關于一道物理奧賽試題的學習及思考

楊思鋒

摘要：物理奧林匹克競賽是一項非常專業的物理學習和研究活動，深受廣大高中理科學生的歡迎。它已經成為中學物理課程學習中有益的補充。本文通過對一道競賽試題的解析，說明物理學習與實際生產、生活的關系。

關鍵詞：物理奧林匹克競賽;試題分析

每年物理奧賽的復賽試題都是由國內幾個一流高校的教師命制的。試題基本是他們科研工作的另一種形式的呈現，既有科學理論的探索，也有科學實驗結果的反映，其特點就是理論和實際相結合。與其他物理題相比（如高考試題、學業水平考試試題、教材上的習題等），它們更接近運用物理學的知識解決實際的問題——這是物理學習目的的重要方面。

2019年的全國復賽試題，在聯系實際方面表現得更為合理，對高中物理課堂教學具有很好地啟示作用。下面舉一例進行說明。

如圖a，旅行車上有一個半徑為R的三腳圓凳（可視為剛性結構），三個相同凳腳的端點連線（均水平）構成邊長為a的等邊三角形，凳子質心位于其軸上的G點，半徑為r的一圓筒形薄壁茶杯放在凳面上，杯底中心位于凳面中心O點處，茶杯質量為m（遠小于凳子質量），其中杯底質量為m5（杯壁和杯底各自的質量分布都是均勻的），杯高為H（與杯高相比，杯底厚度可忽略）。杯中盛有茶水，茶水密度為ρ。重力加速度為g。

（1）為了使茶水杯所盛茶水盡可能多并保持足夠穩定，杯中茶水的最佳高度是多少？

（2）現該茶水杯的底面邊緣剛好緩慢滑移到與圓凳的邊緣內切于D點時靜止（凳面邊有小凸緣，防止物體滑出;凳面和凳面邊的凸緣各自的質量分布都是均勻的），且OD⊥AC（見圖b），求此時旅行車內底板對各凳腳的支持力相對于滑移前（該茶水杯位于凳面中心處）的改變。

我們可以從以下幾方面對該試題進行學習和體會。

一、用物理知識解決實際問題的第一步，是建構知識模型。

由于中學生的知識水平狀況，試題明確了幾個模型：（1）三腳圓凳——剛體（即結構，包括形狀不發生變化）;（2）薄壁茶杯——不考慮茶杯的側壁厚度，即認為杯壁的半徑為r不變;（3）茶杯質量遠小于凳子質量——保證凳子不翻到（車底板對三個腳的支持力大于零）;（4）杯壁和杯底各自的質量分布都是均勻的;凳面和凳面邊的凸緣各自的質量分布都是均勻的——可以用一般的幾何知識進行計算（避免微積分等過于細致、復雜的運算）。

二、下面只討論第一問的解答要求（第二問的要求解答過程相對直接一些，只需要列出豎直方向上力的平衡方程，和以AC為軸時的力矩平衡方程，聯立起來就可以了。）

首先是建立可行的坐標（系），即以凳面中心O為坐標原點，過O點向上的豎直線為y軸，（x軸相應靈活確定）。然后，我們進行細致的分析和處理。

（1）具有普遍性的思考方法

從物理上看，物體的穩定性，即是要求其質心（有時與重心意義相同）位置較低。于是我們寫出茶杯（包括其中的茶水）的質心位置表達式為

y質心=4m5H2+ρ（r

2h）hm+ρ（r

2h）。

由于往杯中加水的過程中，水杯整體的質心先是逐漸降低，然后再逐漸升高。要實現茶水杯所盛茶水盡可能多并保持足夠穩定的要求，物理上就是要求水杯的質心盡可能接近凳面，處于最低點位置，即在上面的表達式中，當h為何值時，y質心最小。于是由

dy質心dh=0，可以計算出h=hmax=mρr

2-1±1+4Hρr

25m，舍去負值，即得結論為hmax=mρr

21+4Hρr

25m-1。

（2）一種物理思想性很強的處理方法

上面同樣的分析知道，當杯中所加入水的高度正好等于此時水杯（整體）的質心高度時，這時水杯質心距離凳面最近;再繼續加水，會使水杯的質心開始升高（——這是物理觀念和科學思維素養的綜合體現）。

于是有h=y質心=4m5H2+ρ（r

2h）hm+ρ（r

2h），很快得出與上面相同的結論。

（3）一種不同平常的想法

如果水杯的穩定性從另一個角度思考，即考慮車輛加速（或轉彎）造成水杯傾斜。這種情況下，我們寫出水杯整體的質心x坐標表達式。將該表達式對傾斜角度θ（水杯底面與水平凳面的夾角）求微分。根據極值條件求出相應的加入水的高度（豎直情況時）h，即為hmax。我們可以比較該結果與前面結果的關系。

與此想法相對應，可以有如下的定性結論，即當x質心=xmax=r（水杯底面半徑）時，就對應加入水的高度（豎直情況時）h，即為hmax。

如果上面的結論都相同，這個結果就具有實際生產層面的意義了。

責任編輯：黃大燦