平面向量與三角形“四線”的邂逅

江蘇省海門中學 (226100) 鄧 杰

平面向量在高中教材中占有重要地位，它具有代數和幾何“雙重身份”，融數形于一體，作為橋梁和紐帶可以和眾多數學主干知識相融合，因此平面向量是高考中的“常客”，平面向量數量積作為向量的重要內容，更是高考中的高頻考點.在三角形中，中線、中垂線、角平分線、高線是重要的四線，當平面向量數量積與三角形“四線”邂逅時，會有哪些常見的處理方法呢？下面筆者以高考一輪復習為基礎，以微專題形式淺談與三角形“四線”相關的平面向量數量積的常見求法.

1.知識呈現，挖掘信息

(1)中線，三角形三邊中線的交點——三角形的重心.

(2)高線，三角形三邊高線的交點——三角形的垂心.

(3)中垂線，三角形三邊中垂線的交點——三角形的外心.

(4)角平分線，三角形三條角平分線的交點——三角形的內心.

圖1

2.例題引領，變式探究

引例如圖1，在ΔABC中，A=60°,AB=5,AC=8,D為BC的中點.

圖2

分析：點O為ΔABC的外心.

圖3

3.跟蹤反饋，綜合提升

圖4

圖5

圖6

(方法四)特殊化,借助RtΔABC求解(略)

4.總結歸納，反思提升

平面向量數量積的常見求法主要有定義法(回到向量數量積的概念，求向量的模與夾角)，坐標法(建立適當的平面直角坐標系引入坐標求解)，基底法(應用平面向量基本定理轉化為基向量求解)等.

在處理與三角形“四線”相關的平面向量數量積問題時，“四線”的基本概念與性質是基礎，靈活使用平面向量相關定理和結論(如平面向量基本定理等)是前提，巧妙變形和過硬計算是保障.在具體解決問題的過程中，始終注意數學思想方法的滲透和使用，如特殊化、數形結合、轉化化歸思想等.