量的函數。

為了呈現函數認識的歷史相似性，教師需要創造機會，讓學生了解歷史上萊布尼茨、伯努利、歐拉、狄利克雷等數學家對函數的不同理解。通過微視頻，讓學生認識函數概念的演進過程，感受數學家的理性精神。

（二）交流研討

根據歷史啟示、教學目標和本次課例研究所聚焦的問題，工作室成員與大學研究者針對教學設計1展開了交流和研討。在研討中，大家形成以下意見。

（1）問題設計層次不夠鮮明，銜接不夠流暢，未能有效呈現函數概念自然發生和發展的過程。

（2）在概念形成環節，缺乏對函數定義的解讀和辨析過程。

（3）問題不夠貼近初中生的生活經驗。

（4）數學史的運用方式過于單一，僅有附加式，因而其教育價值不夠多元。

（5）播放兩段微視頻和一則閱讀材料，不切合課堂實際，需要合并。

（6）微視頻2“函數概念的發展簡史”過于學術化，內容比較枯燥，不符合學生的認知規律。

（三）改進設計

根據研討結果和歷史啟示，執教者對教學目標作了修正，將原有教學目標（4）改為 “了解函數概念的發展歷程，加深對函數概念的理解，進而感受數學文化的魅力”，并從以下幾方面對教學設計1做了改進。

在新課探究環節，以學校附近的滴水湖為背景，從表格的角度去研究路程與時間或速度與時間的關系，又以籃球為例，從圖像角度研究位置與時間的關系。

刪去微視頻1和閱讀材料。

在概念形成環節，增加了對函數定義中關鍵詞的分析。

將微視頻2的內容改為虛擬的“函數博物館”。

增加數學寫作的課后作業。

執教者最終形成的教學設計如下（見表2）。

從表2可以看出，執教者采納了研討活動中形成的意見（2）（3）（5）和（6），并做了相應的修正。然而，修正的教學設計并未解決意見（1）和（4）所涉及的問題。

四、實施與評價

（一）第一次教學

執教者按照教學設計2進行了第一次教學。教學前后，對授課班級的學生進行了測試。結果表明，學生對于“圖像不規則或不連續、無法寫出具體解析式的變量關系也可以是函數”這一事實印象深刻;學生對于微視頻“函數博物館”非常感興趣，認為了解數學家對函數的認識，就像“和他們對話一樣”。

從課后測試結果來看，不少學生對于變量之間的對應關系存在誤解，有7名學生雖認為x的一個值只能對應于y的唯一一個值，但同時又認為y的一個值也只能對應于x的唯一一個值。

在研究表格中的對應關系時，有24.2 的學生認為只有能寫出解析式的對應關系才是函數;在研究函數的圖像依賴關系時，有30.3 的學生認為沒有規律的圖像所表示的并不是函數。

執教者針對第一次教學進行了反思，認為本節課存在以下幾個問題。

（1）由例題直接過渡到函數概念的過程不夠自然，學生不能很好理解函數概念;

（2）微視頻對于學生理解函數概念的作用不大;

（3）學生不能很好地將表格和圖像與函數的定義相結合;

（4）交流研討中形成的意見（1）和意見（4）并未得到解決。

（二） 第二次教學

根據第一次教學的反饋和反思，執教者對教學目標做了進一步修正，將（1）改為“掌握變量與常量的概念”;在（2）中增加“經歷函數概念的形成過程”;刪去（3）“在合作交流中，激發學生學習的積極性，培養學生遷移類推和概括的能力”。執教者還對教學設計2做了以下改進。 在課堂中，繪制一些“形狀奇怪”“沒有規律”的圖像，幫助學生理解函數定義。

執教者根據以上改進，最終形成教學設計3。從教學設計3可以看出，執教者根據自己對第一次教學的反思，對教學設計2做了相應的改進。針對研討活動中形成的意見（1）和意見（4），通過將學生對于函數認識與歷史上數學家的定義進行對照，在一定程度上讓學生經歷了函數概念的演進過程，但問題之間的銜接依然不夠流暢，數學史的價值（如德育價值）體現得仍不夠充分。

按照教學設計3，執教者實施了第二次教學，課后對教學進行了深刻的反思，從以下幾方面對教學設計3做出改進（見表3）。

（三）第三次教學

根據第二次教學的反饋和反思，執教者對教學設計3做了進一步修正，形成教學設計4（見表4）。

按照教學設計4，執教者實施了第三次教學。在新課探究環節，將畫面轉到滴水湖，探究速度、時間和路程之間的關系，完善學生對常量和變量的認識，使銜接更為自然。在概念形成環節，執教者首先展示全班學生的課前測試結果，并告訴學生，數學家對于函數的認識也是不盡相同的。然后，執教者播放微視頻，依次給出歷史上數學家對函數的不同定義。最后，執教者在黑板上依次畫出與歷史上函數定義相對應的圖像，讓學生體會函數定義不斷演進的過程（如圖2）。

教師將學生課前測試中對函數概念的認識與數學家的函數定義對應起來：“一種運算方式”“代數式”和伯努利的定義相似;“圖像”“解析式”與歐拉的第一個定義相仿; “常值函數”恰好符合狄利克雷的定義。教師通過古今對照，讓學生了解函數概念，經歷從“解析式”到“變量依賴關系”，再到“變量對應關系”的過程。

（四）學生反饋

第三次教學之后，執教者從認知和情感兩個維度對授課班級的40名學生進行了課前測試和課后測試。結果表明，課前學生對函數概念的理解大都局限于具體的正比例函數、反比例函數以及解析式;而課后學生普遍達到“依賴關系”和“對應關系”的水平。關于表格中的“變量對應關系”，課前學生的正確率是20 ，課后正確率達到了85 。關于圖像中的“依賴關系”，課前學生的正確率是12.5 ，而課后正確率達到了95 。關于圖像中的“對應關系”，課前學生的正確率是17.5 ，而課后正確率達到了97.5 。在圖像為離散點的情形中，課前學生的正確率為5 ，課后正確率達到了 97.5 ，說明學生從表格和圖像方面對函數概念有了較好的理解。

課后測試卷增加了兩個問題，第一個問題是讓學生說一說對本節課中印象最深刻的內容。22名學生提到“函數博物館”微視頻，他們認為通過微視頻，可以與數學家進行思想碰撞;明白數學是要經過不斷推敲而得到的;函數定義不斷演進的過程符合他們的認知規律。有的學生還提出：“如果處于那個時代，我們也會有這樣的發現”;“時代造英雄，時代不斷推動數學向前發展”。有12名學生原以為“連續的”“好看的”“有規律的”才是函數，是函數定義顛覆了他們以前的認識。

第二個問題是讓學生根據數學史的六類價值來談本節課的收獲。關于知識之諧，學生認為從生活實例引入，再由解析式到圖像，過程自然，將代數和幾何聯系在一起，使認識更加全面。關于探究之樂，學生認為他們提出的函數一定是連續的，一定具有規律，雖然后面都被否定了，但是他們經歷了思考的過程，并探究了函數定義的關鍵詞，明白了“確定的依賴關系”的內涵。關于方法之美，學生認為判斷函數的方法十分簡潔。關于能力之助，學生認為提高了數形結合和思辨的能力。關于文化之魅，學生通過“函數博物館”的微視頻，了解歷史上數學家給出的函數定義，并感受歷史相似性。關于德育之效，學生有了堅定的數學信念，認為生活中處處有數學，同時也認為數學概念是隨著時代的發展而不斷演進的，反映出動態的數學觀。

（五）同行評議

第三次教學之后，工作室教師和高校研究者對本課進行了點評。與已有HPM教學設計相比，本節課做了頗多的創新。一是將課前測試結果與歷史上數學家的函數定義進行對照;二是課后作業采取數學寫作的形式，有助于及時捕捉學生的所思所想;三是突破了滬教版教材中的“變量依賴說”，引領學生跨越到“變量對應說”;四是播放微視頻，并將函數概念的發展諸階段用相應的圖像展示出來。同時，執教者在課堂上鼓勵學生說出自己對函數的理解，不斷糾正他們不正確的認知，鼓勵他們繼續探索函數的定義，培育了學生的探究精神，滲透了數學學科德育。

同時，工作室教師指出本節課存在一定的難度，對學生的認知水平要求較高。執教者授課班級學生理解能力較好，將其放入其他層次的班級進行教學不具有推廣性。

（六）教師反思

第三次教學之后，執教者對函數概念教學進行了以下反思。

1.將數學史融入數學課堂要自然。要讓數學史為數學概念的講解提供依托，使學生對于數學概念的理解過程更為自然。

2.教學形式應多樣化。在課堂上播放微視頻，吸引了學生的注意，而單一的板書講解，很難讓學生理解函數的抽象概念。

3.數學課堂應重視和生活之間的聯系。要讓學生感受到數學是有用的，而不是脫離生活實際的。將函數與生活中的路程、時間等問題結合，可以拉近函數概念和學生之間的距離。

4.數學是有德育價值的。教師要在數學課堂上讓學生體會數學概念的嚴謹性以及數學家的理性精神，激勵他們像數學家一樣積極探究和思考，追求真、善、美。

五、結語

在本次課例研究中，函數概念的教學設計前后經過了三次改進和三次實施，所聚焦的問題基本上得到了解決：通過對學生的課前測試，尋找學生對于函數概念的認知起點;通過現實生活中的例子，呈現函數的“解析式”“變量依賴關系”和“變量對應關系”三種內涵;通過HPM微視頻，展示了函數概念從“解析式”到“變量依賴關系”再到“變量對應關系”的演進過程;通過古今對照，讓學生以“概念建構者”的身份經歷函數概念的自然發展過程;函數概念的歷史不僅幫助學生正確認識數學活動的本質，樹立動態的數學觀，而且讓學生感悟數學背后的理性精神。美中不足的是，執教者未能采用重構式展開教學，在問題串的設計上仍有很大的改進空間。

從本次課例研究中，我們得到以下啟示。

首先，HPM視角下的數學教學的基本特征之一是為學生提供探究機會，讓他們經歷知識的發生和發展過程，教師可以采用“古今對照”的策略，讓學生“穿越時空與數學家對話”，既親近數學，又加深對數學的理解。

其次，數學史的運用方式有附加式、復制式、順應式和重構式，其中重構式是揭示知識發生和發展過程的最佳方式。在運用重構式時，教師首先需要把握有關主題歷史發展的關鍵環節以及從一個環節到下一個環節的動因，然后設計一系列由易到難、層層遞進的問題，再現主題的歷史發展。

最后，數學史的“德育之效”，在教學中未必可以自然達成，需要教師明確的“點撥”。教師可以通過呈現歷史相似性，提升學生的自信心;或讓學生思考數學史對自己的思想啟迪，感悟數學背后的理性精神。

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