關(guān)于函數(shù)的兩個不等式

四川省綿陽開元中學(xué) (621000) 敬加義 黃超英

(Ⅰ)設(shè)函數(shù)F(x)=18f(x)-x2[h(x)]2，求F(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；

(Ⅰ)、(Ⅱ)解答略，本文運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，通過梯形面積和定積分的意義，給出本題第(Ⅲ)問的另一種解法，并根據(jù)這種解法導(dǎo)出涉及區(qū)間上非負(fù)凹(凸)函數(shù)的兩個不等式.

圖1 圖2

回顧上述解法，我們可得:

類似的，如圖2，f(x)是區(qū)間[m,n]上的可積凹函數(shù)，且f(x)≥0.

下面再舉兩例分別展示這兩個命題的應(yīng)用.

例2 (2009年高考山東卷·理·22題)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知對任意的n∈N*，點(diǎn)(n,Sn)均在函數(shù)y=bx+r(b>0且b≠1,b，r均為常數(shù))的圖象上.

(Ⅰ)求r的值；

說明：1.由本文所給兩個命題可得有關(guān)區(qū)間上的凹(凸)函數(shù)的不等式“更優(yōu)”下界(上界)的確定方法；

2.由于“定積分與微積分基本定理”已成為“新課標(biāo)”選修2—2中“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”部分的內(nèi)容，從而本文所使用解法及兩個命題所給出的不等式在理解與應(yīng)用上也就成為了可能,選修了該內(nèi)容的學(xué)生應(yīng)不陌生.