指對融合構造函數法巧解一類函數難題

張行

在高考和模擬考試中，常把指數函數與一次二次函數的混合，或者把對數函數與一次、二次函數的混合，來考察學生對函數適當處理，再利用求導法等解決問題的能力，很少出現指對混合起來考察學生，最近幾年，我們發現，指數函數與對數函數的混合函數，也逐漸出現，而且有逐漸增多的趨勢，這類題型難度大，解題方法比較少，常通過凹凸函數構造法，放縮法等來解決，最近筆者發現有一類指對混合函數題型，直接求導、凹凸轉化法或者放縮法很難做出來。但只要構造指對融合函數，結合函數的單調性，利用參數分類法，很好的解決了這類題型。

一、問題呈現

例題：設實數，若對任意，不等式恒成立，則m的最大值是（ ????）

解析：指對混合，直接分離參數法難求出，不分離直接求導也很難做。

方法1：融合為對數型函數

二、指對融合函數技巧總結

那些函數可以進行指對融合構造呢？根據上面例題的經驗，下面集合函數可以統一成一個函數：

上面這6個函數都是考試必考的函數，如果每對出現在同一題目中，我們可以把他們融合成一個函數，再利用單調性法化簡，再用求導解決這類問題。

三、變式訓練：

從以上可見，指數函數與對數函數同在一道題中，增加了求導的難度，如果用指對融合法變成一個函數，無疑減小了難度，優化了解題過程，是一個值得推廣的方法。