高等代數(shù)中的線性變換思想應(yīng)用

閆雷 亢佳萌

高等代數(shù)作為本科專業(yè)一門重要的課程，具有較大的難度和復(fù)雜性，但是對于學(xué)生其他專業(yè)課程的學(xué)習(xí)，高等代數(shù)能夠起到基礎(chǔ)性的作用。線性變換是高等代數(shù)課程中的核心內(nèi)容之一，有著豐富的理論內(nèi)容，一般對線性變換的研究是在線性空間中取一組基，接著求出線性變換在這組基下的矩陣，然后就可以將現(xiàn)象變換的研究轉(zhuǎn)化為對數(shù)域上方陣的研究。本文主要探討了高等代數(shù)中線性變換思想的應(yīng)用。

1 線性空間和歐式空間

1.1 線性空間

高等代數(shù)中的線性空間是一個(gè)給出法則，設(shè)定一個(gè)V集合，其中任意兩個(gè)元素且是在非空的集合V中有數(shù)域P中的運(yùn)算，定義為一種加法的運(yùn)算，同時(shí)，在數(shù)域P中的任意元素還是乘法的運(yùn)算，可以稱為乘積的數(shù)量，這就可以記為P、V就是數(shù)域的線性空間，并且還滿足交換律、結(jié)合律以及數(shù)的分配律等規(guī)則。

1.2 歐式空間

高等代數(shù)中線性空間主要涉及到的運(yùn)算是加法和數(shù)量的乘法的運(yùn)算，對于幾何問題的空間推廣會(huì)涉及到引入度量，比如長度、夾角等，豐富線性空間的內(nèi)容和方法。準(zhǔn)確地把握施密特的正交組基的基本性質(zhì)和好處，并利用好標(biāo)準(zhǔn)的正交基的特性。

2 高等代數(shù)中線性變換思想的應(yīng)用

2.1 線性變換的定義

設(shè)V是數(shù)域P上的一個(gè)線性空間，是一個(gè)映射，如果對任意的，都有：，那么稱是線性空間V上的一個(gè)線性變換。對于線性變換具有以下的一些性質(zhì)，如果是線性空間V上的一個(gè)線性變換，那么

2.2 線性變換在有限維線性空間上的應(yīng)用

對于有限維線性空間而言，高等代數(shù)中的大多理論通常是在其中展開的，有限維線性空間上的線性變換理論也是高等代數(shù)課程中較為重要的內(nèi)容，并且線性變換理論也得到了充分的應(yīng)用。但需要學(xué)生進(jìn)行注意到的是，許多在有限維線性空間上線性變換的理論事實(shí)，不一定會(huì)在無限維空間上成立。就以高等代數(shù)中的映射為例進(jìn)行相應(yīng)的說明，映射中的單射和滿射并不是互相決定的存在，所以對于一個(gè)是雙射的映射而言，其滿足的充分必要條件是當(dāng)且僅當(dāng)既是單射又是滿射。在有限維線性空間上，線性變換可以作為一種特殊的映射存在，如果將V設(shè)為維線性空間，，那么就是單射，其條件是當(dāng)且僅當(dāng)是滿射。這就表明在有限維線性空間上，作為特殊映射而存在的線性變換只要是單射或者滿射，就能夠很容易證明該映射是雙射，但是這一性質(zhì)的存在對于無限維線性空間而言，確不一定是成立的。

例1：如果，在V上存在兩個(gè)線性變換，分別定義為：，那么很容易證明是滿射但并不是單射，而是單射但不是滿射。

例2：關(guān)于維Euclid空間上的正交變換，令V為維Euclid空間，，那么下列5種情況等價(jià)：

1. 為正交變換;
2. 是線性空間V的標(biāo)準(zhǔn)正交基底;
3. 在線性空間任意的標(biāo)準(zhǔn)正交基底下的矩陣，都可以是正交矩陣（正交矩陣即的實(shí)矩陣）;
4. 在某一標(biāo)準(zhǔn)正交基底下的矩陣，也可以看作正交矩陣;
5. 保持向量的長度不變，即??

所以在Euclid線性空間V上的正交變換，是具有可逆性的，并且對于其與線性變換的合成運(yùn)算，可以當(dāng)作一個(gè)群，對于正交變換而言，需要保持內(nèi)積和其任意兩點(diǎn)間的距離，那么這個(gè)群可以當(dāng)作Euclid線性空間V。而對于一些無限維線性空間上的正交變換而言，其涉及到的線性變換的合成運(yùn)算，一般只能作為一個(gè)半群看待，實(shí)際上某些無限維線性空間上的正交變換不一定具有可逆性。

2.3 線性變換的相關(guān)性質(zhì)

在線性變換思想中，存在著較多的線性性質(zhì)，不過在這些線性性質(zhì)中存在著一些性質(zhì)，這些性質(zhì)的成立不會(huì)將線性條件作為前提，并且對這些性質(zhì)而言，它們本身就具有一定的線性條件。本文中通過線性空間中的正交變換和對稱變換，進(jìn)行相應(yīng)的分析。

例3：在大多高等代數(shù)課本中，對于正交變換是這樣的定義：維線性空間V上的線性變換稱為正交，如果保持其向量的內(nèi)積不變，即，實(shí)際上不需要提前假設(shè)變換是線性的，原因是只要滿足上述的條件，通過相應(yīng)的計(jì)算就可以得到，對于任意的，都有，所以一定是線性的。

3 總結(jié)

綜上所述，作為高等代數(shù)中的重要內(nèi)容之一，線性變換在許多方面都發(fā)揮著很好的應(yīng)用。在高等代數(shù)的線性空間中，也涉及到線性變換思想的應(yīng)用，對于解決一些高等代數(shù)的問題具有極大的幫助。通過了解高等代數(shù)中線性變換思想的應(yīng)用，可以幫助初學(xué)者更好地學(xué)習(xí)高等代數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，并且可以很容易解決一些線性變換的問題。

（作者單位：北京明悟德生物技術(shù)有限公司）