一種數學建模課程多元化考核評價模型研究

(浙江工業大學 理學院，浙江 杭州 310023)

為全方位地定義優秀人才，三位一體、自主招生等多種多元化招生考核方式打破了傳統高考一考定終生的模式。但作為培養優秀人才的搖籃，國內高校普通課程考核采用較為單一標準化考試為主，缺乏對學生創新能力、素質拓展以及實踐能力的考查。因此，傳統課程考核方式存在如下弊端：1)將考試等同于考核，使得學生在學習過程中逐漸形成“唯分論”的學習態度，一切向期末標準化考試看齊。2)缺乏培養學生課后自主學習的意識與習慣。由于高校課程的課時數有限，導致學生對所學知識掌握不夠扎實。3)忽視學生實踐能力的培養，學習的理論知識無法和專業實踐緊密結合，形成部分學生“高分低能”的現象。

為了解決以上問題，國內學者陸續關注高校課程多元化考核方式，并逐漸成為高校課程教學研究的熱點之一[1-5]。例如，劉軍等結合《機械創新設計》課程特點，從學生的學習態度、理論水平、實踐水平、創新能力四個維度入手建立一種基于模糊綜合評價的課程考核體系[1]。通過學生在課程學習過程中的表現對學生的課程學習效果進行多元化考核。田夏等借鑒上海交通大學“三位一體”招生考核模式，結合層次分析法與模糊綜合評價兩種方法建立多元化考核體系，從對知識、能力、人格養成三個維度入手建立多元化考核體系，并應用于學校實踐教學的考核[2]。劉軍和田夏等所提出的多元考核評價體系都是建立在模糊評價數學模型基礎之上，模型的特點適用于定性的五分制考核模式(優秀、良好、中等、合格、不合格)，無法量化百分制得分，具有一定的局限性。陳月明等結合《物流系統規劃與設計》課程特點，從過程性、總結性、關鍵能力三個維度入手提出一種多元化考核模式[3]。盧科青等從現場識圖、創新設計等六個維度入手提出一種適用于圖學類課程的多元化考核模式[4]。陳月明和盧科青等雖然明確提出相關課程的多元化考核維度框架，但缺少定量化的計算方法，考核具體可操作性并不強。冷慧廷等從高校政策角度出發，探討了一些實施多元化考核的保障措施和現實意義[5]。以上研究表明：越來越多的教師意識到當前高校課程考核方式存在的問題。尤其是針對學生創新能力培養而開設的課程，課程的培養目標要求學生能夠將理論知識與實踐能力緊密結合。如數學建模、智能機器人等課程，單純的標準化考試無法全面衡量學生的學習成果。目前，研究者所提出的一些多元化考核體系都存在一些可操作性方面的問題。為此，筆者以高校數學建模課程為例從學習態度、創新意識和實踐能力三個方面出發，構造課外網絡學習、課程實踐、期末測驗、到課表現、作業練習五個量化指標，建立修正的理想點法數學模型對學生進行多元化考核。

1 數學建模課程的多元化考核評價體系

國內高校的數學建模教育起始于20 世紀90 年代。課程內容不僅包括各種數學模型的理論知識，更加強調針對具體問題建立數學模型的過程。同時，由于課程具有實踐學時少、理論內容多、知識范圍廣等特點，使得任課教師一直受困于課程考核方式。而且，單一標準化考試方式對于學生的考核并不全面，所得結論存在偏差，也不利于引導學生全方面發展。為此，筆者提出一種適用于數學建模課程的多元化考核體系，如圖1所示。

圖1 數學模型課程多元化考核體系

為全面考核學生課程成績引入學習態度、創新意識和實踐能力三方面作為一級指標建立評價體系，如圖1所示。為便于考核的定量計算，將三個一級指標進一步分解為課外網絡學習、到課表現、課程實踐、作業訓練、期末測驗五個二級指標。其中，利用課外網絡學習、到課表現度量學生的學習態度，利用課程實踐與作業訓練度量學生的實踐能力，利用期末測驗度量學生的創新意識。

2 體系量化指標構建方法及理想點模型

通過獲取學生五個二級指標的數據進行定量化計算，并采用修正的理想點法模型量化該學生的課程成績以詳細介紹二級指標數據獲取方法以及計算模型。

2.1 量化指標獲取方式

為獲取多元化評價體系二級指標的數據，依托教學團隊建立的網絡課程學習平臺，由平臺提供原始數據支持。學習態度的二級數據獲取方式如下：為克服傳統課程課時有限以致學生無法在短時間內吸收知識的困境，任課教師引導學生于課后在網絡平臺自主學習，并由平臺記錄該學生的學習時長，以此培養學生自主學習的習慣，以x1(i)表示學號為i的學生在平臺累積學習課時。依據學生學期內到課情況度量該學生的到課表現，以x2(i)表示學號為i的學生課程到課率。實踐能力的二級數據獲取方式如下：在教學期間安排為期一周的課程實踐訓練，以此培養學生理論知識與實踐項目相結合的能力。此環節要求學生針對企業項目需求自主建立數學模型并編寫計算機程序求解，最終提供一份完整的解決方案，以x3(i)表示學號為i的學生課程實踐得分。網絡課程學習平臺設有按照知識點與難度分類的題庫，學生可以在課后自主選擇題目進行針對性訓練并上交教師批閱，以x4(i)表示學號為i的學生作業訓練得分。創新意識的二級數據獲取方式：期末安排一場關于創新意識的考試，以x5(i)表示學號為i的學生期末測試得分。課程結束后，任課教師可以獲得班級內某學號為的學生考核向量為

X(i)=[x1,(i),x2(i),x3(i),x4(i),x5(i)]

(1)

2.2 修正的理想點數學模型

由于向量中不同維度信息的量綱與數量級不同，不能直接進行比較建模，需要在模型計算前進行數據預處理。如x1(i)的單位量綱為學時，x2(i)的單位量綱為百分比等等。只有完成去量綱、去數量級變換后的數據才可以進行相互比較與計算。數據去量綱、去數量級的方法有很多[6-7]，筆者采用“最值化”處理。所謂“最值化”處理是指每個學生的指標除以所有學生該項指標的最大值，其計算式為

(2)

理想點法數學模型是一種相對性評價體系，每位學生的考核向量與最優秀的考核向量(正向理想向量)、最不優秀的考核向量(負向理想向量)進行比較。正向理想向量是指所有指標的最優值構成的一組“虛擬”考核向量PX[8]。負向理想向量是指所有指標的最劣值構成的一組“虛擬”考核向量NX。具體構造方式為

(3)

由于對數據預處理采用了“最值化”處理方式，因此正向理想向量是一組全1的向量。但在課程考核過程中采用相對評價體系存在一個明顯的缺陷：即使所有的學生表現得都非常優秀，成績最低的那位同學考核得分仍為0。這是由于最不優秀的考核向量采用的是相對值，而非絕對值。因此，建立修正的理想點法模型對五項二級指標進行融合。修正的模型核心在于構造正向理想向量時采用相對性值，構造負向理想向量時采用絕對性值。修正后的負向理想向量構造方式為

(4)

采用修正理想點法考核的基本思想：學生考核向量越接近正向理想向量PX越好，越遠離負向理想向量NX*越好。因此，需要計算每個學生的考核向量X(i)與兩者之間的距離，其計算式為

(5)

式中：DP(i)表示學號為i學生的考核向量與正向理想向量的距離；NP(i)表示學號為i學生的考核向量與負向理想向量的距離。

綜合每位學生的兩個距離信息DP(i)與NP(i)，該學生的最終考核得分s(i)為

(6)

式中：當學生在五項指標都達到最優值時，該學生與正向理想向量的距離DP(i)=0，此時得分s(i)=100。

基于修正理想點數學模型的課程考核計算流程如圖2所示。

圖2 體系計算流程圖

3 應用案例分析

為更深入地闡述多元化評價體系的計算流程，結合浙江工業大學某學期數學建模課程的考核案例進行分析說明。通過一學期的學習，任課教師得到班級內各學生在各項二級指標上的原始數據如表1所示。

表1 學生信息原始數據

運用式(2)對于原始數據進行最值化變換，得到變換后的數據，如表2所示。

表2 數據變換后的數據

運用式(5，6)計算班級27名學生距離正向理想向量的距離與負向理想向量的距離，從而獲得該課程的考核得分，如表3所示。

表3 所有學生考核信息表

從表3中可見：課程考核最高分為4號學生的92.9 分，課程考核成績最低為24號學生的57.6 分。計算后獲得學生課程得分數據的直方分布[9]情況，如圖3所示。由圖3可見該班級學生課程考核得分數據近似服從正態分布。

圖3 得分數據直方分布圖

進而，依據每位學生在五個維度的表現繪制雷達圖[10-11]進行多維數據可視化分析，如圖4所示。本模型采用的雷達圖為一幅正五邊形圖形，圖形的五條內棱長分別代表某位學生五個維度的得分。學生在各維度的得分取值為[0,1]之間的數，五個得分便形成一張小的五邊形。某學生形成的小五邊形越接近大五邊形說明該學生的綜合表現越好，考核得分越高。通過雷達圖可以有效地分析每位學生的優勢與不足之處，以便制定針對性地提高策略。

圖4 部分學生的考核雷達圖

從圖4中可發現：1號學生和4號學生所形成的雷達圖較為靠近大的五邊形，他們的得分也較高，分別為91.3分與92.9分。尤其是4號學生，其網絡學習課時、到課表現、課程實踐、作業訓練均為所有學生的最高分。24號學生與27號學生所形成的雷達圖面積較小，他們的得分分別為57.6分與59.2分。24號學生在網絡學習課時、作業訓練等方面表現得都不好。

4 結 論

以數學建模課程為例，提出一種多元化課程考核方案。針對學生的學習態度、實踐能力與創新意識，構建了網絡學習時長、到課表現、課程時間、作業訓練與期末測試五個二級指標進行量化計算。通過修正的理想點法數學模型確立相對化的正向標準與絕對化的負向標準，將五個二級指標有效地融合成課程考核得分。最終，通過雷達圖對每位學生的課程表現進行可視化分析。所提出的考核體系可以有效地解決傳統課程考核存在的一些問題，具有一定的有效性與可操作性。

本文得到了浙江工業大學課堂教學改革項目(KG201728，KG201729)的資助。