利用平均值不等式解題的四個常見思維誤區(qū)

曹宗明

【摘要】平均值不等式是求解最值問題、證明不等式的重要工具，也是歷年來高考的熱點內(nèi)容;但由于其約束條件苛刻，不少同學在應用時常常會出現(xiàn)錯誤，導致解題失誤。

【關(guān)鍵字】平均值不等式 忽視 條件 錯解

【中圖分類號】G633.6

【文獻標識碼】A

【文章編號】1992-7711（ 2020） 06-161-01

平均值不等式

當且僅當a=b時“=”成立）是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，是求解函數(shù)最值問題、證明不等式的重要依據(jù)，利用均值不等式解題時有四個制約條件：“一正”、“二定”、“三等”、“四同”，但同學們在解題中常常顧此失彼，出現(xiàn)各種錯誤的解法，下面略舉數(shù)例加以分析說明。

一、忽視"a.b均為正數(shù)”的條件

例1：

錯解：

剖析：由于

，不滿足均值不等式中“a，b均為正數(shù)”的條件，因此需先對函數(shù)式進行符號轉(zhuǎn)換后，才能運用平均值不等式進行求解。點評： “a，b均為正數(shù)”是平均值不等式成立的前提條件，因此在應用平均值不等式解題時，要先判斷a，b是不是正數(shù)，如不是正數(shù)，則不能直接套用公式。

二、忽視“a+b或ab為定值”的條件

例2.

錯解：

剖析：

點評：在應用平均值不等式

解題時，要明確只有當a，b各項的和（積）為定值時，其積（和）才有最大值（最小值）。

三、忽視“=”成立的條件

例3.

錯解：

剖析：

正解1：

正解2：

點評：利用平均值不等式

求解最值問題時，一定要注意“=”成立的條件，當且僅當a=b成立時，“=”才成立。

四、忽視“同一代數(shù)式中若多次使用均值不等式時，前后變量取值須相同”的條件

例4.若x，y∈R+，x+y=16，求9/x+1/y的最小值。

錯解：

剖析：

正解：

點評：在同一代數(shù)式中若多次使用平均值不等式時，要明確只有當前后變數(shù)取值相同時，等號才成立。

綜上所述，我們在利用平均值不等式求解最值問題時，必須明確不等式成立的幾個前提條件“一正，二定，三等，四同”，避免各種錯誤類型的發(fā)生。