單元教學視域下提升學生研究力的思考
——以《函數的單調性與導數》為例

浙江省臺州市黃巖中學 (318020) 黃仙萍

一、問題的提出

普通高中數學課程標準(2017版)課程目標之一為，要提升學生的創新意識；相應地，課程結構設計依據為依據數學學科特點，關注數學邏輯體系、內容主線、知識之間的聯系.因此，我們應該加強整體性和聯系性，即在單元教學視域下讓學生體驗數學發現和創造的歷程，提高學生的理性思維和科學精神.在教學中，教師也逐漸意識到讓學生經歷再創造過程的重要性，嘗試著讓學生進行研究型學習提升研究力.然而，缺少單元教學視域的研究型教學，學生往往出現這個課時的內容掌握地很好，換到另外課時又不會研究了.學生數學遷移、研究能力弱，與研究過程的缺失或者研究型學法不當密不可分.

在《函數的單調性與導數》教學中，教師通常先簡單介紹函數單調性與導數的關系，然后重點應用知識講解函數單調性的求解.這樣教學使學生容易存在以下問題：(1)為什么函數的單調性(定義)與導數存在關系；(2)在某個區間(a,b)內，為什么f′(x)>0是函數y=f(x)在這個區間內單調遞增的充分不必要條件；為什么f′(x)≥0是函數y=f(x)在這個區間內單調遞增的必要不充分條件；(3)討論簡單函數如二次函數的單調性也用導數的方法.學生知其然，不知其所以然，學到的知識是孤立的結論、是顯性的，缺少理性、不深刻的.

二、單元教學視域與研究力

單元教學是用系統論的方法對教材中“具有某種內在關聯性”的內容進行分析、重組、整合并形成相對完整的教學單元，在教學整體觀的指導下將教學諸要素有序規劃以優化教學效果的教學[1].

李昌官認為，研究力是指一個人所具有的研究能力與有效運用這種能力的個性品質.它既包括研究所需要的知識、經驗、技能、策略、方法等智力因素，也包括支撐研究的情感、態度、愿望、決心、意志、毅力與價值觀等非智力因素[2].本文的研究力與此觀點相似，研究力不僅包括研究能力，還包括研究意識、研究眼光、研究欲望等.研究力是學生研究型學習的出發點，也是回歸點.學生在進行研究型學習的過程中，通過自主性、獨立探索和實踐，能夠主動提出新問題、新方法、新思路，獲取活動經驗，養成科學精神和科學態度，形成持續的數學學習力.

提升學生研究力定位于單元教學視域，有利于學生基于數學的整體性和內在的邏輯連貫性，明確要研究什么內容，為什么要研究該內容，研究的基本路徑是什么，研究的基本方法是什么.

三、致力學生數學研究力發展的教學

1.創設情境，提出課題

問題1 請看選修2-2第一章的章頭圖，這是跳水運動員高臺跳水的圖片.已知運動員的跳水高度h與時間t的關系是h(t)=-4.9t2+6.5t+10.(1)請畫出該函數的圖象.(2)請你提出幾個值得研究的問題，并嘗試解決.

設計意圖：提出問題是問題解決的起點，又是問題解決的終點.設置低起點的問題，激發學生積極參與進來的熱情，讓學生切身體會到研究并不是想象中的高大上.讓學生在畫圖的過程中，經歷符號語言、圖形語言、文字語言互譯的過程，為接下來的提出問題作下鋪墊.提出問題比解決問題更重要，提出結構良好的問題對研究能力的培養尤為重要.在提問的過程，學生就會從整體上來考量這個背景，教師在單元教學的視域下適時甄別問題，和學生一起提出本節課要研究的問題.

(過了一分鐘，教師投影一個學生的函數圖象，并請說明如何畫出.然后學生開火車式的輪流提出問題).

生3：沒達到最高時的運動狀態與達到最高點后的運動狀態如何？高度隨著時間的增大而增大，高度隨著時間的增大而減小.

生4：還有沒有其它簡便的方法研究函數的單調性？

師：你是怎么想到這個問題的？

生4：前面同學研究了運動狀態，我在想如果不是二次函數，是比較復雜的函數，如何研究單調性呢？

生5：速度多少？

師：瞬時速度還是平均速度啊？如何計算？

師：當Δt接近0時，平均速度發生什么變化？

生齊：平均速度就被認為瞬時速度了.

師：瞬時速度就是增量比值的極限值，這個其實就是什么？

生齊：導數的概念.

師：導數概念涉及到變化率.現在還留下第4位同學提到的想要得到其它簡便的求單調性的方法.那么函數單調性與什么有關呢？有什么關系呢？

問題2 關于函數單調性，你掌握了哪些知識？

設計意圖：教師在單元教學視域下激活聯想，認識到在對已有的知識、方法回顧中認識到可從形和數，圖象和定義去研究新問題，讓學生認識到知識具有聯系性和整體性.

生：求函數單調性的方法：定義法，圖象法……關于函數單調遞增，從圖象上看，圖象呈現上升趨勢；從定義看函數值隨著自變量的增大而增大.

追問：前面學習我們感受到“以直代曲”思想，并體會到它對研究問題所帶來的方便性.那么你能用這種思想來看待圖象的上升趨勢嗎？

設計意圖：要認識新事物，數學上最基本的是觀察圖象，對研究問題有直觀認識.給學生明確“以直代曲”的研究方法，容易形成單調性與切線斜率有關系的直覺.

(教師幾何畫板演示切線的變化過程.)

師：這說明函數的單調性與切線的斜率存在某種聯系，而導數在某點處的值就是切線的斜率，那么單調性與導數值存在著一定的聯系.這就是這節課我們要研究的課題：函數的單調性與導數.

2．結論探究，抽象建模

問題3 為什么單調性與導數值存在著某種聯系呢？

師：由單調遞增的定義變形可以得到

(1)初探結論

師：函數在某個區間單調遞增，會不會出現

f′(x)<0呢？

(教師幾何畫板作出v(t)=h′(t)的函數圖象，學生觀察h(t)的單調性與h′(t)符號的關系)

生9：函數圖象上升，以直代曲，切線不會出現下降，也就是不會出現f′(x)<0.

師生一起初步得到結論，函數的單調性與導數的關系一：

在某個區間(a,b)內，函數y=h(t)單調遞增?h′(t)>0；函數y=h(t)單調遞減?h′(t)<0.

設計意圖：研究過程中我們經常會碰到思路受阻，我們需要形成整體認識觀，聯系單元知識、宏觀研究方法(如數形結合思想、特殊化法等)，探尋進一步研究的方向.

(2)再探結論

師：這個結論是否具有普遍性呢？

生8：嘗試羅列幾個函數，來研究一下單調性與導數的關系.

生9：證明吧！

問題4 你能給出幾個常見的函數，然后判斷單調性與導數值的關系是否滿足剛才的結論？(開火車式的輪流)

生6：一次函數y=x+1，當x∈R時函數單調遞增，y′=1>0.

生7：二次函數y=x2+2x，當x≤-1時，函數單調遞減，y′=2x+2≤0；當x>-1時，函數單調遞增，y′=2x+2>0.

生8：三次函數y=x3，當x∈R時函數單調遞增，y′=3x2≥0.

師：從這四個例子可以看出剛才初步得到的結論不夠準確，應該為：

結論1：在某個區間(a,b)內，當函數y=h(t)單調遞增時，h′(t)≥0.

追問1：把關系一條件結論對調，在某個區間(a,b)內，h′(t)>0?函數y=h(t)單調遞增，正確嗎？

生10：切線朝右上，曲線也向上，成立.

結論2：在某個區間(a,b)內，h′(t)>0?函數y=h(t)單調遞增.

設計意圖：研究離不開猜想，但猜想有時不可靠，說明猜想不正確的簡單方法就是舉反例.學生只有系統地掌握學過的知識，才能讓反例有更強的針對性，促進修正猜想.

師：我們借助一個形象的例子，請大家觀看動畫.你看到了什么？

生齊：山坡，汽車，燈光.

師：如果用數學的眼光去看，我們又看到了什么呢？

生齊：曲線，點，切線.

師：如果燈光向上，我們可以判斷汽車上坡；如果燈光向下，我們可以判斷汽車下坡.再用數學的眼光去看這個實例，你得到什么？

生齊：如果切線斜率k>0，則原函數單調遞增；如果切線斜率k<0，則原函數單調遞減.

師：雖然這個實例不是很準確，但對于我們理解導數與單調性很有幫助.

(3)結論的再探究

問題5 在某個區間(a,b)內，①恒有f′(x)=0時，函數f(x)有什么特性？②存在有限個點使得f′(x)=0，其余點都恒有f′(x)>0，則f(x)有什么特性？

生10：f(x)是常數函數.

生11：函數f(x)單調遞增.

追問：在某個區間(a,b)內，f′(x)≥0能說明f(x)單調遞增嗎？

生齊：不能！

設計意圖：數學結論的發現離不開合情推理和演繹推理.在初步感知到研究的必要性后，通過三探：初探結論、再探結論、結論的再探究，讓學生學會從多角度去探究結論.研究的結論或先后順序可以與課本的編排不一致，因為研究本身就是開放性的.通過這個結論猜想+論證發現的整個活動經驗的積累，提升了學生的單元研究能力.

(4)結論的形成

師生一起形成結論，函數的單調性與導數的正負有如下結論：

在區間(a,b)內，f′(x)>0?函數y=f(x)單調遞增；f′(x)<0?函數y=f(x)單調遞減.反之不成立.

函數y=f(x)單調遞增?f′(x)≥0；函數y=f(x)單調遞減?f′(x)≤0.反之不成立.

3.遷移運用，深化認識(例題略)

師：我們總結一下利用導數研究函數單調性的步驟.

生齊：①求函數f(x)的定義域；②求函數f(x)的導函數f′(x)；③利用導函數f′(x)圖象判斷導函數的正負；④確定函數f(x)的單調性.

4.反思回顧，研究展望

師：除了用導數的方法，還有其它方法研究單調性嗎？

生12：圖象法，定義法等等.

師：那為什么還要學習導數法呢？

生：定義法有點麻煩，有些函數的圖象畫起來不方便.

師：導數法是用代數的方法通過計算導函數去解決單調性問題，幾何圖形使用技術都能作出來，但是有時眼見不一定為實.形少數時難入微啊！

師：學會用導數研究函數單調性了，以后我們將要研究哪些內容呢？

生：其它的函數性質，如最值……

設計意圖：在反思回顧環節，聯系新知識與舊知識的功能，明白各自的優劣勢，讓學生會辯證的選擇方法.新知識的獲得不是終點，它又是后續知識的起點.學生在這種學習中就能更好地完善認知結構，在單元思想下理解新知.

四、單元視域下提升學生數學研究力的體會與反思

1.為提高學生研究能力，教學過程應注重“四大”

實施單元教學應強化學習與研究的大背景、大問題、大思路、大框架[3].本文是在單元——課時中提升學生的研究力，尤其要在整體思想指導下進行課時教學，教師需注重創設大背景、注重過程大策略、注重內容大聯系.

(1)注重創設大背景

在單元視域下提出研究問題，需創設大背景.創設的背景問題的指向如果是單一的，它不符合單元教學思想.當學生提出若干個需要研究的問題時，我們可以逐一甄別，使得問題的提出自然些.如有些問題其實就是過去研究過的哪個類型的問題，有些問題本質上是相同的，無先后研究的區別，有些問題是另外問題的研究基礎，因此有必要先研究.

(2)注重過程大策略

單元視域下的研究過程不糾結于細枝末節，注重過程的大策略指導，使得學生通過單元研究型學習掌握單元的研究方法.因為單元視域下的研究型課堂，不管是概念型單元或者定理型單元都具有相應的大研究策略.

(3)注重內容大聯系

數學是結構性非常強的一門學科，課時在單元內容中的聯系及該單元與其它單元之間的聯系都是非常緊密的.教師引領學生在學習過程理解數學的內容結構(數學教材內容的編排結構和數學知識本身的邏輯結構)和方法結構(研究教材內容所蘊含的方法結構和解決問題所采用的方法結構)，聯系地、整體地、邏輯連貫的去看待課時內容.

2.激發學生研究的欲望

一個人的成功=20%智商+80%情商，那么應用到學生研究力培養上，情商也具有重要作用.因此，教師在教學環節設置起點低、開放的背景，讓每個學生都能參與的研究中來，讓每個學生都有問題可提，激發參與的欲望.在研究過程，及時肯定，認可學生研究的觀點、以及為此付出的努力.抓住機會讓學生享受參與研究的成就感！