著眼局部 把握整體 理解本質 完善認知*
——分段函數奇偶性判斷的深度理解與教學感悟

安徽省阜陽市紅旗中學 (239000) 潘 靜

案例設函數f(x)是定義在R上的奇函數，若當x∈(0,+∞)時，f(x)=lgx，則f(x)在R上的解析式為.

分析：因為函數f(x)是定義在R上的奇函數，故f(0)=0，因此只要再求出x>0時f(x)的解析式即可，當然此種情況求解并不難，通常解答如下：設x<0則-x>0，因x∈(0，+∞)時，f(x)=lgx，所以f(-x)=lg(-x)(※)，又函數f(x)是定義在R上的奇函數，故由(※)得，-f(x)=lg(-x)，即f(x)=-lg(-x).

一、問題提出

上面的解答方法通常稱為“轉代法”，此法自然流暢，易于掌握，是處理這類問題的通法，無論高一新課教學，還是高三備考教學中，如果遇到上述類型的試題，就常常使用這種方法，可以說是我們教師的拿手好戲，教學起來得心應手，順風順水，沒有什么懸念.然而筆者最近在高三備考教學中，在展示上述解法之后，出現了意外，一位學生提出質疑：“老師，在等式(※)中，對應關系f不是‘取常用對數lg口’嗎？那為何根據‘f(x)是定義在R上的奇函數’，可以將f(-x)變換為-f(x)，而lg(-x)卻不能將‘-’移出來寫成-lgx呢？”一石激起千層浪，對呀，這位同學說得好，大家看，為何在等式f(-x)=lg(-x)中，左邊f(-x)的負號“-”可以移出來，而右邊式子lg(-x)中卻沒有將負號“-”移出來？不少學生說，因為此時x<0，lg(-x)中不能將負號“-”移出來，否則-lgx無意義，的確如此，但這種分析能否作為“(※)中lg(-x)中不能將負號“-”移出來”的理由呢？顯然，有些牽強附會，不能說服一部分學生，于是又大家面面相覷，看起來不少學生仍在陷入沉思之中，既然(※)中對應關系f是‘取常用對數lg口，等號右邊不可將“-”移出來，到底怎么回事呢？

二、問題解決

因為上述案例中的函數f(x)是分段函數且是奇函數，故f(-x)=-f(x)中等號兩邊的對應關系f是不同的,故設x<0，則-x>0，因x∈(0,+∞)時，f(x)=lgx(“f”此時是指“取常用對數lg口”)，所以f(-x)=lg(-x)①(“f”此時是仍指“取常用對數lg口”).又f(-x)=-f(x)②(注：此變換悄悄地使得對應關系“f”的意義發生變化)，故由、通過等量代換，得到的-f(x)=lg(-x)中的“f”已不是“取常用對數lg口”，而是-lg(-口).

而在f(-x)=lg(-x)(x<0)中，“f”的意義就是“取常用對數lg口”，為何等號左邊的負號“-”能移出來，而等號右邊的式子lg(-x)中負號“-”不能移出來呢？

為了方便解釋，對于本案例中對應關系，不妨設當x>0時，對應關系f記為“f1”，當x<0時，對應關系f記為“f2”(注：f1與f2一定不同)，則由上面的分析知，當x<0時，有f1(-x)=lg(-x)，又根據f(x)是奇函數，我們可以得到當x<0時，使得

f1(-x)=-f2(x)，即得 ，而對于對數函數 不是奇函數，故沒有這種功能，即沒有lg口.雖然在lg口中，“lg口”的意義就是“取常用對數lg口，我們根據f(x)是奇函數，將-中的“-”號移出，但對應關系由“f1”變為“f1”了，而不是原來的對應關系了，由于f1與f2統一地記為f，故只能由f(-x)=lg(-x)(x<0)得到-f(x)=lg(-x)，而不能將lg(-x)中的“-”號移出.

因此當分段函數又是奇函數(或偶)時，我們不能用固有的眼光去看待分段函數對應關系“f”，要從整體上去認識對應關系“f”，切不可將分段函數f(x)的對應關系“f”與構成分段函數每段的函數對應關系混為一談，否則，本案例中的質疑就難以得到詮釋.

三、教學思考

此案例中學生提出的質疑的確困擾著一部分善于思考的學生，由于我們不少教師平時沒有對此問題作進一步的深入思考，當學生向教師提出上述質疑時，就用“若將f(-x)=lg(-x)(x<0)中

lg(-x)的‘-’移出，則lgx就無意義”去搪塞學生，結果學生還是不明白，知其然不知其所以然，這種教學現象充分說明我們有些教師在解題教學時只是為解題而解題，沒有將解法形成的原因即算理講清楚，導致學生只會照貓畫虎，機械地模仿操作，缺少思維活動的展示，這就嚴重違背了與“數學教學是思維活動的教學”，到頭來，學生不能學到真正的數學，得到的只是一個個被動接受的數學知識方法而已.

當然，講清楚有時是不容易的，這就要求教師平時多思、多悟，將數學教出活力，教出數學味.筆者在教學中不甘平庸，時常對大家熟視無睹的數學現象都會深思一番，收獲頗豐，教學起來就能駕輕就熟，深入淺出，學生聽得明白，易接受.然而，很多教師在當今的教學中受急功近利的影響，只知道展示解題過程，至于為什么這樣處理，而不那樣處理，卻解釋得少，思考得更少，上述案例得質疑看似簡單，實則不易，如果教師不靜下心來潛心研究一番，還真找不出癥結所在，試想：因為教師如果講得不透，學生的負擔不是越來越重嗎？因此要使學生學得輕松，教師教學時必須講得清清楚楚，通俗易懂，讓學生學得更明白一些，不知其理，反而學得更辛苦.難怪很多高一學生感到高一數學學得吃力，是情理之中的事，因為我們教師在教學中對于抽象的數學知識及思想方法未講透徹，往往局限于“知其然，而不知所以然”的層面，講解缺少深度，從而導致學生囫圇吞棗的多，試想：不理解的數學知識與方法，怎能談得上靈活運用？