將信息科技融入線性代數教學的思考

王珍

[摘? ? ? ? ? ?要]? 線性代數是本科生需要掌握的一門重要的數學基礎課程，但其內容抽象難懂，很多學生會疑惑學了有什么用。主要介紹了線性代數在現代信息科技前沿的幾個方面的應用，旨在拓寬學生的視野，激發學生的學習興趣，從而可以達到優化課堂教育教學的效果，進一步提高學生的理性思維能力和科學素養。

[關? ? 鍵? ?詞]? 線性代數;圖像處理;網頁排序;人臉識別;保密通信;課堂教學

[中圖分類號]? G642? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2020）22-0172-02

一、引言

我們從幼兒園就開始學習數學，經過小學、初中、高中直至大學，仍然需要不斷地學習數學，那么很多同學會產生疑問：數學真的這么重要嗎？答案是肯定的。數學不僅僅是一些算術、公式、圖形、定理，它更是一種思維方式，是人類認識世界、改造世界的重要工具。如果沒有數學，人們可能還生活在愚昧之中，可見它所發揮的作用是舉足輕重的。我國數學家華羅庚說：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，日用之繁，數學無處不在。”而對大學生而言，學習數學不僅可以培養科學品質，同時也為很多后續專業課程提供數學基礎。其中線性代數是高校理工類以及經濟類專業大一學生的基礎課程，也是研究生入學考試中必考的數學課程之一，教育部高等學校大學數學課程教學指導委員會主任徐宗本院士指出：“統計數字表面，大學期間的課程對學生影響最大的就是線性代數，其次是高等數學（下冊）即多元微積分。”可見線性代數的重要地位。

線性代數課程主要介紹線性空間理論和矩陣理論，處理線性關系問題，包括行列式、矩陣、向量與向量空間、線性方程組、方陣的特征值與特征向量、二次型等[1]。在自然科學、工程技術、信息科技、計算機及經濟管理學等諸多領域有著廣泛的應用，對培養學生的抽象思維能力、空間想象能力、邏輯思維能力、科學計算能力以及建立數學模型解決實際問題的能力具有十分重要的意義。但是線性代數中的概念比較抽象，定理以及推理論證也十分嚴密，有些學生在學習的過程中感到比較吃力，經常出現似懂非懂的問題，甚至很多學生經過一學期的學習，只是背會公式和定理，學會了按照常規套路去解題，并不知道線性代數的知識有何用處、如何運用，只是最后完成了考試而已，更談不上深入理解和靈活應用。導致這種現象的一個重要原因就是一般教科書往往比較注重線性代數理論的系統介紹，忽略了線性代數強大的應用背景，以致學生沒有了解到這些知識有什么用處以及怎么去用，因此在現有的課堂教學模式上，結合實際情況，在教學中穿插一些應用實例，使學生體會到所學知識的“應用性”，從而調動學生主動學習的積極性，不僅學習到“很數學”的知識，更要學會如何將這些知識應用到自己的專業中，提高解決實際問題的能力。本文結合線性代數在信息科學技術中的幾個應用，提出對線性代數教學過程中自己的一點思考，拋磚引玉，與大家共勉。

二、線性代數在信息科學技術中的幾個應用

（一）圖像處理與矩陣運算

我們通常所見到的圖像，在計算機中都是一組數字，也就是數字圖像，又稱數碼圖像，其基本元素為像素。在數學上，一幅數字圖像可以由一個矩陣來表示，矩陣中的每個元素代表像素，其中黑白圖像（只有黑白兩種顏色沒有中間的過渡，如條形碼、二維碼等）的像素值只有0和1，灰度圖像（由亮度信息沒有顏色信息）的像素可以用0～255之間的數表示，這兩種圖像在數學中可以用一個二維矩陣來表示，彩色圖像（即RGB圖像）可以用一個三維矩陣去表示，因此圖像就等同于矩陣。在圖像處理中，矩陣運算理論非常有用，如圖像處理中將圖像變亮或者變暗，就與矩陣的數乘運算密切相關，圖像進行旋轉的過程我們可以理解為圖像矩陣的轉置或者通過線性變換，圖像的復原或者圖像的去模糊離不開矩陣求逆，還有圖像壓縮、去噪等問題都用到了矩陣運算[2]，而這些關于圖像處理問題對學生來說非常常見，甚至學生常用的軟件（比如Photoshop）中就包含了相關的數學算法，因此將這部分應用適當穿插于講解矩陣運算時，會讓學生深切體會到線性代數的知識不再是看不見、摸不著的，從而激發學生主動學習探索的興趣，提升教學效果。

（二）搜索引擎背后的線性代數

在互聯網飛速發展的今天，搜索引擎對我們來說并不陌生，無論在生活、學習還是工作中，經常需要在網上搜索一些信息，比如我們在一個搜索引擎中輸入“線性代數”，很快就會顯示出幾千萬個網頁，那么搜索引擎是如何做到在非常短的時間內，對海量的信息進行搜集和篩選，從而給用戶提供最有用的信息，并且我們發現不同的搜索引擎搜同樣的信息出來的網頁順序也不相同，那么搜索引擎是按照什么準則對網頁的前后進行排序的呢？這事實上就是網頁排序的問題，而線性代數的相關知識在其中就發揮了關鍵的作用。此處我們簡單了解一下谷歌搜索引擎的創始人Lawrence Page和Sergey Brin提出的Pagerank算法，其算法的思路是受到判別學術論文質量的方法：一篇論文被多少文章引用，被什么樣級別的文章引用是判斷文章質量的重要標準。同理一個重要的網頁會被其他重要的網頁指向，于是以網頁間的鏈接結果為基礎來劃分網頁的重要等級，通過建立數學模型構建網頁關聯矩陣，然后進行轉置與歸一化處理得到轉移概率矩陣，而Pagerank的計算就是求該矩陣的最大特征向量[3]。在線性代數中求特征向量的問題與線性方程組的求解密切相關，在介紹線性方程組理論時適當介紹這部分應用，可以讓學生體會到之所以我們從初中就開始學習求解線性方程組，到了大學仍然在研究，是因為它非常有用，而在科學計算中，通常會遇到萬階、百萬階甚至上億階的線性方程組的求解，對于這類超大規模方程組，尋求更有效的算法仍然是前沿的研究課題。

（三）人臉識別與特征值特征向量

人臉識別是對人臉關鍵特征進行分析計算并進行身份識別的一種生物識別技術，對其研究始于20世紀60年代，至今仍然是前沿的研究課題。人臉識別主要包括種類識別與個體識別兩種，其中種類識別指的是從不同的種類中識別出哪個是人臉，如從人、貓、狗、大象中識別出人，它有什么作用呢？像有一些相機手機中附有的人臉識別功能，在夜拍或逆光時因光線太暗或者太強拍不清楚，那么照相機可以判別出哪個是人臉，拍照時使人臉部分更清晰，這就發揮了人臉識別的作用。個體識別指的是在都是人臉的情況下識別出某一個人，它有著十分廣泛的應用，如手機、電腦等智能設備的身份驗證，警方刑偵破案尋找失蹤人口，學校、住宅區、車站的門禁系統，公司、考場的人臉考勤，刷臉支付等很多方面。那么計算機是如何識別人臉的呢？其中線性代數又發揮了什么樣的作用？這里我們簡單介紹人臉識別最經典的一種算法：特征臉算法。

（四）保密通信與矩陣的逆

通信指的是人與人之間通過某種行為或媒介進行信息交流與傳遞，隨著人類社會的發展，通信技術與方式也發生了翻天覆地的變化。在信息加工和傳送的過程中，為了避免信息被第三方截獲，加工傳送過程的保密性就尤為重要，因此，保密通信這項技術也隨之變得非常重要，尤其在軍事、商業、外交等通信領域。保密通信的基本原理為將要發送的明文信息通過某種方式進行偽裝和隱藏變為密文，即在通信的過程中，發送方通過某種算法對明文代碼進行加密，加密之后的密文代碼發送到接收方，接收方再通過相應的某種算法對密文代碼進行解密還原為明文代碼，其中的某種算法就是密鑰。如果從矩陣的角度來進行解釋，明文信息用矩陣X來進行表示，加密的密鑰用矩陣A表示，因此加密的過程就是矩陣方程AX=B或者XA=B，從而解密時的算法為X=A-1B或X=BA-1，其中A-1為A的逆矩陣[5]，這樣在信息傳遞的過程中即使截獲了密文內容，在不知道密鑰的情況下也無法獲取其真實內容，密鑰發揮的作用就像《潛伏》等諜戰片中情報人員舍生忘死保護和爭奪的密碼本一樣，可見其重要程度。在介紹矩陣的逆時我們可以融入保密通信這個應用實例，這樣便會使數學內容更加生動。

三、結語

本文主要介紹了線性代數在信息科學技術中的幾個應用：圖像處理、網頁排序、人臉識別、保密通信，這些應用對學生來說并不陌生，甚至在學習生活中每天都會接觸到，將這些應用案例融入課堂教學中，讓學生感受到線性代數的實用價值，開闊學生的視野，提高其學習這門課的興趣，化被動接受為主動學習，有利于學生更好地理解掌握線性代數的知識點，真正做到學以致用。

參考文獻：

[1]王希云.線性代數（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2015.

[2]白阿拉坦高娃.《線性代數》教學中矩陣理論在圖像處理中的應用[J].科技創新導報，2017，14（1）：211，213.

[3]黃宜朵.求解PageRank問題的線性方程組算法[J].數學學習與研究，2010（1）：71.

[4]宇雪垠，曹拓荒，陳本盛.基于特征臉的人臉識別及實現[J].河北工業科技，2009，26（5）：428-430，433.

[5]張新文，王佳.基于可逆矩陣加密技術的保密通信數學模型[J].西南師范大學學報（自然科學版），2017，42（2）：166-170.

編輯 鄭曉燕