基本不等式在高次及不定方程(組)中精彩演繹*

福建省廈門第一中學(xué) (361003) 王淼生福建省廈門市第三中學(xué) (361006) 葉澤軍

我們熟知以下不等式鏈：

當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)，①等號(hào)成立．

我們將上述①稱為基本不等式．

基本不等式看似簡單，其功能極其強(qiáng)大！正如姜伯駒院士感嘆：“最簡單的東西，往往也是最本質(zhì)、最基本的東西，通過對(duì)簡單的把握，建立思維體系，通過推理，得出的結(jié)果往往是驚人的，這就是數(shù)學(xué)思維，是科學(xué)精神．”拙文[1]—[11]從不同側(cè)面展示了基本不等式在不等式求解、代數(shù)式最值(范圍)，特別在不等式證明等方面的應(yīng)用．其實(shí)，基本不等式的應(yīng)用并不僅僅局限于不等式，遵循哲學(xué)對(duì)立統(tǒng)一的觀點(diǎn)，基本不等式在方程(組)中大有作為．尤其對(duì)那些令人棘手的不定方程(組)或者高次方程(組)，如果運(yùn)用基本不等式并恰當(dāng)好處利用其等號(hào)成立的條件，在“不等式”與“等式”之間架起一座橋梁，則可獲得獨(dú)辟蹊徑的解法．本文通過具體案例，呈現(xiàn)基本不等式在解決高次及不定方程(組)中的精彩演繹．

1.案例呈現(xiàn)

(1)單元高次方程

案例1求方程(x2006+1)(1+x2+x4+…+x2004)=2006x2005的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)．

解：由方程結(jié)構(gòu)特征容易發(fā)現(xiàn)：倘若上述方程有實(shí)數(shù)解，那么一定是正數(shù)解，否則方程右邊為負(fù)數(shù)，而左邊恒為正數(shù)．

(2)多元高次方程

案例2 若x，y，z，w∈R，求解下列方程中的x，y，z，w的值：(22x+1)(22y+2)(22z+4)(22w+8)=128·2x+y+z+w．

(3)單元無理方程

1=1+x，即x=0時(shí)等號(hào)成立，故原解方程的解為x=0．

(4)多元無理方程

(5)結(jié)構(gòu)相似方程組

案例5 求以下方程組的所有解：

解：觀察發(fā)現(xiàn)x≥0，y≥0，z≥0．當(dāng)x=y=z=0時(shí)，顯然滿足上述方程組．當(dāng)x>0，y>0，z>0時(shí)，上述方程組中三式相乘得到

(6)結(jié)構(gòu)不同方程組

以下與案例7的解法相同，請(qǐng)看案例7：

(7)轉(zhuǎn)化為方程組

證明：設(shè)長方體一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的棱長分別為a，b，c，則有a+b+c=3，a2+b2+c2=3．

上述案例7涉及立體幾何，其實(shí)基本不等式在平面幾何中也有類似的功能，請(qǐng)看案例8：

案例8 在ΔABC中，ha，hb，hc分別為三邊上相應(yīng)的高，r為三角形內(nèi)切圓的半徑，且滿足ha+hb+hc=9r．試確定ΔABC形狀．

將它們代入已知條件ha+hb+hc=9r得到

事實(shí)上，①式本身相當(dāng)于隱含條件，具有制約功能，請(qǐng)看以下案例9.

(8)驗(yàn)證方程組

案例9 設(shè)x、y、z∈R，且

2.案例評(píng)析

上述案例1、案例2均屬于高次方程，案例3、案例4屬于無理方程，倘若按照常規(guī)思路解答，其過程異常復(fù)雜；案例6源自1992年“友誼杯”國際邀請(qǐng)賽一道試題，與案例5比較，案例6則屬于結(jié)構(gòu)完全不同的方程組，如果案例6采取常見的代入消元手段，則顯得特別困難；將案例6適度變形就與案例7本質(zhì)完全相同；案例7、案例8屬于基本不等式在立體幾何與平面幾何方面的應(yīng)用；案例9源自某市一道競賽試題．從表面上看，專家給出的解答(即錯(cuò)解)似乎無懈可擊，但從正解就發(fā)現(xiàn)根本不存在這樣的實(shí)數(shù)x、y、z，究其原因在于命題專家沒有關(guān)注這兩個(gè)方程組之間還有著致命的制約條件(即基本不等式)，從而導(dǎo)致這兩個(gè)方程相互矛盾！這就提醒我們?cè)诿婆c不定方程相關(guān)的問題時(shí)，應(yīng)該首先考慮到制約條件，否則極易出現(xiàn)看似正確但實(shí)際矛盾的試題.

上述9個(gè)案例展示了基本不等式①在解決不定方程(組)及高次方程(組)中的精彩演繹．其實(shí)，基本不等式在解析幾何、三角、數(shù)列等知識(shí)模塊中亦有上佳表現(xiàn)．尤其將基本不等式引入待定系數(shù)后，其功能更是如虎添翼(詳見文[11]).

3.心得體會(huì)

“基本”蘊(yùn)含基本事實(shí)，凸顯簡捷之美，顯示基本條件，具有創(chuàng)新功能，折射事物本源，貫穿事情始終．事實(shí)上，上述①基于一個(gè)最為基本的代數(shù)事實(shí)：任何實(shí)數(shù)的平方均為非負(fù)數(shù)：

若x∈R，則x2≥0，試想還有比這個(gè)事實(shí)更為基本、更為簡捷的嗎？正如羅增儒教授指出，任何實(shí)數(shù)的平方均為非負(fù)數(shù)，這是實(shí)數(shù)一個(gè)非常深刻、帶有本源性的性質(zhì)，已成為實(shí)數(shù)大小關(guān)系的一個(gè)基本出發(fā)點(diǎn)，因而基本不等式①也自然帶有實(shí)數(shù)大小關(guān)系的本源性特征，因此上述①在整個(gè)不等式知識(shí)體系中具有舉足輕重、不可或缺的基礎(chǔ)性、本源性地位，因此新課標(biāo)教科書將上述①稱為“基本不等式”是實(shí)至名歸、恰如其分．

事實(shí)上，上述①的初衷，也是最基本、最經(jīng)典的應(yīng)用就是為了解決“和定求積最大值；積定求和最小值”問題，這正是很多人喜歡將上述①稱為“均值不等式”的緣故．盡管上述①功能強(qiáng)大，但畢竟是一個(gè)工具；盡管“均值不等式”稱號(hào)形象生動(dòng)，但名字僅僅只是體現(xiàn)其功能．若將上述①稱為“重要不等式”，看似進(jìn)一步強(qiáng)化了其在不等式乃至整個(gè)高中數(shù)學(xué)中的作用，甚至不惜冠以“重要”二字，但這僅僅只是一個(gè)重要結(jié)論，一個(gè)結(jié)果而已．新一輪課改的精髓在于學(xué)會(huì)知識(shí)與技能的同時(shí)，充分展示其過程和方法，進(jìn)而培養(yǎng)情感態(tài)度及價(jià)值觀，這就是為何將“三維目標(biāo)”作為基礎(chǔ)教育追求的目標(biāo)所在，這才是數(shù)學(xué)教育的真諦，這正是為何新課標(biāo)教科書將上述①的“名字”改為“基本不等式”的真正原因所在．看似一個(gè)名字的改變而已，實(shí)則凸顯了教材及主編的理念，那就是將上述①作為整個(gè)不等式知識(shí)的一個(gè)起始點(diǎn)、一個(gè)發(fā)源地，凸顯一個(gè)“過程”的開始．遺憾的是，很多教師沒有注意到這一名字的改變，在課堂上依然開口、閉口還是“均值不等式”、“重要不等式”．誰不知，一個(gè)名字的改變體現(xiàn)了教材編寫者用心良苦，承載著教材主編多少希翼與夢(mèng)想，又凝聚數(shù)學(xué)專家多少辛勞與心血．

當(dāng)然，柯西不等式、排序不等式等著名不等式在解決解決方程(組)同樣妙不可言．無論是基本不等式，還是柯西不等式、排序不等式等著名不等式，其關(guān)鍵在于充分挖掘等號(hào)成立的條件，使之成為“等”與“不等”之間的紐帶，最大限度地將基本不等式的功能發(fā)揮得淋漓盡致，從而得到簡捷、優(yōu)雅的解答，正如克萊因感嘆“一個(gè)精彩巧妙的證明，精神上近乎一首詩．”這就是數(shù)學(xué)方法恩賜于數(shù)學(xué)教師獨(dú)有的高雅的精神享受！這就是數(shù)學(xué)王國對(duì)數(shù)學(xué)教師最高的獎(jiǎng)賞！這就是數(shù)學(xué)迷宮吸引無數(shù)人為之瘋狂的魅力所在！