初中數學中關于動點問題的試題探究

摘?要：動點問題是中考數學的高頻考點，近幾年中考試題中，以動點為基礎的圖形平移、旋轉和剪拼問題頻頻出現在各類題型當中，同時，由于中考數學中動點問題題型靈活多樣、難度大、綜合性強，因此往往是命題者的寵兒。

關鍵詞：素養;解題;特殊;模型

一、 中考試題中動態幾何類問題的命題特征

動態幾何知識模塊具有很大的靈活性，熟悉這類題型的試題特征是提高解題效率、獲得解題策略的重要途徑。筆者選取甘肅省不同地區近5年的中考試題真題，通過對試題中動態幾何部分知識的分類統計，歸納出中考試題的以下命題規律。

（一）知識點的分析

歸納歷年中考試題中動態幾何問題的考點分布，對于中考備考具有重要的指導意義。筆者在整理近5年省內各地區的中考試題后發現，在以往的試題中各知識點的分布中，試題中關于動態幾何的知識點包括三類：其一，圖形的變化性質、其二，銳角三角函數;其三，圖形與坐標。其中，圖形的變換包括圖形的平移、對稱與旋轉、圖形的相似、投影與三視圖;三角函數主要考查了銳角三角函數和解直角三角形及其應用;圖形與坐標則主要考查圖形運動中對應的位置的變化。

新課標中動態幾何知識模塊也有比較詳細的劃分，同時，考綱中關于動態幾何問題涉及的有三角形、四邊形、圖形的變化等相關知識。三角形相關知識點是其中的高頻考點，比例多達28%，而四邊形考查比例為11%。通過對考題的進一步統計與分析，筆者還發現面積公式、勾股定理、三角形的性質、三角形全等的判定或者相似性的證明是三角形相關題型中常考的點。圖形的變化則考查了圖形的平移、對稱和旋轉，圖形旋轉的考查頻次最高，5年4考，對圖形平移的考查有逐年弱化的趨勢。

（二）試題類型分析

根據對動態幾何問題的分類研究，以及真題中求解類型和變式升級討論可知，求解類型的題目包括：求動點坐標、求函數表達式、猜想證明“最值”問題等題型。其中猜想證明類題目則包含證明三角形的全等、三角形的相似、線段的長度、三角形的角度等。“最值”問題包括面積的最值、線段最值等。求函數表達式，一方面涉及中學常見的基本函數，如一次函數、二次函數和反比例函數，另一方面還包括動態問題中與圖形面積、線段最值等有關的函數關系。根據統計與分析還發現，甘肅省近五年試題中，動點坐標計算、函數關系式、猜想證明以及線段或面積的最值問題考查次數較多分別為13，7，7，10。尤其是猜想證明類題型最多，這類題目難度較大，且具有一定的區分度，容易拉開分值差距，失分最嚴重。

（三）試題特點的分析

中考數學試題一般具有以下兩個顯著特點：其一，基礎性與梯度化相結合，其二，空間觀點與推理論證并舉。這樣的試題特點也將貫穿于以后的中考試題當中，是任何命題人都參照執行的命題準則。

首先就第一點而言，一方面，基礎性體現出基礎教育的價值，梯度化重點突出了人才選拔。盡管省內各個地區對基礎性題的考查比重是不完全一致的，但是總體上看來，各套試題對學生不可或缺的幾何基本素養都進行了重點考查，如白銀市2019年中考試題中第3題考查了簡單組合圖的三視圖，同年的蘭州卷選擇題第15題則考查了反比例函數的幾何性質等題目，都圍繞著初中幾何教學中最基本的概念、原理和規律進行考核，中等偏下難度的題目占到總分值的8成以上。另一方面，中考作為重要的選拔性考試，數學考試中的動態幾何仍然保持著合理的梯次設置，這樣的設置很好地貼合了不同學習能力學生的學習需求。

其次，各地區的中考試題中對學生應該具備的空間觀點和推理論證能力都有不同程度的體現。如蘭州卷選擇題第3題考查了簡單組合圖的三視圖，白銀卷第5題考查了中心對稱和軸對稱的概念。

二、 動態幾何問題的解題策略

在初中數學教學中，教師一定要明確，動態幾何問題的解決一定是建立在大量的知識積累基礎上的。在教學實踐中，教師一方面要讓學生熟悉常見的基本圖形、常用的數學模型以及常用輔助性作圖方法;另一方面，讀圖能力是中學幾何教學的重要方面，要培養學生數形結合的意識，這是解決動態幾何問題的重要思想方法。鑒于學生動態幾何問題解題中的基本現狀，筆者總結出以下對應策略。

（一）以不變應萬變

變和不變總是相對而言的，要用辯證的思維看待數學問題。在動態幾何問題中，當某些變量變化時，總有一些量是保持不變的。學生要認真地審題，從變化當中提取有效信息，找到隱含在變化當中的不變的量。同時要注意，獲得不變的量往往可以通過對圖形進行平移、旋轉等變形后出現。

例1?如圖，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AB=23cm，點O從C點出發，沿CB以每秒1cm的速度向B點方向運動，運動到B點時運動停止，當點O運動了t秒（t>0）時，以O點為圓心的圓與邊AC相切于點D，與BC邊所在直線相交于E、F兩點，過E作EG⊥DE交直線AB于G，連結DG。

（1）求BC的長;

（2）若E與B不重合，問t為何值時，△BEG與△DEG相似？

解析：Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AB=23。

AB∶BC∶AC=1∶3：2。

BC=3AB=3×23=6。

（2）OC=t，OD=t/2，DE=（3/2）×t。

BE=6-3t/2，GE=2BE=12-3t。

△BEG∽△DEG，則GE/DE=3。

或DE/GE=3。

（12-3t）=3t/2，24=9t，t=83。

或12-3t=12t，24=7t，t=247。

在類似的動態問題的解決中，學生一定要明確解題的關鍵，要抓住動態問題中不變的東西，用辯證的觀點看待動和靜之間的相互關系。要以動為突破口，將動態的變化轉化為靜態的可以解決的問題中來。

（二）以一般對特殊

數學解題的本質是實現未知問題向已知問題的轉化。在中學試題中，動態幾何的動線型問題的解題關鍵也常在于能否把特殊的問題轉化為學生熟悉的數學情境中，用一般模型去處理特殊關系，最值問題更是如此。如以下問題中的最短距離的求解。

例2?一艘貨輪位于海上的A點，P為燈塔，A此時處于燈塔P的南偏西60°的方位，當貨輪朝東行駛20海里后到達點B，B在P的南偏西45°的某處，若貨輪繼續朝著正東行駛，問行駛過程中貨輪與燈塔P的最短距離。（結果保留根號）

【考點】勾股定理的應用;方向角問題。

【分析】利用題意得到AE⊥PE，∠APE=60°，∠BPE=45°，AB=20，如圖所示，在Rt△APE中，可以計算出

AE=3PE，再判斷△PBE為等腰直角三角形得到BE=PE，然后通過AE-BE=AB計算出PE即可。

【解答】解：延長線段AB，然后作點P關于該延長線的垂線，相交于點E，如圖，

由“垂線段最短”可知：PE的長就是輪船航行途中與燈塔P的最短距離，在Rt△PBE中，∠BPE=45°，∴BE=PE，在Rt△APE中，∠APE=60°，∴AE=3PE，

∴3PE-PE=20，

∴PE=203-1=103+10。

答：輪船航行的最短距離是（103+10）海里。

由此可見，中考試題當中涉及動點問題的部分，多是圍繞點、線和面之間的相對位置關系展開，學生在解題中一定要找準變量之間的特殊關系，建立它們之間的可以用函數表示的一般模型。如果能把這樣特殊的數學情境用具體的函數表示出來，那么，抽象的幾何關系就可以用學生熟悉的函數來解決。最大值、最小值等最值問題就成功轉化為一個數學中的函數問題。通過將特殊問題一般化，學生在解題中就可以找到該類問題普適性的解題方法，從而將抽象的幾何動點問題轉化為靜態的、自己熟悉的問題情境中來。

（三）以靜態對運動

數學當中的所有動態過程都是由一個一個的靜態瞬間組成的，動態幾何問題的解題本質也是借用轉化思想，將動態過程中的點、線和面分解成一個一個相對獨立的瞬間，然后從中找到相對“靜止”的背后的運動規律或者特殊的靜態圖形，然后以此為基礎進一步證明求解。

例3?如圖所示，在平面直角坐標系中，函數

y=kx（k>0）的圖像上有P、Q兩點，P、Q坐標分別為P（1，4）、Q（m，n）。當m>1時，分別作過點P關于x軸、y軸的垂線于A、B兩點;過點Q分別作x軸、y軸的垂線于C、D兩點，DQ與AP相交于點E，求當m增大時，四邊形EQCA的面積（??）

A. 增大

B. 減小

C. 先減小后增大

D. 先增大后減小

【分析】該動點問題可以轉換為函數問題，然后利用函數的性質求四邊形面積的遞變規律，這樣就可以成功地將幾何問題轉化為函數問題。

【解答】解：AC=m-1，CQ=n，

則S四邊形ACQE=AC·CQ=（m-1）n=m·n-n。

∵P（1，4）、Q（m，n）在函數y=kx（x>0）的圖像上，

∴m·n=k=4（常數）。

∴S四邊形ACQE=AC·CQ=4-n，

∵當m>1時，n隨m的增大而減小，

∴S四邊形ACQE=4-n隨m的增大而增大。

故選：A。

【點評】本題考查了反比例函數的性質以及矩形的面積的計算，m增大時四邊形的面積大小也在不斷地變化，要證明面積的大小變化規律時，將特殊的數學情境轉化為函數關系，用函數表示四邊形ACQE的面積，通過對函數性質的討論就可以判定該四邊形面積的變化情況。

總之，教師在動點問題的備考中，一定要循序漸進，夯實基礎，注重思維發展的層次性要求;同時，要不斷地研究試題，歸納解題方法，提高解題技巧。只有這樣，才能真正服務于教學實踐，提高學生學業成績。

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作者簡介：李亞亞，甘肅省白銀市，甘肅省會寧縣八里灣鄉教育管理中心百戶小學。