好雨知時節，當春乃發生

邱亮

《小學數學課程標準》中指出：數學課程內容要反映社會的需要、數學的特點，要符合學生的認知規律。它不僅包括數學的結果，也包括數學結果的形成過程和蘊涵的數學思想方法。

作為一名數學教師，我們都很重視讓學生進行數學知識的學習，但是數學思想方法是數學知識內容的精髓，是對數學的本質的認識，所以它是數學學習的關鍵。《課標》關于教學內容的設計方面提出：“教材可以編入一些拓寬知識的選學內容，但增加的內容應注意數學思想方法，注重學生的發展，有利于學生認識數學的本質與作用，增強對數學學習的興趣。”其充分體現了數學教育研究工作者在數學課程發展中重視數學思想方法的共識。因此，數學教學不僅要使學生掌握必要的基礎知識，更重要的是教給學生一種思想。也就是說，數學教育的真諦在于構建靈動的思想，由“法”而破“題”，從而培養學生良好的思維品質。數學思想方法如此關鍵，那它該怎樣和學生的發展聯系起來呢？

1 增強對數學思想方法的認識

數學思想是指人們對數學理論和內容的本質的認識，數學方法是數學思想的具體化形式，實際上兩者的本質是相同的，差別只是站在不同的角度看問題。通常混稱為“數學思想方法”。數學思想方法是具有層次性的，較高層次的基本思想有三個：抽象思想、推理思想、模型思想。

1.1 抽象思想方法的認識

例如符號化思想方法：數學符號是數學的語言，數學世界是一個符號化的世界，數學作為人們進行表示、計算、推理和解決問題的工具，符號起到了非常重要的作用。

如數字1，它可以表示現實生活中任何數量是一個的物體的個數，是一種高度的抽象概括，具有一定的抽象性。但是學生對物體數量的多少比較具有直觀性，而且從小對數字1認識比較深刻。

使用符號可以進行運算和推理，如學生知道正方形的邊長乘4等于它的周長，邊長乘邊長等于它的面積;更進一步，如果假設任何一個正方形的邊長是a，那么4a就等于該正方形的周長，a?就等于該正方形的面積。

《課標》把符號意識作為課程內容的十大核心概念之一，也可以看出符號意識的重要性。

1.2 推理思想方法的認識

推理是從一個或幾個已有的命題得出另一個新命題的思維形式。推理分為兩種形式：演繹推理和合情推理。

我國數學教育幾十年來的主要優勢或者說成果就是重視培養學生的運算能力、推理能力和空間想象能力。在解決問題的過程中，合情推理有助于探索解決問題的思路，發現結論;演繹推理用于證明結論的正確性。由此可見推理在數學學習的重要性。

例如歸納推理方法：歸納法在小學數學的教學中應用比較廣泛。小學數學中很多運算法則、公式、定律等的推導，都是在列舉幾個特殊例子的基礎上得出的。

如整數的加減乘除的筆算，都是通過幾個有限的由易到難的例子，讓學生在理解算理和口算方法的基礎上探索計算的方法，最后進行交流和算法的總結，這種法則的得出就是運用了歸納法。如多位數乘一位數的法則的歸納總結，學生在已經掌握乘法口訣、口算乘法、筆算加法的基礎上，通過利用豎式計算12×3、16×3、24×9等來探索、交流、歸納計算法則。

如商不變的性質、小數的性質、分數的基本性質等，這些在小數數學中重要的性質，它們的獲得都是先通過幾個例子，讓學生進行探索、交流，最后歸納總結而得到的。如下圖：讓學生計算并觀察一組算式，探索并歸納規律。

以及小學生最早學習的運算定律是關于整數加法和乘法的運算定律，引導學生通過計算幾組算式來猜想并歸納規律。如根據40+56=56+40，28+37=37+28，120+80=80+120等幾個有限的例子，得出加法交換律。

1.3 模型思想方法的認識

數學模型是用數學語言概括地或近似地描述現實世界事物的特征、數量關系和空間形式的一種數學結構。應用已有的數學知識分析數量關系和空間形式，經過抽象建立模型，進而解決各種問題。

以植樹問題為例，可以封閉圓圈植樹問題為核心模型，再演變出其他模型。封閉圓圈植樹中的點與間隔一一對應，長度÷間隔=棵數。再根據實際情況演變出其他模型。如圖：

（1）一端栽一端不栽與封閉圓圈植樹模型相同：長度÷間隔=棵數。

（2）兩端都栽：長度÷間隔+1=棵數。

（3）兩端都不栽：長度÷間隔-1=棵數。

2 在知識形成過程中體現數學思想方法

我們現在大部分的教師在教學過程中有這樣一個現象，就是精講多練，急于把概念、公式、法則、定理等知識傳授給學生，然后按照考試的要求進行技能訓練，即輕視知識的形成過程，重視技能的訓練。這種教學模式表面上對應試有效果，實際上既浪費時間、又沒有真正培養學生的思維能力、思想方法和學習興趣，導致很多學生害怕數學。正是因為這種現象的極端化，《課標》已經針對這種現象提出了重視讓學生經歷知識的形成過程的過程目標。

如分數的初步認識是學習分數的重要基礎，教材為讓學生經歷分數的學習過程作了很多鋪墊，如主題圖展示了許多同學在一起分享食物，例1通過把月餅分一半，即平均分，引出?，再把月餅平均分成4份，每份就是它的?，以及圖形中也有分數，還可以讓學生通過折一折，畫一畫等多種方式去體驗和感受分數，增強學生對分數的直觀認識，最后例3通過實際物體，來比較幾分之一的大小。整個教學過程非常豐富，有實物展示，觀察，操作，動手，比較等多種方式，讓學生在已有的生活經驗和積累的活動經驗的基礎上，初步的認識分數。

3 加強對數學思想方法的應用

課堂教學中滲透數學思想方法，可以提高學生獨立獲取知識的能力。鼓勵學生運用數學知識去分析、解決有實際意義的和相關學科的數學問題，以及解決生產和日常生活中的實際問題，可以使學生在把實際問題抽象成數學問題的過程中，進一步領悟數學思想方法，促進數學素養的提高。

例如四年級下冊數學廣角中的《雞兔同籠》問題：“籠子里有若干只雞和兔。從上面數有35只頭，從下面數有94只腳。雞和兔各有幾只？”題目出示之后，教師可以先讓學生進行猜測，發現答案比較難猜對，接著提醒學生可以先從簡單問題入手，化繁為簡，從中找尋規律，再來解決難一點的題目。教師將數字變小為8只頭，26只腳。引導學生通過“用學具擺一擺、在紙上畫一畫、在表格中填一填”，在獨立實踐中發現解決問題的方法。在這個教學環節中，教師充分尊重學生的個性特點，在課堂上呈現出解決同一問題的多種策略。然而不同的方法蘊含著同一數學思想方法，在學生經歷了自主探究和集中展示后，教師啟發學生思考，“比一比，不同的方法有什么相同點？”學生通過對思維過程進行回顧后發現，無論是擺學具、畫圖還是填表格都是先假設這8只都是雞，按照每只兩條腿計算，2×8=16（條）再看剩下多少條腿？26-16=10（條）因為每只兔子比雞多兩條腿，所以，把剩下的10條，每個頭下再添兩條，10÷2=5（只）這樣看出兔子有5只，雞有3只。也可以先假設這8只都是兔子，4×8=32（條），32-26=6（條）這樣多出了6條腿，因為每只雞比兔子少兩條腿，6÷2=3（只）這樣看出雞有3只，兔子有5只。不同的思路和方法都體現出了同一種數學思想，即假設。

在上面的教學活動中，通過讓學生自主的探究，學生體驗到了解決問題的多種策略;在對不同解題策略的比較中，學生又體會到了假設的數學思想對于解答“雞兔同籠”這類問題的獨特優勢。既激發了學生思維的靈活性，又有效的滲透了假設這一思想方法。

4 堅持對數學思想方法的訓練

數學思想方法猶如一把開啟學生思維的金鑰匙，它不僅可以使學生獲得知識，還有利于學生提升數學素養，理解數學的本質。教學中要適時恰當地對數學方法給予提煉和概括，讓學生有明確的印象。如在數學課堂教學的過程，可以在本節課、本知識塊、或本單元的小結、復習中滲透數學思想方法，有意識地畫龍點睛，適度點撥，引導學生進行概括和強化;對它的名稱、內容、規律、運用等有意識地進行形象、適當的講解，以使學生從數學思想方法的高度把握知識的本質和內在的規律，使學生逐步體會數學思想方法的優越性，并在學習和生活中自覺地運用。在循序漸進的學習過程中體會到掌握數學思想方法的優勢，思維能力不斷獲得提升。

正如杜甫的詩句“好雨知時節，當春乃發生。隨風潛入夜，潤物細無聲……”所表達的心境一樣，數學思想方法的教學也應該像春雨一樣，不斷地滋潤學生的心田。讓學生通過學習經驗的思想方法的不斷積累，實現數學素養的真正提高，為以后的學習打下良好的基礎。

（作者單位：廣東省東莞市塘廈鎮中心小學）