與小學生漫話圓周率

安徽省安慶市岳西縣實驗小學 儲銀桃

在小學六年級開始學習圓的知識，如圓的周長計算公式C=2πR，圓的面積計算公式S=πR2。這其中，圓周率π是一個相當重要的數學常數，這個常數在后續的數學課程中如影隨形，如三角函數、立體幾何、概率統計中都能見到它的身影；在其他自然科學中也隨處可見，如物理中單擺的周期公式、海森堡的不確定性原理、愛因斯坦相對論的場方程等。可以說，π的歷史，涉及人類文明包括數學學科的整個發展歷史。適度地給小學生深入淺出地講解這個常數，介紹它的神奇性質、它的前世今生，可以激發小學生學習數學的興趣和勇攀科學高峰的精神；給小學生講解中國古代數學家在這方面所做出的杰出貢獻，對激發學生的愛國熱情和民族自豪感也有重要意義。

一、圓周率的定義、性質及早期近似值

在人類從事生產生活過程中，大自然中最早引起人們注意的幾何圖形大概就是圓了，天上的太陽和滿月、一些植物的花朵（如向日葵等）、平靜水面上漾起的一圈圈漣漪都給人以圓的形象。圓具有高度的對稱性，過圓心的任何一條直線都是其對稱軸，圓周上任意一點到圓心的距離都相等。或許經過了一個漫長的時期，人們認識到所有的圓都是相似的，任意一個圓的周長C 與其直徑D 之比為一個固定不變的數——數學上稱為常數，這個常數就是圓周率。1737 年，大數學家歐拉采用希臘字母π 來表示這個常數，自此，π 便成為表示圓周率的通用記號。

如果知道了圓周率π 的數值，可以由圓的直徑計算出圓的周長或面積，圓周率π 數值越精確，計算結果就越精確。在人類文明的早期，人們就是取它的有限位近似值用于工農業生產中的計算。根據最早有文字的記載，在公元前2000 年前后，巴比倫人取π 的近似值為3.125，埃及人則采用3.1605，我們國家在公元前1200 年的周朝使用3 作為π 的近似值，并一直使用了好幾個世紀，這就是《周髀算經》所記載的“圓徑一而周三”，即“圓的直徑為1，則周長為3”，與世界其他各國同期相比，這算不上一個先進的紀錄。到了130 年，在《后漢書》中采用3.1622 作為近似值，比3精度要高一些。至于另一四大文明古國——印度，在400 年前后，開始采用3.1416 作為近似值，這已經具有很高的精度，在絕大多數場合用它做計算已經足夠了。

二、圓周率的計算方法

人類在早期所采用的圓周率的近似值估計是通過測量和經驗得到的，這類獲取圓周率近似值的方法對精度的提高是有限的，例如，假設我們采用有毫米刻度的軟尺來測量一個直徑為1 米的圓的周長和直徑，由于測量總會有誤差，毫米以下要靠測量者進行估計，直徑可能讀為1.0003 米，周長可能讀為3.1396 米，這樣計算出來的圓周率近似值就是3.1386584，小數點后第2 位就開始不準確了。因此，探求一種可以將圓周率的數值能計算到任意精度的方法就變得很重要了，古希臘數學家、物理學家阿基米德和我國古代數學家劉徽、祖沖之在這方面做出了杰出貢獻。

（一）阿基米德方法

到了公元前3 世紀，古希臘最偉大的數學家、物理學家阿基米德（前287—前212）首次提出了可以將π 的數值計算到任意精度的一般性的方法。他的方法的根據是：圓內接正多邊形的周長比圓周長小，而圓外切正多邊形的周長比圓周長大，將圓內接正多邊形及圓外切正多邊形的邊數不斷加倍，它們就愈來愈接近圓周了。

具體而言，阿基米德從單位圓出發，先用內接正六邊形周長求出圓周率的下界為3，再用外切正六邊形周長并借助勾股定理求出圓周率的上界為4。接著，他對內接正六邊形和外切正六邊形的邊數分別加倍，將它們分別變成內接正12 邊形和外切正12邊形，再借助勾股定理改進圓周率的下界和上界。他逐步對內接正多邊形和外切正多邊形的邊數加倍，經過四次加倍后，得到內接正96 邊形和外切正96 邊形。最后，他求出圓周率的下界和上界后再取它們的平均值，得到圓周率的近似值：3.141851。

（二）劉徽與割圓術

生于三國時代魏國的劉徽，在對中國古代算經《九章算術》作注時，于264 年也提出了與阿基米德相類似的方法，劉徽將該方法命名為割圓術。與阿基米德類似，劉徽也是取半徑為1 的單位圓，開始時作圓內接正六邊形和圓外切正六邊形，但與阿基米德不同的是，劉徽不是計算它們的周長，而是計算它們的面積，從圖1 更容易直觀地看出，圓的面積必定介于圓內接正多邊形面積和圓外切正多邊形面積之間。邊數不斷倍增，從6 到12 再到24、48、96、192，直至3072。

他在書中寫道：割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣。這段樸素精練的語言蘊含著極限的思想，說明了內接正多邊形隨著邊數不斷倍增，其面積無限接近于圓的面積。劉徽將正多邊形邊數倍增到192 時，求得3.141024＜π＜3.142704，邊數倍增至3072 時，求得π≈3.14159。

劉徽不僅得到了相當精確的π 的近似值，而且提出了一個可以計算π值到任意精度的一般性的方法，這雖然已在阿基米德之后的500 多年了，但處于當時的條件，交通和通信極其落后，劉徽不可能知道阿基米德的方法，因此，劉徽的割圓術應該被視為他自己的原創性工作。

圖1 劉徽割圓術：邊數從6 培增至12 倍

無論是阿基米德方法，還是劉徽的割圓術，都涉及勾股定理及開方運算，這都超出了小學生的知識范圍，因此只需講解算法基本思想，具體計算過程從略。

（三）祖沖之的約率、密率

講到中國學者對圓周率的貢獻，不能不提祖沖之。祖沖之是南北朝人，在5 世紀時可能采用了劉徽的割圓術，將π 的數值計算到3.1415926＜π ＜3.1415927，即精確到小數點后第七位，這是非常了不起的成就，歐洲直到16 世紀才取得如此高精度的值，祖沖之的計算結果領先了歐洲足足11 個世紀。

祖沖之對圓周率的貢獻，特別使人吃驚和感興趣的是他找到了兩個簡單易記的分數來近似表示圓周率，即密率

和約率

在分母小于100 的分數中，約率22/7 是最接近π 的分數；在分母小于30000 的分數中，密率355/113 是最接近π 的分數。尤其是密率，精度很高又容易記憶，這個結果直到1573 年才為德國人奧托（V.Otho）重新發現，但這已經是1000 多年以后的事了。

三、有關π 的其他趣事

圓周率π 是如此神奇，以至于人們對它寵愛有加。在法國巴黎的發現宮中，專門有一個關于π 的大廳，廳門上方印有含有π 的歐拉公式，廳內墻壁上則印著π 的精確到小數點后707 位的數值。世界各地的圓周率愛好者還根據圓周率的前三位數字3.14確定每年3 月14 日為“π 日”，他們在那天聚會，討論有關π 的話題，吃以餡餅為主的美食——因為餡餅的英文pie 發音與π 相同，并互祝“π 日快樂”。

關于π 的計算，前文中介紹了阿基米德方法、劉徽的割圓術、祖沖之的約率和密率等，此外，還有其他高等數學的方法，如積分方法、級數方法，這些都是確定性方法。1777 年，法國科學家蒲豐（Buffon）提出了投針實驗方法計算π，他首次使用隨機實驗處理確定性數學問題。具體做法是這樣的，在平地上畫很多距離相等的平行線，隨機地向地上投擲一根針，針的長度小于平行線間的距離，這樣，針要么與平行線不相交，要么與其中某一條平行線相交，重復很多次，統計針與平行線相交的次數，列一個方程，就能計算出π 的近似值，是不是很神奇？當然，這種方法無法控制π的精確度，實驗次數增多并不意味著精度就會提高。但這種方法引申出當今一個重要的計算方法，即以賭城蒙特卡羅（Monte Carlo）命名的蒙特卡羅方法。

從人類對圓周率π 的認識不斷深化的歷史，可以看到科學是永遠充滿活力并不斷開拓前進的。作為小學生，要從小就立志發奮學習、獻身科學、報效祖國、為全人類謀幸福。中國古代數學家在當時極其低下的條件下，做出了世界領先的研究成果，這種探索和鉆研精神也需要我們學生繼續傳承下去。