幾例數學運算素養之培養的教學片斷

江西省南昌市第三中學 (330096) 張金生

當下特別強調課堂教學中要突出數學核心素養落實，要以發展的觀點，促進學生數學核心素養的不斷提升，讓數學核心素養融入數學課堂教學內容.數學運算是六大數學核心素養之一，是學生繼續學習數學的基礎，還是后續發展的必備素養.在當今信息化、數字化的時代，運算能力是每一個現代公民必須具備的一項基本素養.蘇聯心理學家克魯捷茨基曾說過：“數學才能早在童年時期就能形成，其中主要是以運算能力的形式出現的.當然，這個時期的運算能力還不是完整的數學能力，但在這種運算能力的基礎上，卻可以常常形成其他的數學能力.例如，求證能力、推理能力與獨立掌握數據的能力”.數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養.《課標》明確指出“數學運算”核心素養包括：理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、選擇運算方法、求得運算結果等，其中探究運算思路、選擇運算方法顯得尤為重要.

算理是運算的依據.每一種運算都有一定的理論依據，掌握這些理論依據是培養學生運算能力的前提，如果不懂算理，只是機械訓練就無法適應千變萬化的具體情況.目前不少學生過度依賴計算器，導致數學運算素養差.有些學生總是機械地套用運算公式，不會靈活進行變形；有些學生在缺乏運算目標的情況下盲目地推理演算；有些學生在運算過程中不能選擇合理、簡潔的運算途徑，運算過程繁瑣，準確率低等等.數學運算有精算、簡算、估算等.2019年全國高考數學Ⅰ卷第4題，考的是估算，以維納斯女神圖片為命題背景命題轟動一時，在網絡上一度刷屏.估算是精算的重要補充，估算過程的心智活動層次較高，是培養學生數感和核心素養的重要途徑，也是培養學生具體情況具體分析、靈活選擇策略解決問題能力的有效方法.在數學教學中培養估算意識、發展數感比結果更重要.估算與數感是高度正相關的，數感是估算意識和能力的基礎.要把估算教學與解決問題相結合，利用生活常識進行估算，進行合情推理，拓寬解題思路.如湊數估算、經驗估算、規律估算、位數估算、參照估計法和尾數估算.估算教學是教師進行教學探索的有益嘗試．這種嘗試做多了，數學核心素養的培育，就真正能得到有效的落實.

下面是筆者在教學實踐過程中培養學生數學運算核心素養的幾個教學片斷：

案例1初高中銜接內容《數與式》教學片斷：

師：a3±b3=(a±b)(a2?ab+b2),怎么證明這公式？

生：由右邊展開后合并同類項得到左邊如：

(a-b)(a2+ab+b2)=a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3=a3-b3.

師：有沒有別的方法？請看：a2-b2=a2-ab+ab-b2=a(a-b)+b(a-b)=(a-b)(a+b);

a2+2ab+b2=a2+ab+ab+b2=a(a+b)+b(a+b)=(a+b)(a+b);

這些證明，關鍵是如何添拆項、因式分解，同學們能不能類似證明a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).

生：a3-b3=a3-a2b+a2b-ab2+ab2-b3=a2(a-b)+ab(a-b)+b2(a-b)=(a-b)(a2+ab+b2).

師：非常好！這里靈活運用了添拆項、和差術、分組分解等方法.

設計意圖：用不同的方法進行代數式的變形處理，培養學生因式分解的能力，提高數學運算核心素養.

賞析：本教學片斷老師先就學生已熟悉的公式入手，拋磚引玉，引導學生解決新問題，關注了學生的解題障礙與困難，把握了學生認知的過程，提出了合適的數學問題，啟發學生思考，感悟數學的思想，形成與發展學生的數學運算核心素養.

案例2初高中銜接內容《一元二次方程根與系數的關系》教學片斷：

師：已知實數x,y滿足x2+y2-xy+2x-y+1=0，試求x,y的值．

在有限時間內，學生一時一籌莫展.

師：把方程看作是關于x的方程，整理得x2-(y-2)x+y2-y+1=0.

由于x是實數，所以此方程有實數根，因此△=[-(y-2)]2-4(y2-y+1)=-3y2≥0?y=0,代入原方程得x2+2x+1=0?x=-1．綜上知x=-1,y=0.

該題給足了時間給學生思考，在老師講了判別式法后，請學生展示不同的解法：

生1：(x-y+1)2+(x+1)2+y2=0，∴x-y+1=x+1=y=0;

生2：(x+y+1)2+3(x-y+1)2=0，

生3：3(x+1)2+(x-2y+1)2=0，

設計意圖:教師先示范用方程思想去解決數學運算問題，然后引導學生通過多角度探尋對式子的配方和因式分解，培養學生對數與式的處理能力，提高數學運算核心素養.

賞析:本題原本是培養學生對式子運用方程思想，判別式法去解決問題.但在教學過程中給足時間讓學生思考后，意外發現學生竟然配方出多種新式，教學相長.我們經常聽到學生說：“一聽就懂，一做就錯”，也常聽教師說：“我已經講了好幾遍，怎么還不會”等等.原因是多方面的，很大程度上是我們總是扮演“先知先覺”的上帝角色，沒有引領學生走入知識生成的原生態.我們應該引領學生思考與表達、交流與反思，充分發展思維，從而提升學生的核心素養.

案例3一次三模試卷講評課的教學片段：

(1)求橢圓C的方程;

(2)若橢圓C的左頂點為M,過點F2且斜率為k1的直線交橢圓C于P,Q兩點,MPQ的外心為N,直線ON的斜率為k2,求k1·k2的值.

師：這道題第二問基本沒有全對的，原因是三條直線中選錯對象，同學們基本上選擇求弦PQ的垂直平分線和PM或QM的一條的垂直平分線去聯立，計算量太大，難以計算.同學們試著聯立PM和QM的垂直平分線.

師：非常好！選對了直線，設而不求，少設多則，整體代換，得到線段MP的中垂線方程后只需將y1換成y2；同理得到線段MQ的中垂線方程，減少了計算量.

設計意圖：解析幾何通常運算量大，如何理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、選擇正確的運算方法顯得尤為重要.本題利用對稱性、同理可得等手段，由此在解析幾何問題處理中減少了計算量.

賞析：本教學片段通過評卷分析，了解了學生的解題障礙與困難，把握了學生認知的過程，啟發學生思考，從而讓學生掌握一些常見的計算方法，并能合理設計算法.這里利用直線PM與QM的對等位置，選擇聯立PM和QM的垂直平分線求外心.本片斷引導學生觀察思考，動筆計算嘗試，來領悟和掌握如何合理簡化運算過程，展示了解析幾何計算問題中的科學合理的方法選擇，提供了培養良好運算能力的素材，培養了數學運算核心素養.

案例4 2019南昌市零模試卷理科12題講評課教學片斷.

函數f(x)=(x2-ax)ex-ax+a2(e為自然對數的底數，a∈R，a為常數)有三個不同零點，則a的取值范圍是( ).

師：直接求導或一開始就分離變量，計算量大，若發現該式能因式分解，將大大減少計算量.

解析:令f(x)=0，則(x2-ax)ex-ax+a2=(x-a)(xex-a)=0,故f(x)=(x2-ax)ex-ax+a2有三個不同零點?x-a=0或xex-a=0共有三個不等根?直線y=a與y=x和y=xex的圖像共有三個交點.

在同一坐標系中，作出y=x與y=xex的圖像,由直線y=a與y=x有一個交點，故直線y=a與y=xex有兩個交點.

圖1

令g(x)=xex，則g′(x)=(x+1)ex，故g(x)在

(-∞,-1]遞減，在(-1,

+∞)遞增，且gmin(x)=

賞析:本教學片斷通過評卷分析，揭示該題本質，通過因式分解、分離變量，轉化為熟悉的基本函數y=a與y=xex，運用數形結合的數學思想去求解問題，使學生掌握一些合理設計算法形成簡便運算的方法，體會數學思想，培養核心素養.本教學片段針對學生的運算困惑和解題思路給予了合理的指導和點撥.

運算能力的生成是學生個體的數學知識、思想、方法、解題經驗、情感意識自然內化不斷升華的活動過程，是建立在記憶、觀察、理解、表述等能力基礎上的，各種思維能力聯系、比較是運算能力生成的關鍵.教師在教學過程中要敢于放手，讓學生動手獲取自己的體驗，要合理創設問題情境，讓學生感覺到運算的必要性，激發他們的認知需求.引導學生選擇恰當的運算方法、不拘泥于一種格式，是教師進行教學探索的有益嘗試.這種嘗試做多了，數學核心素養的培育，就真正能得到有效的落實.