支持學生的數學思維

楊傳岡

數學學習的功用是鍛煉學生的思維能力，提升學生思維品質，發展學生的問題解決能力。保持學生獨立、持久的數學思維能力，讓學生在面對新知學習時愿意思考、積極思維是教師必須要考慮的重要問題之一。從這層意義上來說，課堂應回歸學科屬性，回歸數學常識，回歸學為中心，教師應鼓勵和支持學生以數學的方式提問、思考、表達、運用，讓數學思維成為學生課堂學習的核心要義。

一、想思：于思考基點處設疑

數學知識的初始學習不是一個一蹴而就的所見即所得的過程，更不是一個由A及B的直線式的簡單過程。學生的原始觀點、慣性推理方式在他們接觸新知識后所產生的心智表征發生改變的結果，是一個動態的、系統化的變化過程，主要表現為學生對新知的理解及與舊知有效關聯形成新的知識結構。顯而易見，從學生的認知基點處起手不僅有助于激發學生的探究欲望，有利于學生集中精力直擊問題內核，更有利于減輕學生的認知負擔，避免無效的周旋。

【案例1】蘇教版五上“平行四邊形面積計算”

師：你能直接算出這兩幅圖形的面積嗎？（課件出示未標數字的長方形、正方形）

生：沒有數字，無法計算。

師：現在你能算出它們的面積嗎？（將圖形放置在方格圖上，方格邊長1厘米）

生：長方形的面積是6×4=24平方厘米，正方形的面積是5×5=25平方厘米。

師：這是什么圖形？（課件出示圖1）

大膽猜想一下，這個平行四邊形的面積可能是多少呢？

生反饋：6×5=30平方厘米。6×4=24平方厘米。5×4=20平方厘米。

師：這3種假設可能都正確嗎？你認為可能會有幾個正確呢？（提示：假設有可能都不對）

學生展開討論。

師：數學思考不能只停留在假設階段，有了假設，更重要的是要尋找方法加以驗證。

師生一起用鋪小方格的方法驗證猜想，在實踐操作活動中逐步厘清知識本質，修正自己的先有概念，形成正確的知識理解。教師有的放矢地設疑，使學生的思維進入憤悱狀態，產生了積極思考的欲望，并且思考有了明確方向，為最終順利發現平行四邊形面積公式奠定了堅實的基礎。

二、會思：于問題薄弱處入手

在面對一個新的數學問題時，思維敏捷者往往能及時讀懂、理解文本中所提供的信息，并加以合理組合，確定初步的問題解決路徑;思維遲緩者則相反，他們理解已知信息常常不得要領，無法進行有意義的關聯，如果提供的信息過多或出現無關干擾信息，他們往往表現得較為慌亂，不知從何下手。會思考的學生善于從不同角度、不同方向思考問題，努力發現并判明所需解決問題的薄弱之處，通過反復試誤，繼而深入探究，直到發現問題解決路徑。所謂繩在細處斷，冰在薄處裂。在數學學習中，教師要有意識地培養學生會思考的能力，以便鍛煉學生解決問題的能力，提升學生的學力。

【案例2】蘇教版五上第20頁思考題

師：你能從題目中獲得哪些信息？要求什么問題？

生：知道原來長方形的長和寬，能算出它的面積。一個長方形被分成了一個三角形和一個梯形。

師：三角形和梯形的相關數據都有嗎？

生：知道三角形的一條直角邊，知道梯形的下底和高。

師：可以直接求出它們的面積嗎？你還知道什么信息？

生：三角形面積比梯形少180平方厘米。

師：從這個信息，你能聯想到什么信息？

生：大長方形的面積可以看成三角形和梯形的面積之和，而三角形面積比梯形小180平方厘米。這樣就能分別求出它們的面積。

師：大家聽懂了他的方法嗎？誰還有不同想法？

生1：三角形面積比梯形小180平方厘米。我想把梯形分成兩部分，一部分和三角形一樣大，剩下的小長方形面積就是180平方厘米。它的長是20厘米，可以先求寬，再求原來三角形和梯形的面積。（圖3）

生2：小長方形面積是180平方厘米，我們只要從原來的大長方形面積中減去180，把剩下的面積平均分成兩份，每份都是小三角形的面積，小三角形的面積加上180平方厘米就是梯形面積。

生3：把大長方形分成兩個一樣大的三角形，這樣就知道陰影部分面積是90平方厘米。（圖4）

師：為什么這塊陰影部分的面積是90平方厘米呢？

教師從學生讀題、理解題意起，鼓勵學生進行充分聯想，嘗試為已知信息建立有意義關聯，進而對問題薄弱之處——三角形的面積比梯形小180平方厘米展開探索性思考。學生獨立思考后，在畫圖建模、交流對話中激活了更多的問題解決思路，優化了問題解決方案，學會了思考問題的方法。

三、善思：于經驗方法處喚醒

數學學習不是信息和資料的簡單堆砌，理解一個新知識，就意味著將之納入自己已有的思維結構之中，并能用自己的話語體系加以表述。學習更是一種變形，是對學生先有概念的改造甚至是顛覆性改變，這種先有概念有時表現得比較頑固，很可能成為學生思維的絆腳石，束縛他們思考的深度與廣度，阻礙他們的認知進程。只有當學生主動在自己的思維系統內對新知進行闡釋時，學習才會真正發生。一旦學生已有知識、經驗、方法能被及時喚醒、有效調用，他們對新知的學習與掌握的進程就會變得順暢。

【案例3】蘇教版五上第48頁

師（出示圖5）：同學們根據題目提出了很多一步計算的數學問題，哪些問題已經學過？

生：買一個計算器和一支鋼筆一共多少元？

師：請同學們自己算一算，并把你的計算過程和同桌說一說。

學生自主完成后，板演并說明138+16的計算過程，其間注意表揚學生正確的算理：數位對齊，個位算起，滿十進一。

師：如果買一個講義夾和一本筆記本一共要多少元？該怎樣列式？

師：你會列豎式解答嗎？算之前，先在心里估一估結果。

師：老師收集了幾位同學的算法，一起來看一看。

師：同一道計算題，怎么會出現三種不同結果呢？先想一想，再把自己的想法在小組里交流。

教師出示思考提示：（1）比一比，對比算式，三種豎式有什么不同？（2）辯一辯，你覺得哪種列式方法是對的，為什么？（3）議一議，錯誤的列式方法，可能是怎樣想的？

教師課始從整數加法筆算引入，先喚醒學生已有的算法經驗，再現場展示學生的不同算法，把不同層次思維能力學生的先有概念完全暴露出來，引發學生從“比一比、辯一辯、議一議”三個層次進行深度思考，在思考、交流、討論中破解困惑，明晰新舊知識之間的聯系與區別，順利建構新的知識體系。

四、思成：于思考難點處突破

數學學習是一個對已有概念、性質、定理、公式的內化掌握，并能熟練運用這些基礎知識解決實際問題的過程。當學生接觸到一個待解決的新問題后，就會積極調動各種感官投入到緊張的思考之中。學生解決問題的思維進程一般不會特別通暢，總會遇到程度不同的思維阻力。這種阻力既可能是共性的，大家普遍都會感到困難的“思維暗礁”;也可能是個性的，不同學生在思考過程中可能會遇到各自獨特的“思維盲點”，學習最需要突破的就是這些思維難點。

面對“思維暗礁”或“思維盲點”，學生常常會陷入思維困頓，無法逾越障礙。教師可以適時拋出核心問題，組織學生聚力攻關、破解思維難點;亦可在學疑之處予以精當啟發或點撥，幫助學生理順思緒，觸發學生新舊知識的主動銜接，實現正向遷移，打破思維瓶頸，貫通整體解決思路，形成較為完整的解決方案，讓成功思考成為可能的現實。

【案例4】蘇教版四下“射線、直線和角的認識”

師：老師課前請大家畫了一條2厘米的線段，畫好了嗎？是這樣的嗎？（展示一位同學的作品）。

師：你是怎樣畫的呀？（及時提煉學生發言：直直的，有兩個端點，用尺量長度等）

師：這是一支激光筆，如果把發光點看成是一個端點，（將激光射到天花板上）現在，你在天花板上看到了什么？（另一個光點）

師：如果把這兩個光點用一條直直的線連接起來，就得到一條？（線段）

師：現在，老師把激光筆射出的紅色光線射向天空，你還能找到光線盡頭的那個光點嗎？（不能）

師：那這條線是直的嗎？有幾個端點？還能量出長度嗎？先獨立想一想，再和同學議一議。（反饋略）

師小結：這條線只有一個端點，是直直的，無限長，數學上稱為射線。

師（出示一位同學的預習案）：我們可以畫出一條長3厘米的射線嗎？

教師課前讓學生畫線段、射線、直線，將學生對線段、射線、直線長度的元認知充分放大，再通過課堂小組活動碰撞、質疑、交流，教師對學生的疑難之處及時點撥，讓學生在觀察、思考的基礎上深入體會“直線兩端可以無限地延長”“射線一端可以無限地延長”的具體涵義，盡量給出充足的時間讓學生用“沒有盡頭”這樣的兒童語言對新知做出自己的描述。

（作者單位：江蘇省鹽城市第二小學）