高三圓錐曲線綜合題的教學(xué)例析

江蘇省無(wú)錫市洛社高級(jí)中學(xué) (214187) 吳永嬌 徐榮新

高三復(fù)習(xí)中圓錐曲線綜合題對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定的難度，學(xué)生面對(duì)復(fù)雜的條件和圖形往往較難自主尋找到突破口，同時(shí)對(duì)于計(jì)算也存在著畏懼心理.結(jié)合圓錐曲線中重點(diǎn)關(guān)注橢圓的要求，筆者就高三復(fù)習(xí)中橢圓綜合題的教學(xué)做一總結(jié)，與讀者交流.

1.由圖溯源，找突破口

對(duì)于學(xué)生來(lái)講，圓錐曲線綜合題的難點(diǎn)之一就是參數(shù)的選擇(設(shè)點(diǎn)還是設(shè)直線)，為后續(xù)問(wèn)題的解決開(kāi)頭.在很多問(wèn)題中由于題目的敘述束縛了學(xué)生的思維，或者讓解題思路迷茫，因此在教學(xué)中筆者常在標(biāo)準(zhǔn)方程的解決后，把圖像向?qū)W生呈現(xiàn)，讓學(xué)生觀察圖形思考圖形的產(chǎn)生過(guò)程，進(jìn)而確定解決問(wèn)題的參數(shù)，這就是所謂的“由圖溯源”.

圖1

(1)記直線BM，BP的斜率分別為k1，k2，求證：k1·k2為定值；

教學(xué)過(guò)程：第(1)問(wèn)的教學(xué)中筆者在黑板上呈現(xiàn)出橢圓的方程、圖形以及問(wèn)題，由學(xué)生找尋圖形的產(chǎn)生過(guò)程，進(jìn)而突破難點(diǎn)：參數(shù)的選擇.

(學(xué)生①，教師板書(shū))圖形的產(chǎn)生根源可以歸結(jié)為直線l：y=-2上任一點(diǎn)P，所以設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m,-2)→寫(xiě)出直線PC方程→聯(lián)立直線PC與橢圓，求出點(diǎn)M→可證明結(jié)論；

(學(xué)生②，教師板書(shū))圖形的產(chǎn)生根源可以歸結(jié)為橢圓上任一點(diǎn)M，所以設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)→寫(xiě)出直線MC方程→聯(lián)立直線PC與直線l：y=-2，求出點(diǎn)P→利用點(diǎn)M的坐標(biāo)符合橢圓方程可證明結(jié)論；

(學(xué)生③，教師板書(shū))圖形的產(chǎn)生根源可以歸結(jié)為過(guò)C點(diǎn)做一條直線，分別交橢圓和直線l：y=-2于點(diǎn)M、P，所以設(shè)直線方程為y=kx-1→聯(lián)立直線與橢圓求出M點(diǎn)，聯(lián)立直線求出P點(diǎn)→可證明結(jié)論；

(學(xué)生④，教師板書(shū))圖形的產(chǎn)生根源可以歸結(jié)為過(guò)B點(diǎn)做一條直線與直線l交于點(diǎn)P，所以直線BP方程為y=kx+1→聯(lián)立直線與y=-2求出P點(diǎn)→寫(xiě)出直線PC方程→聯(lián)立直線PC方程與橢圓方程，求出點(diǎn)M→可證明結(jié)論；

(學(xué)生⑤，教師板書(shū))圖形的產(chǎn)生根源可以歸結(jié)為過(guò)B點(diǎn)做一條直線與橢圓交于點(diǎn)M，所以直線BM方程為y=kx+1→聯(lián)立直線與橢圓求出M點(diǎn)→寫(xiě)出直線MC方程→聯(lián)立直線MC方程與y=-2，求出點(diǎn)P→可證明結(jié)論.

在整理了幾種思路后進(jìn)行辨析，對(duì)可操作性和運(yùn)算量進(jìn)行預(yù)估，從而選擇最合理的思路操作.在第(1)問(wèn)解決的基礎(chǔ)上第(2)問(wèn)解答略.

現(xiàn)實(shí)的高三教學(xué)中，常聽(tīng)到同事們課后的談?wù)摚骸斑@節(jié)課只講了兩個(gè)題、三個(gè)題”，言語(yǔ)中透出淡淡的遺憾——講的太少，但就算緊趕慢趕講，等到批作業(yè)或者試卷時(shí)又會(huì)抱怨：“怎么還是不會(huì)?。俊钡拇_，題干的表述有時(shí)束縛了學(xué)生的思維，而且教師也會(huì)憑著直覺(jué)、經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行講解，少了不同視角的剖析和比較，導(dǎo)致學(xué)生在做題時(shí)也視角單一、無(wú)法切入.因此教學(xué)中利用“由圖溯源”的教學(xué)策略，肯花時(shí)間，讓學(xué)生在辨析中突破，在比較中擇優(yōu)，形成思維的創(chuàng)造性.

2.變式教學(xué)，掌握通法

在解決圓錐曲線綜合題的過(guò)程中，學(xué)生常有這樣的反映：題目似曾相識(shí)，但又沒(méi)有頭緒，即使能操作卻又不能進(jìn)行到底.追根究源是通性通法的掌握不夠扎實(shí)，而變式教學(xué)則能讓學(xué)生在不同的情境下找尋解決問(wèn)題的關(guān)鍵著手點(diǎn)以及變化之處.

例3 已知圓C的方程為x2+y2=1，直線l1過(guò)點(diǎn)A(3，0)且與圓C相切.

(1)求直線l1的方程；

(2)設(shè)圓C與x軸相交于P、Q兩點(diǎn)，M是圓C上異于P、Q的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A且與x軸垂直的直線為l2，直線PM交直線l2于點(diǎn)P′，直線QM交直線l2于點(diǎn)Q′，求證:以P′Q′為直徑的圓總經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

(1)求橢圓C的方程；

(2)試問(wèn)：以MN為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)，說(shuō)明理由．

圓錐曲線的綜合題中，可以基于同一個(gè)方法和相同的本質(zhì)選擇不同的題目，典型的做法有相同的背景下調(diào)換題目的條件和結(jié)論(如例2及變式)，或者在圓和圓錐曲線中設(shè)置相同的背景(如例3及變式).在教學(xué)中如果能經(jīng)常進(jìn)行變式教學(xué)，讓學(xué)生感受其中的通性通法，對(duì)于提升解題能力也極有益處.勿容置疑學(xué)生能力的提升需要通過(guò)一定量題目的訓(xùn)練，但數(shù)量不等于質(zhì)量，教師要從大量的題目中前后聯(lián)系，選取富有價(jià)值的題目，反思解題思路，找尋聯(lián)系與區(qū)別，在變式中強(qiáng)化通性通法，培養(yǎng)思維的深刻性.

3.加強(qiáng)分析，優(yōu)化運(yùn)算

(1)求橢圓Q的方程；

①求證：OA與OB的斜率之積為定值；②求OA2+OB2；③求點(diǎn)N的軌跡方程；④求|NC|+|ND|的值.

(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)，則

因?yàn)槿齻€(gè)點(diǎn)都在橢圓上，所以

對(duì)很多同學(xué)來(lái)說(shuō)，計(jì)算也是圓錐曲線綜合題中一道難以逾越的鴻溝.原因主要是兩個(gè)方面：一是參數(shù)選擇帶來(lái)運(yùn)算量的難易程度(在本文的第一點(diǎn)已進(jìn)行了梳理)；二是運(yùn)算時(shí)對(duì)條件和目的分析不夠?qū)е聸](méi)有方向.因此計(jì)算時(shí)要緊抓題目條件，譬如設(shè)曲線上一點(diǎn)，一定要注意此點(diǎn)所符合的表達(dá)式，為后面的消元或整體代換作鋪墊，同時(shí)要關(guān)注最終的目標(biāo)，這樣有時(shí)會(huì)指引我們對(duì)運(yùn)算式子進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，讓運(yùn)算水到渠成，而不是象變戲法一樣覺(jué)得不可思議.