一道浙江數(shù)學(xué)高考題引發(fā)的探究與教學(xué)啟示

浙江省海寧中學(xué) (314408) 李安毓

2018年是浙江省新高考改革后文理合卷的第二年，從2004年開始浙江自主命題到現(xiàn)在已有15年歷史，通過高考命題專家多年的經(jīng)驗(yàn)積累，浙江高考數(shù)學(xué)已經(jīng)形成了鮮明的“浙式”風(fēng)格——起點(diǎn)低、入口寬、層次多、區(qū)分強(qiáng).本文中，筆者就以2018年高考數(shù)學(xué)試題填空題壓軸第17題為例，從解法探究到背景追溯，縱向聯(lián)系往屆同源試題，再進(jìn)行一般化推廣，最后總結(jié)教學(xué)啟示，與廣大教師朋友們交流切磋.

一、試題呈現(xiàn)

評(píng)注：本題為2018年浙江高考數(shù)學(xué)的填空壓軸題第17題，屬于一道經(jīng)典的圓錐曲線壓軸題，其特點(diǎn)為：橢圓與直線及平面向量的綜合，直線過定點(diǎn)時(shí)求動(dòng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)絕對(duì)值取最大值時(shí)參數(shù)m的值，有著較強(qiáng)的幾何意味.本題的通性通法是圓錐曲線中的非對(duì)稱結(jié)構(gòu)韋達(dá)定理模型的應(yīng)用，考生雖然下手容易，但運(yùn)算量較大，容易求解失誤.因此本題也是對(duì)學(xué)生堅(jiān)忍不拔的意志力和良好心態(tài)的考查.

二、解法探究

美國數(shù)學(xué)家Paul Halmos曾說：“數(shù)學(xué)真正的組成部分應(yīng)該是問題和解，問題才是數(shù)學(xué)的心臟”.對(duì)高三學(xué)生來說，各類考試題尤其是高考題無疑是最典型和熟悉的“問題”.如何提高學(xué)生的解題能力、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，永遠(yuǎn)是每位數(shù)學(xué)教師教學(xué)工作的第一要?jiǎng)?wù).高考真題具有豐富的內(nèi)涵，因此其解法也豐富多彩，從不同視角切入就會(huì)有不同的發(fā)現(xiàn)和驚喜，各種不同解法的背后無不閃耀著數(shù)學(xué)思想的光輝！教學(xué)實(shí)踐表明，有效地落實(shí)“一題多解”是提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要途徑，教師通過引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，思考與呈現(xiàn)不同解法的同時(shí)，充分暴露思維痕跡和過程，最終使學(xué)生解題能力得以拓展和提升！下面我們就來對(duì)本道高考題進(jìn)行解法探究，從多角度切入達(dá)到殊途同歸的目的.

1.韋達(dá)定理模型的視角(韋達(dá)定理，凸顯通法)

圖1

②當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)AB方程為y=kx+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，聯(lián)立方程組

綜上所述，當(dāng)m=5時(shí)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大.

點(diǎn)評(píng):解法1是本題的通性通法，也是學(xué)生比較容易想到和選用的方法.此法的特點(diǎn)是圓錐曲線中非對(duì)稱結(jié)構(gòu)應(yīng)用韋達(dá)定理的模型，因此關(guān)鍵在于直線與曲線聯(lián)立方程組，運(yùn)用韋達(dá)定理和基本不等式求解m的值以及B點(diǎn)的橫坐標(biāo)|xB|的最大值，此法涉及的運(yùn)算量較大，對(duì)考生的運(yùn)算求解能力有較高要求,同時(shí)也是對(duì)學(xué)生心態(tài)和意志力的磨煉和考驗(yàn).

2二次函數(shù)求最值的視角(巧妙消元，合理構(gòu)造)

3.換元法的視角(三角換元，快速突破)

4.參數(shù)方程的視角(靈活設(shè)參，曲徑通幽)

5斜率積關(guān)系式的視角(巧用“垂徑”，簡化運(yùn)算)

圖2

點(diǎn)評(píng)：解法5關(guān)鍵運(yùn)用了橢圓中的“垂徑定理”即斜率積關(guān)系式，巧妙設(shè)出弦AB中點(diǎn)N，再利用已知條件中的向量關(guān)系式表示出N點(diǎn)坐標(biāo)，從而利用橢圓“垂徑定理”代換出點(diǎn)B橫坐標(biāo)與斜率k的關(guān)系式，后續(xù)思路與解法1相似.該解法的亮點(diǎn)是巧妙運(yùn)用了浙江高考常用結(jié)論——橢圓“垂徑定理”的斜率積關(guān)系式輕松得出|xB|與斜率k的關(guān)系式，相比解法1中韋達(dá)定理大大減少了運(yùn)算量，從而降低計(jì)算難度輕松求解，讓人耳目一新.

6.仿射變換的視角(化橢為圓，別有洞天)

圖3

點(diǎn)評(píng):解法6打破常規(guī)，靈活運(yùn)用“仿射變換”的思想，巧妙對(duì)橢圓實(shí)施伸縮變換化橢為圓，進(jìn)而把直線與橢圓問題輕松轉(zhuǎn)化為直線與圓的問題，進(jìn)而利用圓的優(yōu)美幾何性質(zhì)，使難題快速解決.橢圓化圓與常規(guī)方法相比，無論是思維難度還是運(yùn)算難度都大大降低，可謂劍走偏鋒，出其不意、事半功倍.但這種方法有點(diǎn)太超學(xué)生射程，一般無法達(dá)到此種水平.

三、尋根探源

對(duì)本題解法探究后，就結(jié)束了嗎？數(shù)學(xué)教育家波利亞說：“沒有任何一道數(shù)學(xué)題目是徹底完成了的，總還會(huì)有些事情可以做.”通過以上的多角度解法探究，下面筆者繼續(xù)對(duì)該題的底蘊(yùn)和背景進(jìn)行挖掘，再把該問題從特殊到一般進(jìn)行推廣、拓展延伸揭示本質(zhì)，彰顯數(shù)學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通，達(dá)到提升能力、拓展應(yīng)用的目的.

圖4

本題是2011年浙江卷理科填空題第17題，無獨(dú)有偶，時(shí)隔7年，同源試題再現(xiàn).例1和例2兩題的類型和命題手法有很多相似之處.其一，它們都處在填空題的最后一道“壓軸題”位置上；其二，已知條件和類型都是“橢圓與向量綜合”；其三，解題思路凸顯了通性通法即解析幾何的核心思想方法——坐標(biāo)法，以及韋達(dá)定理模型的運(yùn)用.唯一區(qū)別是兩題的問法不一樣，例1是最值問題，例2則是直線過定點(diǎn)問題.事實(shí)上例1是例2的一道變式題，“表象”與“本質(zhì)”可謂是一脈相承.與此類似的同源試題還有：

四、拓展推廣

數(shù)學(xué)問題中的一般化推廣就是在一定范圍內(nèi)對(duì)數(shù)學(xué)概念與定理、性質(zhì)與命題進(jìn)行的拓展，使其在更廣范圍內(nèi)或更高層次上繼續(xù)成立.拓展推廣是數(shù)學(xué)中一種非常重要的研究手段，數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展離不開推廣，從特殊到一般正是我們?cè)谡n堂教學(xué)中探索數(shù)學(xué)問題的常用和重要方法.因此在解法探究和背景追溯后一個(gè)很自然的想法是引導(dǎo)學(xué)生思考以下問題：

推廣1其實(shí)是推廣2當(dāng)λ=2的特殊化情形，其證明方法與推廣2基本一致，限于篇幅不再累贅.

②若直線AB斜率存在，則設(shè)AB方程為y=kx+t，A(x1,y1)，B(x2,y2)，于是聯(lián)立方程組

五、教學(xué)啟示

1.注重對(duì)高考真題教學(xué)價(jià)值的挖掘

每年的高考試題都是命題專家智慧的結(jié)晶，高考試題作為測(cè)試學(xué)生的載體，除了選拔功能還具有良好的教學(xué)導(dǎo)向和教學(xué)價(jià)值.因此，在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，我們應(yīng)該注重對(duì)高考真題教學(xué)價(jià)值的挖掘，可以把一些典型高考真題作為一個(gè)優(yōu)秀素材搬到課堂教學(xué)中，讓其變成教師復(fù)習(xí)知識(shí)、培養(yǎng)學(xué)生思維能力與提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有力武器.教學(xué)實(shí)踐表明對(duì)一些典型高考試題進(jìn)行尋根探源、拓展推廣等“二次開發(fā)”是使學(xué)生升華知識(shí)、提升能力素養(yǎng)的有效途徑.

2.關(guān)注培養(yǎng)學(xué)生拓展探究的習(xí)慣和品質(zhì)

羅增儒教授說：“一旦獲解，就立即產(chǎn)生感情的滿足，從而導(dǎo)致心理封閉，忽略解題后的再思考，恰好錯(cuò)過了提高的機(jī)會(huì)，無異于入寶山而空返”.解題本身只是表象，拓展提升才能體現(xiàn)命題本質(zhì)，進(jìn)而提高解題能力和復(fù)習(xí)效率.因此本文中，筆者對(duì)例1進(jìn)行多角度解法探究后，并沒有停滯在解法本身，而是進(jìn)行了一系列尋根探源、拓展推廣.在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師應(yīng)努力啟發(fā)學(xué)生對(duì)典型問題要以一種探究的眼光、拓展的態(tài)度對(duì)其加以推廣延伸，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生拓展探究的習(xí)慣和品質(zhì)，促進(jìn)實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí).

3.關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)教學(xué)，為理解而教

從以上解法探究可以看出，作為一道高考填空題的壓軸題，它所涉及的知識(shí)面是多元的，面對(duì)多元化的知識(shí)結(jié)構(gòu)及其相互聯(lián)系，光靠學(xué)生死記硬背顯然是行不通的.這就要求我們一線數(shù)學(xué)教師在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，要注重知識(shí)的生成過程，并始終圍繞問題與知識(shí)的本質(zhì)展開教學(xué).浙江新高考試題以“雙基”為載體，注重能力立意，考查思想方法.因此，新高考的號(hào)召啟示和呼吁我們?cè)诟呖紡?fù)習(xí)中，少一點(diǎn)題海戰(zhàn)術(shù)，多一點(diǎn)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.

4.高三復(fù)習(xí)教學(xué)中加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想的滲透

眾所周知，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中“一題多解”可以很好地鍛煉學(xué)生思維，使其更具發(fā)散性和靈活性，然而若只在課堂教學(xué)中一味單純地進(jìn)行解法的精彩“表演”，教師自己倒是很享受其過程，學(xué)生除了贊嘆之外會(huì)將這些解法轉(zhuǎn)瞬忘光，難以留下深刻而長久的理解和記憶.歸根結(jié)底是我們往往煞費(fèi)苦心地介紹解法，缺失對(duì)解題思想的提煉和升華，以至于把這些精彩技法變成了“五根之水”，有時(shí)方法越多容易陷入混亂反而是一種災(zāi)難，這是值得我們一線教師深思的問題.因此,探究解法的核心應(yīng)是數(shù)學(xué)思想的提煉，只有堅(jiān)持在數(shù)學(xué)課堂中有機(jī)地融入數(shù)學(xué)思想，學(xué)生的素養(yǎng)能力才能有效提高，數(shù)學(xué)思維才會(huì)走得更遠(yuǎn)！