一道課本習題的解法探究

甘肅省迭部縣高級中學 (747400) 趙維剛

1.原題呈現

過原點的直線與圓x2+y2-6x+5=0相交于A，B兩點，求A，B的中點M的軌跡方程.

這道題是人民教育出版社A版《數學·選修2-1》第37頁習題2.1A組第4題，是一道以圓為背景的弦的中點問題，屬圓錐曲線部分的重要題型，這道題也是一個很好的教學資源.本文根據圓的定義和特有性質探究得到其多種不同的解法.

2.多視角解答

視角一：從CM⊥AB出發

圖1

又點M在圓x2+y2-6x+5=0的內部，所以x2+y2-6x+5<0.②

圖2

解法二：(利用圓的性質)如圖2所示，設x2+y2-6x+5=0的圓心為C，則點C的坐標是(3,0).又設點M的坐標為(x,y)，因為CM⊥AB，所以，點M在以OC為直徑的圓上.以OC為直徑的圓的方程為x(x-3)+y2=0，即x2+y2-3x=0.其他同解法一.

解法五：(利用勾股定理)如圖2所示，設x2+y2-6x+5=0的圓心為C，則點C的坐標是(3,0).又設點M的坐標為(x,y)，因為CM⊥AB，所以OM2+CM2=OC2，所以x2+y2+(x-3)2+y2=9，即x2+y2-3x=0.其他同解法一.

視角二：從直線的點斜式方程出發

解法六：由題意可知，弦AB所在直線的斜率存在，設其方程為y=kx.聯立方程組

視角三：利用點差法

視角四：借助直線的參數方程

3.反饋訓練

(1)求α的取值范圍；

(2)求AB中點P的軌跡的參數方程.

4.結語

課本是數學基礎知識的載體，課本中的習題具有代表性和探究性,其中蘊含著豐富的數學思想和數學方法，是學生數學活動的基本素材.因此，在數學教學中，教師要立足教材，注重挖掘教材資源，充分發揮習題的潛在功能，引導學生全方位、多角度思考問題，提升思維的深度、廣度，培養學生的創造性思維.