提升理性思維的課堂教學實踐

【摘 要】在初一第一學期的期末測試中，數學試卷中有一道填空壓軸題（題2），年級的平均錯誤率達到了45%，而筆者所教的兩個班級的錯誤率分別在9%和5.8%。值得注意的是，考前復習時各班均練習并講評過類似的題目（題1）。在本文中，筆者將通過回顧題1的教學來反思、探討如何提升學生理性思維，并進一步改進教學方式。

【關鍵詞】數學課堂;學生;思維

數學課堂教學的有效性體現在學生理性思維的提升上，筆者通過對兩道代數題的比較，認識到了過程教學的重要性，并對具體教學實踐進行了分析。

1? ?原題呈現

題1：把四張形狀大小完全相同的小長方形卡片，如圖1（a），卡片長為，寬為，不重疊地放在一個底面為長方形（長為，寬為）的盒子底部，如圖1（b），盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示。則圖1（b）中兩塊陰影部分周長和是___（用含、的代數式表示）。

2（b）、圖2（c）兩種放法放在一個底面為長方形（長比寬多5）的盒底上，底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示，若圖2（b）中陰影部分的周長記為C1，圖2（c）中陰影部分的周長記為C2，則C1-C2=_____。

題目評價作用的比較：①從“形”看，題1是一種拼接，求的是兩個長方形的周長和;題2求的是兩個需要轉化的圖形的周長差。如果不采用整體分析、平移線段的方式將題目化繁為簡的話，題2的代數式會比題1更復雜。

②從“數”看，題1給學生搭好了“腳手架”，所有要表示的線段基本上都已用字母標示好;而題2并沒有給出可以用來直接標示線段的字母。對于大多數學生來說，要計算題目，往往需要用字母表示數。對于題2，由于需要自行設字母表示數，部分學生會對自己所設的量的必要性產生懷疑，從而在一定程度上不確定是否消元。

兩題均綜合考查了七年級第一學期所學的代數式、一元一次方程、線段的和與差的相關知識。題1這類型題是歷年七年級第一學期期末的高頻考題。多年以來，教師只要將此題稍稍變化，學生就不會做了。從測試結果來看，筆者的這一次教學取得了較好的效果，故對設計之初心“提升理性思維”的課堂實踐進行反思。

2? ?過程回顧

2.1? 例題調整

根據學生的實際情況，以原有的數學經驗為基礎，分析學生已掌握的知識和已習慣的方法，從而有目的地調整題1。

（1）考慮到大多數初一學生并不習慣主動設字母表示題中的未知量，而用符號表示數量關系是建立符號意識、用“數學語言進行表達”的關鍵起始，故將題1中的“卡片長為，寬為”去掉。

（2）這是一道典型例題，有的學生可能會有知道答案。讓學生采用筆答的方式并給出過程，可以保證所有的學生都有獨立思考的時間，能促使學生用數學語言運算和推理。考慮到還沒有系統學習邏輯證明，筆者適當放寬了要求（后續記錄學生發言時已略有修正）。

最終將題1改為解答題，“把四張形狀大小完全相同的小長方形卡片，如圖1（a），不重疊地放在一個底面為長方形（長為，寬為）的盒子底部，如圖1（b），盒底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示，求圖1（b）中兩塊陰影部分的周長和”。

2.2? 教學預設

（1）有的學生會代入具體的數字，可能會找出答案，但無法書寫出解題過程，教師應當進行引導。

（2）有的學生用目測平移法推斷出小于后，習慣于“拼湊”，無法從圖形中直接得到轉化后的結果，思維受限于方法單一，教師需要適時提醒。

（3）未用平移法簡化周長表達式的學生可能會因為式子的冗長、計算的錯誤而不能得到利用整體消元得出正確的代數式。

（4）個別學生可能會因為未發現而不能達成最后的消輔助元。

（5）除了符號意識，教師還要培養和加強學生對不規則圖形周長的轉化能力（整體的思想）、列式表述的習慣以及進行有證據的表達與運算的能力（推理能力）。

2.3? 教學過程

2.3.1? 自主閱讀，嘗試解題

在這一階段，教師一定不能對學生進行思維替代化的介入教學，應當維持“學生靜靜地思考，教師靜靜地巡視”的狀態。而在這“靜”的內里，是學生的感性直覺與思維火花的激發。教師要為學生預留充分的時間，讓學生自主閱讀條件和結論、理解題意、獨立思考、尋求解答;同時也要為自己留出了解學生情況、調整預設問題及解決方式的時間[3]。組織教學時，學生會“說”的就讓學生“說”，學生能“寫”的就讓學生“寫”，要有計劃地引導學生自主學習。對于學生實在不能解決的問題，教師應逐步啟發學生思考。所以，這一階段也是教師針對學生具體情況開展教學的關鍵階段。

2.3.2? 交流溝通，合作共贏

在這一階段，教師需要搭建學生溝通和互助的平臺，根據學生的不同需要安排好交流的順序，層層遞進，使學生自然形成解題思路，有所收獲。

如筆者先請學生甲（屬預設情況1，還未得出結果）說一說對題目的理解和處理，以及目前遇到的困難或困惑。再請學生乙（屬預設情況2，已得出結果）進行表述。學生甲在筆者的引導下，在圖上標注了頂點字母。

學生甲：這題的陰影部分是兩個長方形，可以將左邊的長方形的長設為GF，寬設為GB，GB=AB-AG。可以將右邊的長方形的長設為HD，寬設為HI，HD=AD-AH。所以我覺得如果知道小長方形的長和寬的話，就可以把兩個長方形的周長用帶、的式子表示出來了，但我還沒有想好應該取多少。

學生乙：從白色小長方形的長寬比例估計的話，我取寬為2、長為5，，所以我的結果是，但是我不確定這是否是僅有的正確答案。

師：你能告訴我們這個式子是怎么得出來的嗎？（示意乙學生在黑板上標注）

師：你有辦法檢驗你的答案的正確性嗎？

學生乙：時間允許的話，我會再把寬和長分別改為3和7、4和9來計算……

這時學生甲舉手：我剛剛按照乙的方法代入了2和6，結果也是。

此時多位學生舉手，教師請學生丙（屬預設情況4）發言。

學生丙：我們可以用字母表示數，把小白色長方形的長和寬分別設為和，類似剛才乙同學的式子我得到的是。但是因為不知道和的值，我無法得到只有、的式子。

師：你的這個式子比乙同學的看上去要復雜多了，是怎么得來的呢？（這時候，學生丙自發在黑板上標注）。

學生丙：哦，我做出來了！，。

師：你現在是怎么發現的？

學生丙：因為我發現了，，所以。

師：同學們，根據剛才的過程，你們有什么想法嗎？

學生甲：我懂得了，可以把未知的量取為接近實際的數值從而得出結果，不確定的話，可以多取幾組進行驗證。但是這是解答題，用字母表示數才能寫出大家都認可的過程，而且也更節省時間。

學生丙：要用心尋找已知量和所設字母之間的關系，要把字母標到圖形上去，這就是老師經常說的“帶著條件去看圖”。

學生乙：我發現，即使我取不太符合圖形比例的寬為3、長為4，還是能算出，通過丙同學的解答，我知道了，主要是因為。

師：同學們說得很好，那么對于這道題目，你們還有別的想法嗎？

教師請學生丁來回答（學生丁屬于第二種預設情況）。

學生丁：我發現兩個長方形陰影的長加在一起就是大長方形的長，寬加在一起比少了一段，所以周長和等于。不過，與、是什么關系，我還沒看出來。

學生戊：我是算出來的，看這條線段，，與、的關系是，。

學生乙：我可以看出來，，所以我的解題過程是。

學生庚：我也發現，就是，而HE就是，所以IF就是

師：通過這些同學的補充，同學們又有什么想法呢？

學生丁：我沒有乙同學那么會轉化，學到了！不過，我能像戊同學那樣發現一些規律。設出關鍵的輔助字母，列出代數式，找出可利用的數量關系，堅信這些輔助的字母是可以消掉的，向著已知字母的結果化簡，是以后解這類題比較適合我的方法。

學生庚：前一種處理方式是在化簡過程中利用線段的相等與線段的和與差關系，用已知的消掉我們設的;后一種是先在圖形中把所求量向已知量轉化，如果有不能直接轉化的，再考慮用代數式表示。利用線段的和與差關系進行轉化，我覺得是解這道題的關鍵。

2.3.3? 比較歸納，感性升華

在這一階段，筆者引導學生進行多種方法的比較與歸納，走進回顧反思境界，進一步展開思考，得到一類問題的通用解法，完成從感性到理性的升華。

師：同學們用字母表示線段，將線段間的和與差及相等表述得明確簡潔;分析后設出關鍵的量，并在圖形中標注量，帶著條件“看”圖形;列出所求周長和的代數式后，明確化簡的方向是只留常數和;然后整體審題，把所求的兩個陰影長方形的長合在一起，得兩陰影長方形的所有橫向的線段之和為。如果繼續整體處理，我們其實還可以發現，兩陰影長方形的所有縱向的線段之和為。在整體處理圖形時，要“挖”出差量，對的處理要從數或形，或數形結合去分析。同學們一起完成了對例題的分析求解過程，找出了各種不同的方法，那么大家認為哪些方法最自然？大家最喜歡的方法是什么？最簡潔的方法是什么？今后再見到類似情形，我們應該如何思考？[2]

由于問題具有開放性，所以每位學生都有自己的意見可以發表，基礎不同的學生的解題方法各不相同。而公認的最簡潔的方法是利用所求周長和，即長方形ABCD的周長減去2倍的，得學生在最后一個問題上，有了一致的思考方向，如下所示。

（1）先結合題目文字和圖形，將能標的條件標出來，能列的關系式列出來，分析出將所求量向已知量的轉化所必須要設的輔助量。

（2）列出所求量的代數式，在已列出的關系式或圖形中找出最后要消的輔助量的表達式與已知量之間的數量關系，消去輔助量，得到最后結果。對大多數學生來講，用字母表示數（符號意識）是極為關鍵的。具體解決時還需特別注意使用數形結合和整體分析的思想方法。

3? ?總結經驗，反思提高

3.1? 錯因反饋

學生做題2時，主要的錯因有以下幾點。

（1）對此題無從下手，因為沒有可直接用來表示具體線段的量。

（2）用目測平移的方法得到C1即為大長方形的周長，對C2平移后缺的兩段無法處理（也有學生認為不需要處理），目測估計答案為5、15或20（也有寫出正確答案10的學生屬此類情況）。

（3）在設了小長方形的長為、寬為和大長方形的長為、寬為后，列出了C2的代數式。因為對不規則的陰影部分的周長無法處理，學生列不出C1的代數式。

（4）在正確得出C1和C2的各自的代數式和不作差的基礎上，直接觀察得出5。

（5）在（4）的基礎上列出了的代數式并已化簡至，但始終未能發現這一等式關系。

（6）因為化簡過程出錯而無法求出結果。

筆者所教班級的學生的錯誤原因則集中在（6）。

3.2? 改進措施

筆者在課堂上基本以人人動手的筆答形式組織習題教學，以巡視和提問學生了解完成情況，但是終究還是會有個別基礎薄弱的學生未能完成全部問題的解答。隨著知識難度的提升，這樣的情況時常發生。針對基礎特別薄弱、跟不上課堂進度的學生，教師一定要關注他們的課堂參與程度，這實際上也是保證全體學生的課堂活動完整性。運算能力是培養理性思維時必須要鍛煉的，這樣因運算所暴露的問題就能被學生重視，使學生無論是在新知拓展還是在舊知識練習中都能得到糾正和提升。

3.3? 感悟思考

之所以在題2的檢測中，筆者所教班級的學生的錯誤率明顯低于其他班級，最重要的原因就是保證了學生相對完整的理性思考過程。即面對一個新問題，先憑直覺開始思考，找到方法或遇到困難之后，再采用理性的思考方式。同時筆者引導學生一起交流互助，研究概括理性思考的過程，并將思維過程可視化，從而找到解決這一類問題的通用方法。

課堂教學是面向全體學生的，特別要關注那些基礎薄弱的學生。所以筆者先讓全班基礎最薄弱的學生甲發言，將遇到的困難用語言表達出來，并引導他用符號語言表述。對于學生乙用估算的方法——取具體數值代入，筆者沒有武斷否定的，而是讓學生互相補充，自然引出“用字母表示數才能說明和研究‘一般性”的規律。從后續學生的解題情況來看，“用字母表示數”的簡潔和明確已滲入學生的解題思路中，同時也激發了學生尋求各種方法（包括特殊值法）解決問題的積極性。只有重視和理解學生的感性認識，才能引導不同水平的學生一起開展理性的思考。在歸納階段，筆者采用開放性的問題“最自然的方法是什么？最喜歡的方法是什么？最簡潔的方法是什么？今后再見到類似情形，我們應該如何思考？”的目的是引領學生回顧反思，在多種方法的比較與歸納中，引導學生形成新舊知識的鏈接，完成從感性認識到理性思考的升華[2]。

在考后評析試卷時，對于題2仍有教師說：“這道題拼一拼、湊一湊就可以，用字母表示數的方法大家都會了，這里就不講了。”或者“直接標上字母，讓學生用這些字母表示指定的線段”等。這樣的課堂看似快速順利，其實是低效的。數學是培養學生思維能力的科目，思考的主體一定是學生。教師只有堅持以學生為主體，以學生的學習為中心，引導學生思考，組織學生交流，協助學生進行歸納和總結，才能促進學生的學習興趣和理性思維的發展[1]。

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]孫琪斌.提高理性思考境界的嘗試與反思[J].中學數學參考（中旬），2019（12）.

[3]單勤海.“學為中心”理念下解題教學的嘗試與思考[J].中學數學參考（中旬），2019（3）.

【作者簡介】

施舒（1975～），女，漢，浙江杭州人，本科，中學一級教師。研究方向：初中數學教學。