一道平面向量高考題的解法與變式探究

浙江金華第一中學 (321015) 吳賢盛

平面向量是高考命題的基本考點，命題形式一般以選擇題與填空題為主，平面向量數量積是命題的重點內容，主要涉及平面向量數量積的運算、模的運算、夾角的運算和與平面向量數量積有關的參數問題.那么這類問題有哪些解法呢？讓我們一起來探究2019年的一道高考題.

一、高考真題及解法探究

這是一道求向量夾角的平面向量數量積問題，題面十分簡潔，卻滲透了數學運算、直觀想象的數學核心素養，考查了考生的轉化能力.那么解答這道題有哪些思路呢？

思路1：直接利用平面向量的夾角公式.

思路2：通過建立直角坐標系轉化為解析幾何問題

圖1

點評：把向量問題坐標化，就是利用數形結合思想，將平面向量問題轉化為坐標運算問題.本題采用坐標法之后大大減少計算量，體現了平面向量的幾何意義的靈活應用.

思路3：轉化為解三角形問題

點評：由向量的加減法的幾何意義，把原問題轉化為解三角形問題，也是一條非常有效的解題思路，由此可見“由數思形”，多方聯想.

二、變式問題方法再探

圖2

點評：向量是“數”與“形”的統一體，為了同時考查向量的“數”、“形”特征，試題往往以向量的數量積背景，考生需要深挖向量數量積的幾何意義，找到解題思路，或利用轉化思想，將向量的最值問題轉化為三角函數的最值問題，以考查考生思維的靈活性.選擇不同轉化思路，會得到不一樣的解法.

以上三個變式再次告訴我們：當數量積問題中給出的題設條件中含有基底向量時，一般采用定義法，這類問題一般難度不大.而當數量積問題的條件中只給出關于幾個向量的條件等式時，一般需利用根據向量及其運算的幾何意義，利用轉化思想轉化為其它數學問題來解決.