波利亞解題思想在高考導數(shù)題中的應用

李益萍 張曉東 李天美

(云南省昆明市云南師范大學數(shù)學學院 650500)

一、波利亞解題思想

波利亞認為，教師最重要的任務之一是幫助他的學生，但不能幫得太多，也不能太少.為了不漏痕跡的、順其自然地幫助學生解手上的題，甚至是提高學生的能力，使他將來能自己解題，教師得一次又一次地問同樣的問題，指出同樣的步驟.教師可以提出哪些問題，波利亞在《怎樣解題》一書中通過“怎樣解題”表給出了答案，“怎樣解題”表包括四個步驟：理解題目；擬定方案；執(zhí)行方案；回顧.

二、波利亞“怎樣解題”表的具體運用

題目(2019年高考數(shù)學文科全國Ⅰ卷第20題)已知函數(shù)f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)為f(x)的導數(shù).

(1)證明：f′(x)在區(qū)間(0,π)存在唯一零點；

(2)若x∈[0,π]時，f(x)≥ax,求a的取值范圍.

注第(1)問屬于證明題，不多贅述，具體解答如下：

證明：設g(x)=f′(x)，則g(x)=cosx+xsinx-1，g′(x)=xcosx.

即f′(x)在(0,π)存在唯一零點.

1.理解題目

從題目的敘述開始，不難看出題中第(2)問是一道求解題，未知量、已知量和條件是一個求解題的主要部分.“未知量是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？”這是首先需要回答的三個基本問題.

未知量是a的取值范圍；已知數(shù)據(jù)是f(x)=2sinx-xcosx-x；條件是當x∈[0,π]時，f(x)≥ax.這是一道已知不等式恒成立求參數(shù)范圍的問題，題目中包含三角函數(shù)，且出現(xiàn)在壓軸題的位置，難度系數(shù)較大.

2.擬定方案

對題目的未知量、已知量和條件進行分析后，回答問題“你知道一道與它有關的問題嗎？這里有一道題目和你的題目有關而且以前解過，你能利用它的方法嗎？”

能否想到一道有關的問題取決于學生過去的經驗，在本題中，一方面學生可以想到條件中當x∈[0,π]時，f(x)≥ax等價于[f(x)-ax]min≥0，題目轉換為求函數(shù)最值問題；另一方面，將參數(shù)進行分離，構造出一個新的函數(shù)，再求最值.這是常見的兩種思路.

3.執(zhí)行方案

解題方案只是一個總體的框架，在擬定方案的指引下，學生需要細心的執(zhí)行.為了確保方案執(zhí)行過程中每一步的正確性，教師可以提出問題“你能清楚地看出這個步驟是正確的嗎？你能否證明它是正確的？”

解法1最值法

分析當x∈[0,π]時，f(x)≥ax等價于當x∈[0,π]時，f(x)-ax≥0,即[f(x)-ax]min≥0.利用函數(shù)的單調性求出函數(shù)最小值即可，判斷單調性的過程中需要對參數(shù)a進行分類討論，最值法用于本題較為繁雜，不具體展開.

解法2分離參數(shù)法

分析本題中f(x)≥ax，考慮函數(shù)的定義域x∈[0,π]，當x=0時，不等式成立；

4.回顧

子曰“學而不思則罔”，有了答案還遠遠不夠，此時“你能以不同的方法推導出這個結果嗎？”是學生需要思考的問題.

圖象法和端點分析法是該題目的另外兩種做法，圖象法即將不等式轉化為兩個函數(shù)的圖形的位置關系問題，其中一個函數(shù)為一次函數(shù)；端點分析法則是從求“不等式恒成立”的必要條件入手，求得參數(shù)范圍，再證明其為充分條件.

解法3圖象法

分析當x∈[0,π]時，f(x)=2sinx-xcosx-x≥ax，令k(x)=ax，其中k(x)為一次函數(shù)，證明函數(shù)f(x)的圖象始終在函數(shù)k(x)的圖象上方即可.

圖1

顯然，k(x)=ax的斜率a需小于等于0，則a的取值范圍為{a|a≤0}.

評析本解法巧妙地使用函數(shù)圖象的位置關系，從幾何意義出發(fā)，使解題更簡單.

解法4端點分析法

分析由于函數(shù)的定義域為[0,π]，要證f(x)≥ax，在端點處f(π)=0≥aπ(選端點x=0不等式變?yōu)?≥0)，可初步得a≤0是f(x)≥ax成立的必要條件.

解由題設知f(π)≥aπ，f(π)=0，可得a≤0，下面證明x∈[0,π]，且a≤0是f(x)≥ax成立的充分條件.

由(1)知，f′(x)在(0,π)內只有一個零點，設為x0，

當x∈(0,x0)時，f′(x)>0,f(x)單調遞增；

當x∈(x0,π)時，f′(x)<0,f(x)單調遞減.

因為f(0)=f(π)=0，所以當x∈(0,π)時，f(x)≥0.又當a≤0，x∈[0,π]時，ax≤0，故f(x)≥ax得證.

因此，a的取值范圍為{a|a≤0}.

評析端點分析法由一般到特殊，利用邊界值縮小參數(shù)的范圍，本題目使用端點分析法最為簡潔.

高考導數(shù)題不僅是學生面臨的難點，也是教師教學的重點，波利亞的“怎樣解題”表猶如黑夜中的明燈，給教師和學生在解題時指明了方向，但需要注意的是，解題教學的過程中，提問的方式不是僵化的，允許一定的通融性和可變性.