高等代數中的線性變換思想應用

閆雷 亢佳萌

高等代數作為本科專業一門重要的課程，具有較大的難度和復雜性，但是對于學生其他專業課程的學習，高等代數能夠起到基礎性的作用。線性變換是高等代數課程中的核心內容之一，有著豐富的理論內容，一般對線性變換的研究是在線性空間中取一組基，接著求出線性變換在這組基下的矩陣，然后就可以將現象變換的研究轉化為對數域上方陣的研究。本文主要探討了高等代數中線性變換思想的應用。

1 線性空間和歐式空間

1.1 線性空間

高等代數中的線性空間是一個給出法則，設定一個V集合，其中任意兩個元素且是在非空的集合V中有數域P中的運算，定義為一種加法的運算，同時，在數域P中的任意元素還是乘法的運算，可以稱為乘積的數量，這就可以記為P、V就是數域的線性空間，并且還滿足交換律、結合律以及數的分配律等規則。

1.2 歐式空間

高等代數中線性空間主要涉及到的運算是加法和數量的乘法的運算，對于幾何問題的空間推廣會涉及到引入度量，比如長度、夾角等，豐富線性空間的內容和方法。準確地把握施密特的正交組基的基本性質和好處，并利用好標準的正交基的特性。

2 高等代數中線性變換思想的應用

2.1 線性變換的定義

設V是數域P上的一個線性空間，是一個映射，如果對任意的，都有：，那么稱是線性空間V上的一個線性變換。對于線性變換具有以下的一些性質，如果是線性空間V上的一個線性變換，那么

2.2 線性變換在有限維線性空間上的應用

對于有限維線性空間而言，高等代數中的大多理論通常是在其中展開的，有限維線性空間上的線性變換理論也是高等代數課程中較為重要的內容，并且線性變換理論也得到了充分的應用。但需要學生進行注意到的是，許多在有限維線性空間上線性變換的理論事實，不一定會在無限維空間上成立。就以高等代數中的映射為例進行相應的說明，映射中的單射和滿射并不是互相決定的存在，所以對于一個是雙射的映射而言，其滿足的充分必要條件是當且僅當既是單射又是滿射。在有限維線性空間上，線性變換可以作為一種特殊的映射存在，如果將V設為維線性空間，，那么就是單射，其條件是當且僅當是滿射。這就表明在有限維線性空間上，作為特殊映射而存在的線性變換只要是單射或者滿射，就能夠很容易證明該映射是雙射，但是這一性質的存在對于無限維線性空間而言，確不一定是成立的。

例1：如果，在V上存在兩個線性變換，分別定義為：，那么很容易證明是滿射但并不是單射，而是單射但不是滿射。

例2：關于維Euclid空間上的正交變換，令V為維Euclid空間，，那么下列5種情況等價：

1. 為正交變換;
2. 是線性空間V的標準正交基底;
3. 在線性空間任意的標準正交基底下的矩陣，都可以是正交矩陣（正交矩陣即的實矩陣）;
4. 在某一標準正交基底下的矩陣，也可以看作正交矩陣;
5. 保持向量的長度不變，即??

所以在Euclid線性空間V上的正交變換，是具有可逆性的，并且對于其與線性變換的合成運算，可以當作一個群，對于正交變換而言，需要保持內積和其任意兩點間的距離，那么這個群可以當作Euclid線性空間V。而對于一些無限維線性空間上的正交變換而言，其涉及到的線性變換的合成運算，一般只能作為一個半群看待，實際上某些無限維線性空間上的正交變換不一定具有可逆性。

2.3 線性變換的相關性質

在線性變換思想中，存在著較多的線性性質，不過在這些線性性質中存在著一些性質，這些性質的成立不會將線性條件作為前提，并且對這些性質而言，它們本身就具有一定的線性條件。本文中通過線性空間中的正交變換和對稱變換，進行相應的分析。

例3：在大多高等代數課本中，對于正交變換是這樣的定義：維線性空間V上的線性變換稱為正交，如果保持其向量的內積不變，即，實際上不需要提前假設變換是線性的，原因是只要滿足上述的條件，通過相應的計算就可以得到，對于任意的，都有，所以一定是線性的。

3 總結

綜上所述，作為高等代數中的重要內容之一，線性變換在許多方面都發揮著很好的應用。在高等代數的線性空間中，也涉及到線性變換思想的應用，對于解決一些高等代數的問題具有極大的幫助。通過了解高等代數中線性變換思想的應用，可以幫助初學者更好地學習高等代數的相關內容，并且可以很容易解決一些線性變換的問題。

（作者單位：北京明悟德生物技術有限公司）