夏燦芳　陶友根　彭月

[摘? 要] 概念的形成過程就是對概念進行數學抽象、概括的過程，而板塊內容的起始概念作用尤其突出，抓住了起始概念，就抓住了該板塊的根基，把握住了發展學生數學抽象素養的最好契機. 文章從認知心理學支撐的方法論角度，闡述了起始概念課的教學設計策略：創設合理情景，自然引入概念;梳理共同屬性，抽象概括概念;辨析應用概念，促進概念理解;探究概念流向，建立概念聯系;反芻探究過程，評價抽象水平. 同時，文章指出應把握各環節相應的合理性、指向性、生成性、自然性、適應性，以保證起始概念課對于提升數學抽象素養的價值.

[關鍵詞] 數學抽象;起始概念課;設計策略

數學抽象素養是指通過對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養. 而數學抽象是數學的基本思想，主要表現就是獲得數學概念. 數學概念是學習數學知識的基礎，是數學思維的基本形式，其形成過程通常經歷兩種不同層次的抽象過程：一種是從數學外部的事物出發，經過數學化抽象出數學概念;另一種是在數學內部，對已有數學概念的進一步抽象結果.[1]概念的形成過程就是對概念進行數學抽象、概括的過程，而板塊內容的起始概念作用尤其突出，抓住了起始概念，就抓住了該板塊的根基，把握住了發展學生數學抽象素養的最好契機.

從認知心理學的觀點看，概念學習一般要經歷如下過程：（1）典型具體事例的分析、比較和歸納，得出共同屬性;（2）將共同屬性推廣到一般而概括出概念;（3）通過具體例子（特別是反例）辨析概念關鍵詞，以及用概念做判斷的應用活動促進概念的理解;（4）通過綜合、復雜的應用建立相關概念的聯系使概念“精致”化.[2]基于此方法論，如何在起始概念課中，設計好抽象概括過程，提升學生數學抽象素養呢？下面以“變化率與導數”為例，與同行分享筆者實踐與思考.

起始概念課教學設計的基本策略

（一）創設合理情景，自然引入概念

數學的板塊起始概念知識，基本上都來源于感性認識，即學生所能觀察到的或者自己所熟悉的日常生活的現實模型及抽象. 課程標準中更是強調數學與現實生活的聯系，故教材編寫也基本以“實際情境—建立數學模型—檢驗與應用”為主線展開. 因此，數學概念課的教學要基于大量的生活實例進行概念的探究和生成，回歸生活原型，提煉數學概念是最基本的數學抽象形式點，這也是發展數學抽象概念的最初點.

例：（環節1）結合章引言和牛頓、萊布尼茲照片，介紹微積分的創立背景和作用;播放里約奧運會我國跳水運動員秦凱的跳水場景，引入教材引例：

人們發現，在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t（單位：s）存在函數關系h（t）= -4.9t2+6.5t+10.

設計意圖：1. 結合章引言，“微積分”高調入場，激發學生求知欲; 2. 放棄教材“問題1 氣球膨脹率”，主要是因為生活中的氣球基本都不能使用球體體積公式，雖對感知有一定幫助，但嚴謹性有待考證;3. 用學生熟悉場景引入，讓函數關系不突然，學生無意中進入研究狀態.

（二）梳理共同屬性，抽象概括概念

數學抽象要以基于感知和操作的知覺經驗為基礎，通過典型的實例引導學生對概念的屬性進行分析、比較、討論、理解后總結出共同特征. 歸納類比、歸納概括是形成概念的重要方式，讓學生以“發現者”角色經歷概念的發現過程，深度參與數學抽象過程，只有這樣才能積極有效地讓學生經歷知識的發生過程，促進學生認知水平的發展，提升數學抽象素養.

例：（環節2）問題1：在0≤t≤0.5這段時間里，問該運動員的平均速度及這個平均速度所含的物理意義是什么？

問題2：將0≤t≤0.5改為1≤t≤2呢？

問題3：在t1≤t≤t2這段時間里又怎么寫？

問題4：你能再舉一個例子，類比設計“求平均”的問題嗎？

問題5：如果函數關系用y=f（x）表示，那么當x1≤x≤x2時，又怎么寫？

設計意圖：1. 通過設計問題1、問題2，從該實際問題的物理意義入手，讓學生能夠直觀地感受到運動過程的變化是有快有慢的，而平均速度正是描述了位移在時間段內變化的快慢程度，為歸納函數平均變化率的概念提供了“認知基礎”;2. 設計問題4，讓學生自主舉例，豐富事例中感知“求平均”的方法和結構，為抽象活動奠定基礎;3. 設計問題3、問題5，引導學生將時間一般化、函數關系式一般化，拾級而上得到平均變化率的式子，“平均變化率”的概念就只差一個認定，即說法的明確，此時教師直接給出概念.此過程讓學生充分體會從具體到抽象、從特殊到一般的數學思想.

（三）辨析應用概念，促進概念理解

概念因其高度的抽象性，理解總是困難的，有些學生雖能夠背得出概念的內容，卻不能利用所學的概念去解決實際問題，為此筆者嘗試利用具體例子（特別是反例）來辨析概念，這一做法有效地促進概念的理解.用概念解決問題，注意不只是題目而是問題，開放式設問更能讓學生去自主思考、表達，利于數學抽象的反復強化.

例：（環節3）問題5：如何從數學角度來刻畫溫度的“驟降”？

問題6：你能舉例說明用平均變化率來表示的其他生活現象嗎？

設計意圖：概念是從實際問題抽象出數學的本質，是對實際生活現象的數學概括，促進學生對概念（平均變化率）的理解，同時也讓學生感受到數學與生活的聯系.

（四）探究概念流向，建立概念聯系

概念從來都不是孤立的，概念的巨大價值就在于其廣泛聯系. 探究概念的流向，將概念置于復雜的環境中，建立與相關概念的聯系，才是概念的價值. 對于板塊起始概念，更多地研究其流向，由其層層推進，衍生新的概念.

例：（環節4）問題7：通過高度和時間的函數圖像可以看到，t=0和t=時的高度是一樣的，這個時間段內的平均速度為0，但顯然運動員并非是靜止的. 這說明平均速度能粗略地反映運動員在某段時間內的運動狀態，卻不一定能反映他在某一刻的瞬時速度. 物理上是怎么求瞬時速度的呢？（PPT呈現打點計時器、紙帶及實驗求瞬時速度的結論）

問題8：為什么說任意一點的瞬時速度可以表示為與該點相鄰的兩點之間的平均速度？

設計意圖：1.讓學生初步明白平均變化率的不足，感受進一步探究、學習的必要性，激發進一步探究的欲望，完成平均速度到瞬時速度的過渡;2.用物理實驗結論，能讓學生更好地理解數學（接地氣），同時也能讓學生感受數學對于自然科學的巨大作用.

（環節5）問題9：求運動員t=2時的瞬時速度？

（環節6）問題10：運動員在t0時刻的瞬時速度（變化率）如何用數學語言表達？

問題11：類比歸納：函數f（x）在x=x0處的瞬時速度（變化率）怎么表示？

設計意圖：由平均速度的極限抽象為瞬時速度，將平均變化率的極限抽象為瞬時變化率，即導數. 讓學生再一次經歷從特殊到一般的抽象過程，符合學生的認知規律，提高他們的思維能力，使得瞬時變化率的概念獲得“原型”支持，形成概念的模式直觀.

（環節7）教師給出導數的定義，引導學生閱讀概念，并提問：（1）瞬時變化率與導數有什么關系？（2）f ′（x0）的值與x0的值有無關系？（3）f ′（x0）的值與Δx的具體取值有無關系？（4）強調符號書寫的規范性.

設計意圖：1. 辨析概念及符號表示，概念的符號語言，就是求法，在學生辨析的基礎上，教師要明確講解，正本清源;2. 引導學生舍棄具體問題的實際意義，抽象為數學屬性，在知識的遷移下，學生能順利地表示出一般函數在某點處的瞬時變化率，即導數，實現認識上的飛躍.

（環節8）例題：將原油精煉為其他各種不同產品時，需要對原油進行加工（主要為加熱或冷卻）. 原油的溫度（單位：℃）與第x時（單位：h）的關系為f（x）=x2-7x+15（0≤x≤8）. 讓學生計算f ′（6）和f ′（2），并說明它們的意義.

設計意圖：此題為教材例題，原題目問的是計算第2h和6h的瞬時變化率，改為讓學生直接計算f ′（2）和f ′（6），讓學生熟練導數書寫形式，加深對概念的理解，鞏固導數的計算過程及其內涵意義.

（五）反芻探究過程，評價抽象水平

在概念探究過程中，學生對概念的理解程度怎樣是立竿見影的，而對數學抽象方法、抽象能力的過程性、形成性與診斷性評價是長遠的追求.

例：自評小結：（1）你能用自己的語言描述平均變化率、瞬時變化率、導數的含義嗎？（2）你能用一個事例，串聯這幾個概念嗎？（3）回顧一下物理、數學的內容，你能列舉幾個與之相聯系的概念嗎？（4）通過本節課的探究，你覺得我們應該如果學習一個新的數學概念？

設計意圖：反思是提升的重要手段，對標數學抽象素養的三個水平設置問題，讓學生在思考回答中加深概念理解，進行自我水平評估，同時為后續學習提供方法支撐.

本節起始概念課設計的幾點說明

1. 本節課的內容是變化率問題和導數的概念兩課時的整合.這樣安排是基于以下兩點：一是平均變化率和瞬時變化率是為了導數的引入作鋪墊的起始概念，兩節內容一起講授能讓導數概念的形成更自然流暢;二是學生已在高一學過了平均速度和瞬時速度，并且做過物理實驗打點計時器，為求瞬時速度提供了知識基礎，同時學生層次較好有能力接受兩課時的內容.

2. 本節課有兩個概念，平均變化率是最起始的概念，瞬時變化率是平均變化率的縱向升華，教學設計中把平均變化率視為主體，采取了概念教學中嵌套概念教學的做法. 雖然實際操作中，學生并沒有異樣的感受，但這種做法的科學性有待商榷.或者換個角度，是否可以采取單元教學設計策略，直接用概念串（平均變化率—瞬時變化率—導函數）呢？

把握起始概念課教學的“五性”，抓住數學抽象的“五要素”

1. 情境創設的合理性，數學抽象的土壤

由具體事例（現實情境）抽象概括出概念，這已是數學教師的共識，但在各級各類教研活動中，“假情境”廣泛存在，“壞情境”也不少. 何為典型？事例的相關性、科學性都是應該充分考慮的，情境創設必須具有合理性，后續的抽象活動才有意義，情境是抽象的土壤. 比如：講二分法，有人以娛樂節目猜價格的游戲引入，這就有明顯的科學性問題，二分法適用于連續函數，而事例不是連續函數.

2. 歸納設問的指向性，數學抽象的方向

給出事例之后，類比找共性，應有引導性提問，否則可能找出一大堆無關緊要的東西.當然，設問也不能口子太窄，否則都不用找了. 教師要把握歸納設問的指向性，同時注意自由度，讓學生有方向，也有思考的空間，給出現“意外的驚喜”提供一些可能.

3. 概念辨析的生成性，數學抽象的真實

事不辨不明，概念更需要辨析.在講授式的課堂中常出現“一個概念幾點說明”，老師有先見之明地給出幾點，這種操作雖有一定的合理性，但有些武斷了.老師可以在學生出現問題時再給予解答，或者用提問引導學生去發現問題（認知沖突），只有課堂生成的問題才是最真實的問題;只有把握好概念辨析的生成性，數學抽象才真實地發生過.

4. 概念聯系的自然性，數學抽象的升華

概念之所以重要，在于它的基礎性和聯系性，所以大家都重視概念，也努力將各個概念相聯系，但聯系一定要自然，否則就會牽強，或者沖淡主題. 對于起始概念而言，聯系的概念應該是其類比的起始概念，或者是其后續發展的概念，往往會再一次經歷數學抽象過程，是抽象活動的又一次升華.

5. 使用方法的適應性，數學抽象的科學

凡事都是有方法論的，概念教學的方法更是層出不窮，但每種方法都不是萬能的，也不能機械使用，要因地制宜、因時因勢使用，讓理論為實踐服務，而不是為了用而用.

抽象經驗需要在抽象活動中積累，抽象能力需要在抽象活動中發展，抽象素養需要在抽象經驗的積淀與升華中養成. 學生接受教材和教師抽象出來的數學知識，未必懂得這些知識與原始的、具體材料的聯系，未必理解和掌握其中的抽象思路與方法，而這恰恰是學生最有用、最需要的東西.[3]因此在進行起始概念教學時，要培養學生經歷層次分明的抽象過程，讓學生參與抽象、嘗試歸納抽象，以達到在概念學習中學習抽象、學會抽象.

數學概念課教學是培養學生抽象思維的基本途徑，是促進學生數學抽象素養的有效載體.筆者希望通過起始概念課的教學，以概念的內在邏輯為線索，將數學抽象貫穿在情景—歸納—遷移—應用的過程中，讓學生充分經歷抽象思維過程，更好地發展數學抽象核心素養.

參考文獻：

[1]? 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準：2017年版[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]? 章建躍. 章建躍數學教育隨想錄：上卷[M]. 杭州：浙江教育出版社，2017.

[3]? 李昌官. 數學抽象及其教學[J]. 數學教育學報，2017，26（04）.