由一道變力做功的幾種解法談微積分概念的建立

趙小俠

摘要：對一道變力做功的幾種解法進行了詳細介紹，可以看出建立起基本的微積分概念則可以運用三種方法對該題得出正確結論，否則如果微積分概念的缺失必然得出錯誤的結論。最后對微積分發展史進行了簡單回顧。

關鍵詞：功;變量;微積分

中圖分類號：G642.41? ? ?文獻標志碼：A? ? ?文章編號：1674-9324（2020）12-0320-02

大學新生第一學期期末的大學物理試卷中筆者出了一道變力做功的題。具體見下面。

設作用在質量為2kg上的物體上的力F=6t（N），若物體由靜止出發沿直線運動，求物體開始的2s內，該力所做的功。

現代物理是建立在微積分概念基礎上的，微積分[3]是人類智力的偉大成就之一，它的歷史地位介于自然科學與人文科學之間，成為高等教育成果碩然的中介。在物理學發展史中微積分概念作為人類智力斗爭的成果散發出無限的魅力。微積分的概念源于古希臘數學家在試圖表達關于直線的比率或比例的直覺觀點時遭遇的邏輯困境時涉及的無窮小概念。正是運用了具有該啟發性的概念導致了牛頓（Newton）和萊布尼茲（Leibniz）微積分運算的產生。微積分的基本定義-導數和積分產生于人類對自然界中事物最明顯的兩個特征-事物的多樣性和可變性的長期觀察和理性思考。導數在數學上是用來表示曲線或函數在一點性質的數學工具，物理學上與運動物體的瞬時特性緊密相關。數學家們正是借助于平均速度的無限趨近來定義瞬時速度從而帶來了導數的定義。牛頓（Newton）和萊布尼茲（Leibniz）發現了被稱為“整個微積分的根本思想”的定積分與被積函數的原函數間的關系式即我們熟悉的牛頓-萊布尼茲公式[4]。即連續函數f（x）的定積分F（x）=■f（t）dt有一個導數，它恰好是同一個函數F′（x）=f（x）。即連續函數f（x）從a到b的定積分的値是可以以f（x）為導數的函數F（x）在x=a和x=b的差値來表示。在導數和積分定義時都涉及了無窮數列的概念，該無窮數列是通過連續地并且無限度地來減小自變量的區間獲得的，這樣連續分割獲得盡可能小區間或者數學上稱為微分。所以說微積分是建立在無限分割和漸變或者說微小變化的基礎上的，以微積分的觀點可以把一個變量無限分割，則在這樣的無限分割過程中量的變化如此微小以至于可以把它看作是恒量來看待，再把這種變化劃分為無限個的量求和也就是積分來看待。

由此可以看出，只要物理概念清晰，正確運用定律定理，雖然三種采用的方法繁簡程度不一，但是條條大路通羅馬，無論采用什么方法都可以得出正確的答案，但是如果基本微積分的概念沒有建立起來的話該題是無從下手，即使運用比較熟悉的中學公式也得不出正確的答案。

參考文獻：

[1]馬文蔚，等.《物理學》上冊[M].第五版.北京：高等教育出版社，2005：65.

[2]馬文蔚，等.《物理學》上冊[M].第五版.北京：高等教育出版社，2005：63.

[3] Boyer C B.History and Philosophy of Science：History of Analytic Geometry [J].Science，1957，125：823-824.

[4]同濟大學數學教研室.高等數學上冊 [M].北京：高等教育出版社，2002：290-291.