2019年全國Ⅰ卷理科第10題的探究*

福建省莆田第二中學 (351131) 蔡海濤

1.試題呈現

(2019年高考全國Ⅰ卷·理10)已知橢圓C的焦點為F1(-1,0)，F2(1,0)，過F2的直線與C交于A，B兩點．若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，則C的方程為( ).

本題考查橢圓的定義、標準方程及其簡單性質，考查運算求解能力、推理論證能力，考查數形結合思想、函數與方程思想、化歸與轉化思想，考查直觀想象、數學運算等核心素養．

2.解法賞析

圖1

解法1:如圖1，因為

|AF2|=2|F2B|，所以|AB|=3|BF2|，又|AB|=|BF1|，所以|BF1|=

評注:以上兩種解法均由橢圓的定義入手，把

|AF1|、|AF2|、|BF1|、|BF2|用a表示，且發現A為橢圓短軸端點.然后抓住兩個焦點三角形(橢圓或雙曲線上任一點與其兩個焦點所構成三角形稱為橢圓或雙曲線的焦點三角形)△AF1F2、△BF1F2之間的關系(法1)，或是抓住△AF1B、△AF1F2之間的關系(法2)，尋找關于基本量間的等量關系，建立關于基本量的方程，求得a的值，進而求得橢圓的方程.一般地，涉及焦點三角形的計算常常利用定義入手，兩個焦點三角形的問題往往要發現這兩個三角形邊、角的關系.

評注:解法3和解法4均考慮先求出點B的坐標，然后代入橢圓的標準方程求得a的值.兩種解法的區別在于求得點B的坐標方法不同，解法3利用向量方法，解法4利用平幾方法.在解析幾何的運算中，要注意平面向量的工具功能.

3.背景探究

圖2

下同解法1.

圖3

同理，可證雙曲線有相同的結論.

荀況說過：“不登高山，不知天之高也；不臨深谷，不知地之厚也；不聞先王之遺言，不知學問之大也.”正如荀況所說，近幾年數學高考試題的命制也從更高的觀點展望和突破.[1]一道看似平淡無奇的高考題，若我們加以探究，可能會發現一題多解那片“美麗的風景”，再由特殊推廣到一般，探究其命題的背景，則我們更能把握問題的實質，更好地統領問題的全局.