關注數列相關性質的應用

江蘇省張家港市塘橋高級中學 (215611) 周 浩

我們知道數列的通項公式和前n項和公式，可以看成是以正整數為自變量的函數關系，事實上，數列與函數之間是特殊與一般的關系，因此數列中除了自身特有性質外，還存在許多類似函數的性質，如周期性、單調性等．在解決數列問題中，若能注重數列性質的運用，可使解題優化，請看題例分析．

一、等差數列有關性質的應用

評注：根據等差數列的定義容易證明下面的性質：“若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，則am+an=ap+aq”，本題中，利用這個性質簡化了等差數列的前n項和公式得到S2n-1關于an和n的表達式，再由另一個條件得到an=2，使題目中所給的兩個條件拉上了關系，問題變得進一步明朗化．

例2 在等差數列{an}中，已知a1>0，且S17=S9，當n=時，Sn取最大值？

解析：因為a1>0且S17=S9，則數列{an}為遞減數列，由S17=S9得a10+a11+…+a17=0，即4(a13+a14)=0，即a13+a14=0，則必有a13>0，a14<0，故當n=13時，Sn有最大值(所有正項之和)．

評注：從所給的條件中挖出數列的單調性，再利用等差數列的性質找出數列中有多少個正項，多少個負項，則前n項和Sn的最大值，最小值就一目了然了．

二、等比數列有關性質的應用

例3 記等比數列{an}的前n項積為Tn(n∈N*)，已知am-1·am+1-2am=0，且T2m-1=128，則m的值為．

評析：根據等比數列的定義容易證明下面的性質：“若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，則am·an=ap·aq”，本題利用此性質將等比數列{an}的前2m-1項積T2m-1表示為am的關系式，明確了后續解題的方向．

例4 已知{an}是由正數組成的等比數列，且a1·a2·a3·……·a30=230，則a2·a5·a8·……a29的值為．

評析：利用等比數列的性質，挖掘題目的內涵，再整體地將已知條件變形處理，使問題的解決輕松自然，水到渠成．

三、等差、等比數列的一個共同性質應用

例5 設等差數列{an}的前n項和為Sn，若S3=9，S6=36，則a7+a8+a9=．

解析：由{an}是等差數列，由定義可以證得S3，S6-S3，S9-S6也成等差數列.即2(S6-S3)=S3+(S9-S6)，可得到S9-S6=2S6-3S3=45.

評析：對于等差(比)數列{an}中，前n項和為Sn，根據定義可以證明有如下性質：若數列a1,a2,a3,…an,…為等差(比)數列，則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等差(比)數列．本題利用此性質解題，避免了復雜的運算．

例6 已知正數的等比數列{an}前n項和為Sn，若S3=6，a7+a8+a9=24，則S99=．

評析：本解法利用了上述性質簡化了問題，降低了難度，注意在求等比數列的公比時，如果出現兩解的情況，要注意根據已知條件進行取舍，避免出現增解或漏解．

四、數列的周期性的應用

評析：由于題目中給出了數列的遞推公式，要求a2015，一般有兩種方法，或是找到數列的通項公式，或是判斷數列為周期數列，本題根據遞推公式，用賦值法探求出數列的周期性是常見的解題手段．

例8 已知數列{an}滿足an+1=

評析：本題中用分段函數形式給出了數列的遞推公式，在探求數列的前幾項時，要注意此項所屬的范圍，選對遞推公式．

五、數列單調性的應用

例9 數列{an}中，a1=8，a4=2，且滿足an+2-2an+1+an=0(n∈N*).

評析：本題是在判斷數列單調性的基礎上解決數列最值問題，然后再利用恒成立建立不等式，得到參數范圍，其中運用數列的前、后項相減得到數列單調性是關鍵步驟．

例10 已知數列{an}的通項公式an=3n-1，設數列{bn}滿足an(2bn-1)=1，并記Tn為{bn}的前n項和，求證：3Tn+1>log2(an+3)，(n∈N*).

評析：本題是用比值法(用后項比前項再與1比較)證明數列的單調性，若有f(n+1)>f(n)，則數列f(n)單調增，若有f(n+1)