深度處理教材 凸顯知識本質 發展數學素養

江蘇省無錫市堰橋高級中學 余金榮

數學教材不僅是“數學”材料，同時，它也是“教學”材料，是經過“教學法”加工的“數學”。在教學法的完善下，教材中的數學知識與學術形態有所區別，在教學內容的選擇、內容的呈現形式、概念的形成過程、規律方法的揭示過程方面都進行了精心的設計。受學校教學課時、教材表現形式、學生認知水平及認知結構等諸多因素的影響，教材編寫者相應地對數學知識進行取舍，轉變形式，變換表達方式，以更適用于教師教學和學生閱讀。當然，這種做法有時不可避免會掩蓋數學知識的內在聯系、數學規律的形成過程、數學理性精神的體驗等與數學本質密切相關的內容。

教師如果照本宣科，簡單地將教材上的內容重復一遍，“抄”在黑板上，課堂教學就會脫離數學本質，失去知識在培育學生數學素養方面的價值。因此，教師在處理教材時，應思考數學知識的內在聯系，研究課堂上數學規律演變的表現形式，體驗教學內容中所涉及的數學思想方法和理性精神，藝術地組織課堂教學，以明確學生應該“學什么”“怎么學”，讓學生了解“有什么用”。

一、立足教材內容，明確知識的邏輯結構，實現重點的高效突破

我們非常清楚，課堂教學首先應該認真研讀教材，明確內容的本質，在此基礎上切實把握教學內容的內涵和外延，這有利于學生構建新的認知結構。另一方面，通過教材呈現的文本卻掩蓋了課堂教學內容的實質，教學任務和重難點沒有明確地寫在教材中。吳大任教授曾經說過：觀點越高，事情越顯得簡單。學生學習的每個數學知識都不是孤立存在的，而是一個有機的整體。因此，教師在處理教材時，應站在數學學科知識系統性的角度，明確構建新知識結構的基礎及學生新獲取的知識，以把握數學起點的高低。

以“直線的方程（一般式）”一課教學片段作為案例：

問題：請復述直線方程的四種特殊形式，并說明它們各有什么限制。

教師：如果能夠把方程y=kx+b 與x=x1形式上統一就好了。前面在求出直線方程的特殊形式之后，做了方程的變形（此處通過教材閱讀進行復習）。你能寫出它們的一般形式嗎？

學生：Ax+By+C=0。

教師：關于Ax+By+C=0 的方程都表示直線嗎？

學生：不是！A，B 都是0 的時候行不通（舉例說明A，B 中有一個為0 的情況）。

問題：關于x，y 的方程Ax+By+ C=0（A，B 不全為0）都表示直線嗎？請你利用所學的知識加以說明。

學生分組進行討論交流。

問題：平面內任意一條直線是否都可以用形如Ax+By+C=0（A，B 不全為0）的方程來表示？（你能否把平面的直線用方程來表示呢？）

學生分組進行討論交流。（完善圖1）

從課題及教材內容上來說，本課題的主要任務是思考直線與一元二次方程Ax+By+C=0（A，B 不全為0）的聯系，應該包含兩方面：直線的方程、方程的直線，即圖1 中的虛線所示，兩者直接關聯。需要注意的是，直線作為未定義的原始概念，無法像研究譬如曲線這種具有明確概念定義那樣去驗證。由此，本節課看上去是嚴格論證，實際上推理被分成了兩個階段，一段是不嚴格的，作為原有知識（直線與方程y=kx+b 及x=x1的關系）；一段是嚴格的，建立方程y=kx+b 或x=x1（數）與一元二次方程Ax+By+C=0（A，B 不全為0）的關系，其中嚴格證明的后一段才是本節課的重點。透過教材字面上的含意，本節課的知識涉及初中的幾何與代數、高中的解析幾何與代數。分析整個知識框架，我們便能清楚地知道教材將此部分內容歸結為數與數之間的推導之用意，從而才能讓學生得以明確，這一點對高中階段曲線方程的研究非常重要，能幫助學生準確認識數學中的邏輯，體會數學真理的嚴謹性和精確性。

圖1

二、理解教材數學，還原知識的演繹過程，完成知識的有效建構

德國數學家菲利克斯·克萊因指出：“科學的教學方法只是誘導人去科學地思考，并不是一開頭就教人去碰冷漠的、經過科學洗練的系統。”

數學有三種形態：第一種，原始形態，即數學家發現數學真理、證明數學命題時進行的曲折的數學思考；第二種，學術形態，是數學家發表論文所采用的形態；第三種，教育形態，是通過教師的努力，啟發學生高效地進行思考，使數學知識體系更容易被學生所接受。

專家采用教學法的加工方式，將高深的數學知識、復雜的邏輯演繹、深刻的數學思想通過教材的形式展現給學生，知識本質在教材表現形式的影響下則會趨于隱蔽。教學過程中，教師在考慮學生接受能力的前提下，應該盡可能挖掘顯性知識背后的隱性知識，保證數學知識的發現過程與數學的原始演變保持一致或者相似。這樣同步的思維，對學生認識數學知識的本質，培養提出問題、分析問題和解決問題的能力，從而提高數學素養至關重要。

以“導數在研究函數中的應用”一課的教學片段作為案例：

問題：對任意連續函數y=f(x)在區間I 上f′(x)＞0 恒成立幾何意義是什么？

學生：函數圖像在區間I 上任一點處切線斜率大于零。

問題：要證明函數y=f(x)在區間I 上單調遞增，依據函數單調性的定義，我們研究什么？

學生：（1）任取x1，x2∈I，且x1＜ x2，有f(x1)＜f(x2)成立；

（3）函數圖像在區間I 上連接任意兩點割線的斜率都大于零。

教師：原來函數在區間上單調也具有類似的幾何意義。

問題：如果函數y=f(x)的圖像連續且在區間I 上f′(x)＞0 恒成立，則函數y=f(x)在區間I 上單調遞增（見圖2），你能說明原因嗎？

圖2

導數與函數、方程、不等式及解析幾何等相關內容密切相關，但主要是扮演工具的角色。從教材編寫的角度來看，通過大量的實例由淺入深逐層展示導數學習過程中所蘊含的數學思想及方法；從整個知識的發生發展過程來看，其與學術形態的導數有非常大的區別。教材在闡述導數與單調性的聯系時，將單調性與平均變化率建立聯系，然后借助圖形進行直觀理解。嚴格的數學證明需借助拉格朗日定理來完成，將嚴格證明思路圖形化，讓學生直觀感受導數與單調性的關系，不僅減少了學生學習的困難，也有利于學生從數學本質的角度理解問題。

三、優化課堂教學，體驗知識的數學價值，促進學生的深化理解

在數學課堂教學中不僅要關注數學活動獲得的成果，還要關注學生的思維活動過程是否與數學知識的發生發展過程相一致，從而保證學生數學思維結構的形成與發展。教師經過數學學科專業的訓練，能夠從學術角度審視教學內容，并統一知識的表達形式，明晰研究對象的本質。而學生的思維過程則與知識應有的發展過程有著比較明顯的差異。因此，要讓學生經歷知識的發生過程，增強課堂活動的開放程度，引領學生參與數學活動，讓思維成為“可見”的存在形態。在思維的展現過程中，讓學生的思維結構與知識的生成過程一致或者相似，這種一致或者相似的結構，對培養學生掌握數學思維、提高數學素養非常重要。

以蘇教版選修2-2“空間向量的坐標表示”一課的教學片段作為案例：

通過“平面解析幾何初步”這一章中的學習，在學生已經學習了空間直角坐標系，并能用坐標表示空間任意一點的位置的基礎上，教師對學生提出兩個問題。

問題1：你能類比平面向量的坐標表示，用坐標表示空間向量嗎？

問題2：空間向量可以用坐標表示，空間中點的坐標是否與向量的坐標有聯系呢？

在問題的引導下，教師圍繞空間向量的坐標表示，引導學生進行類比學習，針對學生在解決問題過程中出現的思維缺陷暴露出的問題本質，組織學生進行交流、對話，及時捕捉他們存在的困惑及障礙點。同時，針對學生暴露出來的思維障礙點，利用更高層次的思維引領學生思考。另外，教師也要站在學術思維的立場上理解教材中的內容，從學生的思維出發，抓住教材突出的基底在向量研究中的重要地位與學生學習中產生思維偏差的問題根源，問題越探越明，思維越探越清，本質越探越透，把學生思維缺陷的本質完全暴露出來，在向更高層次的思維發展的同時加深對基底與坐標關系的理解。

教材是數學知識的呈現載體，我們要利用數學的專業修養，對數學內容所反映的理性精神有較深入的體會和理解，弄清數學知識的來龍去脈，區分體現數學核心本質的本源性問題與無關數學本質的“細枝末節”，挖掘數學知識本身的育人價值，伴隨著學生的思考，使學生的數學思維得到訓練與發展，以達到培養學生數學素養的目的。