注重類比 突出探究

楊小芳 何孟瑤 趙緒昌

[摘 ?要] “認(rèn)識分式”是一節(jié)概念課，通過跑步問題的情境引入，學(xué)生嘗試歸納出分式的概念，教師總結(jié). 通過展示跑道，提問已知路程和速度，怎樣去表示時(shí)間. 觀察、對比得到的式子，類比分?jǐn)?shù)的概念，歸納出分式的概念，進(jìn)一步對分式有意義、無意義、值為0的三個(gè)條件進(jìn)行探究. 課堂實(shí)施金字塔小組競爭，層層連貫，邏輯緊密，注重啟發(fā)學(xué)生的思維，將類比的數(shù)學(xué)思想貫穿課堂.

[關(guān)鍵詞] 分式的概念;兩個(gè)應(yīng)用;三個(gè)條件;類比思想

教學(xué)內(nèi)容及內(nèi)容解析

“認(rèn)識分式”是義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（北師大版）八年級下冊第五章第一課時(shí)，是一節(jié)概念課的教學(xué)，通過對學(xué)生實(shí)際生活問題提問，列出代數(shù)式，引導(dǎo)學(xué)生通過類比法歸納出分式的概念以及分式無意義、有意義、值為0是本節(jié)課的核心內(nèi)容.

分式的概念滿足三個(gè)特征：①形式上，如 ;②A，B為整式;③B式中含有字母. 引導(dǎo)學(xué)生類比分?jǐn)?shù)得出概念，學(xué)生通過與自身相關(guān)的問題入手，列出式子，觀察其形式，討論得出分式概念，教師歸納. 這里體現(xiàn)了類比、歸納的數(shù)學(xué)思想.

學(xué)生除了會認(rèn)識分式以外，還會根據(jù)給定字母的值求分式的值，在探究的過程中，發(fā)現(xiàn)分式和分?jǐn)?shù)類似，若分式無意義，則分母為0;分式有意義，則分母不為0;若分式的值為0，則必須滿足分式的分子為0，分母不為0. 在掌握知識的前提下，對重難點(diǎn)加以練習(xí)，及時(shí)總結(jié)、反饋、歸納數(shù)學(xué)思想.

教學(xué)目標(biāo)和目標(biāo)解析

理解分式的概念，掌握分式無意義、有意義、值為0的條件. 學(xué)生經(jīng)歷觀察代數(shù)式的特征總結(jié)得出分式的概念，在合作探究中總結(jié)分式有意義和值為0的條件. （1）以描述實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系為背景抽象出分式的概念，建立數(shù)學(xué)模型，并理解分式的概念. （2）會根據(jù)條件計(jì)算分式的值. （3）能夠通過分式的定義理解和掌握分式有意義的條件.

教學(xué)問題診斷分析

分式的概念是與分?jǐn)?shù)對比得到的，學(xué)生對概念的理解缺少實(shí)際體會，所以在引入的過程中，從學(xué)生的身邊問題入手，能夠引起學(xué)生共鳴，進(jìn)而對概念的理解加強(qiáng)印象.

教學(xué)重點(diǎn)：理解分式的概念及分式有意義的條件.

教學(xué)難點(diǎn)：能熟練地求出分式有意義的條件及分式值為0的條件.

教學(xué)條件支持

借助多媒體展示與學(xué)生生活相關(guān)的畫面，引導(dǎo)學(xué)生觀察分?jǐn)?shù)、分式的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)進(jìn)行歸納.

學(xué)生的學(xué)法應(yīng)以自主探究和合作交流為主，體會分式的概念，教師采用類比的數(shù)學(xué)思想和互動探究式教學(xué)方法.

教學(xué)過程

1. 創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

教師：同學(xué)們，看到大屏幕展示的跑道，回憶運(yùn)動會上：

（1）你跑100 m要用多長時(shí)間？能夠表示出自己的速度嗎？

（2）假如你跑s m，用了21 s，你能夠表示出自己的速度嗎？

（3）假設(shè)你跑200 m，用了t s，你能夠表示出自己的速度嗎？

（4）假設(shè)我跑（s+50） m，結(jié)果用了（t+8） s，你們能夠表示出我的速度嗎？

學(xué)生1：（1）我跑100 m大概需要13 s，速度為 ?m/s.

學(xué)生2：（2） ?m/s.

學(xué)生3：（3） ?m/s.

學(xué)生4：（4） ?m/s.

設(shè)計(jì)意圖 ?問題的提出和學(xué)生的生活相關(guān)，學(xué)生能夠利用已有知識列出式子.

教師：同學(xué)們，我們觀察得到的這些式子，前兩個(gè)式子與后兩個(gè)式子在形式上有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？（小組討論，給出結(jié)論）

學(xué)生1：都是分?jǐn)?shù)的形式，都含有字母.

學(xué)生2：前兩個(gè)式子的分母是數(shù)字，后兩個(gè)式子的分母含有字母. （該同學(xué)所在的小組在金字塔上前進(jìn)一格）

教師歸納并展示相同點(diǎn)與不同點(diǎn). 相同點(diǎn)：都具有分?jǐn)?shù)的形式;不同點(diǎn)：后兩個(gè)式子的分母含有字母.

設(shè)計(jì)意圖 ?通過討論，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)這些式子都是分?jǐn)?shù)的形式，但是后兩個(gè)式子中的分母都含有字母，能夠發(fā)現(xiàn)后兩個(gè)式子在我們已經(jīng)學(xué)過的基礎(chǔ)上的不同.

2. 反思提煉，探索概念

（1）引入概念

教師：根據(jù)剛剛我們總結(jié)的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，前兩個(gè)式子是我們以前學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)，而像后兩個(gè)式子，分母含有字母的式子是分式，類比于分?jǐn)?shù)的概念，我們歸納得出分式的概念.

分式的概念：一般地，如果A，B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么代數(shù)式 叫作分式，其中A是分式的分子，B是分式的分母.

教師板書概念特征：形如 ;A，B都為整式;B中含有字母.

設(shè)計(jì)意圖 ?學(xué)生類比之前學(xué)過的分?jǐn)?shù)，能夠得到分式概念的特征，加強(qiáng)分式概念的理解，體現(xiàn)類比的數(shù)學(xué)思想.

（2）教師：接下來，我們來看看大家都認(rèn)識分式了嗎？

（投影展示）下面哪些是分式呢？

2a， （a+b）， ， ， ， .

學(xué)生1： ， ， .

學(xué)生2：我認(rèn)為 不是分式.

教師：為什么你認(rèn)為它不是分式呢？

學(xué)生2：因?yàn)榉肿雍头帜缚梢约s掉一個(gè)a，結(jié)果是4a，是整式.

教師（贊賞）：這個(gè)問題提得非常好，但我們觀察式子是不是分式，只需要看它的原始形式，不需要進(jìn)行化簡. 其次，（強(qiáng)調(diào)）π是常數(shù).

設(shè)計(jì)意圖 ?通過對分式概念的理解，區(qū)別之前學(xué)過的整式，學(xué)生能夠認(rèn)出分式.

（3）重組分式

教師：認(rèn)識了分式，我們看看大家能不能自己寫分式. 在下列式子中任選兩個(gè)式子組成分式：a+2，a2-4，1.

學(xué)生上黑板板書： ， ， ， .

教師：同桌交換檢查列舉出來的是不是分式，只需要滿足分母含有字母的都是分式. （列舉正確的小組在金字塔前進(jìn)一格）

3. 例題精析，鞏固應(yīng)用

教師：給出例題.

例1 ?對于組成的分式 ，若給出a=1，0，-2時(shí)，你能求出分式的值嗎？

學(xué)生1：當(dāng)a=1時(shí)，原式=-1;當(dāng)a=0時(shí)，原式=-2;當(dāng)a=-2時(shí)，原式=0.

學(xué)生2：當(dāng)a=-2時(shí)，分母=0，此時(shí)，分式是無意義的.

在學(xué)生試錯(cuò)的基礎(chǔ)上，教師運(yùn)用類比思想，分式和分?jǐn)?shù)一樣，要使分式有意義，則分母不能為0.

設(shè)計(jì)意圖 ?通過學(xué)生自己列舉的分式，進(jìn)行延伸，若賦予字母值，能夠計(jì)算分式的值，同時(shí)能夠發(fā)現(xiàn)，分式和分?jǐn)?shù)類似，若分母為0，則分式無意義.

歸納：類比分?jǐn)?shù)，當(dāng)分式的分母為0（即B=0）時(shí)，分式無意義;要使分式有意義，則分母不為0（即B≠0）.

例2 ?下列分式中的字母各滿足什么條件時(shí)，分式有意義？

（1） ;（2） ;

（3） ; （4） .

學(xué)生分小組進(jìn)行比賽，看哪個(gè)小組完成得又快又準(zhǔn). 一小組給出答案：（1）x≠ ;（2）a≠±1;（3）x為一切實(shí)數(shù);（4）x≠1. （全部正確的小組在金字塔前進(jìn)一格）

設(shè)計(jì)意圖 ?能夠用類比的思想，得出分式有意義的條件，分母不為0.

例3 ?當(dāng)a為何值時(shí)，分式 的值為0？

小組討論：分式的值為0，應(yīng)具備怎樣的條件？類比分?jǐn)?shù)：需要滿足分子為0且分母不為0.

設(shè)計(jì)意圖 ?能夠類比分?jǐn)?shù)，得到分式值為0的條件：分式的分子為0且分母不為0 .

歸納：類比分?jǐn)?shù)，要使分式的值為0，一樣要滿足分式的分子為0且分母不為0.

4. 應(yīng)用遷移，目標(biāo)檢測

（1）（鹽城·中考）下列式子中，分式有______.

① a2b- ab2;② ;

③ ;④ ;

⑤ -y;⑥ .

學(xué)生：④⑥.

（2）當(dāng)x=________時(shí)，分式 無意義.

學(xué)生：要使分式無意義，則分母為0，即x=1.

（3）（資陽·中考）當(dāng)x =______時(shí)，分式 有意義.

學(xué)生：要使分式有意義，則分母不為0，即x≠-1.

（4）（內(nèi)江·中考）當(dāng)x為何值時(shí)，分式 ?的值為0？

學(xué)生：要使分式的值為0，則滿足分式的分子為0且分母不為0，即x=2.

（全對的小組在金字塔前進(jìn)一格，最后對率先達(dá)到金字塔頂端的小組進(jìn)行獎勵(lì). ）

設(shè)計(jì)意圖 ?四道習(xí)題緊扣重點(diǎn)，判斷學(xué)生知識的遷移應(yīng)用，當(dāng)堂檢測學(xué)生的掌握情況，起到能夠認(rèn)識分式的反饋?zhàn)饔茫莆辗质綗o意義、有意義、值為0的三個(gè)條件.

5. 小結(jié)歸納，總結(jié)提升

一個(gè)概念：分式的概念.？搖

兩個(gè)應(yīng)用：列分式;求分式的值.

三個(gè)條件：

分式無意義的條件：B=0;分式有意義的條件：B≠0;分式值為0的條件：A=0且B≠0.

數(shù)學(xué)思想：類比思想.

設(shè)計(jì)意圖 ?通過回顧與反思，讓學(xué)生優(yōu)化概念，內(nèi)化知識.

教學(xué)反思

（1）通過和學(xué)生實(shí)際生活相關(guān)的跑步問題入手，列出分?jǐn)?shù)和分式，學(xué)生通過類比來自主探究分式的概念.

（2）整個(gè)教學(xué)過程讓學(xué)生自己動手探究，從賦予字母的值，能夠求出分式的值，從而得到分式無意義、有意義、值為0的條件，再更好更快地掌握這些知識點(diǎn)，同時(shí)也培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用類比的數(shù)學(xué)思想解決問題的能力. 在教學(xué)過程中，注重?cái)?shù)學(xué)思想的歸納與總結(jié).

（3）例題與練習(xí)的選用緊扣本節(jié)課重難點(diǎn)，環(huán)環(huán)相扣，學(xué)生在練習(xí)的過程中，能夠自己歸納，掌握方法.

（4）在本堂課的教學(xué)過程中，采用小組金字塔比賽法，每個(gè)教學(xué)過程中，都以小組為單位，回答正確，小組前進(jìn)一步.最后，走到金字塔頂端的小組獲勝，這樣的設(shè)計(jì)能夠充分調(diào)動學(xué)生的積極性，并且取得了不錯(cuò)的效果.

總體評價(jià)

（1）引入巧妙、貼近生活. 利用學(xué)生自己的100 m跑步成績?yōu)樵掝}作為課堂的切入點(diǎn)，通過交流、討論等形式呈現(xiàn)結(jié)果，讓學(xué)生及時(shí)并積極地發(fā)現(xiàn)這些式子形式上的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)來以此引入新課，從而大大地激發(fā)了學(xué)生的興趣和求知欲.

（2）數(shù)學(xué)思想方法滲透和使用到位. 類比是一種方法，也是一種思想. 何老師通過類比分?jǐn)?shù)定義的方式，讓學(xué)生在已有的分?jǐn)?shù)認(rèn)識的基礎(chǔ)上去認(rèn)識分式，從中去感受類比思想的益處;整堂課設(shè)計(jì)始終遵循從具體到抽象，從特殊到一般的認(rèn)識規(guī)律，輕松高效地完成了教學(xué)任務(wù). 我們都知道，正確認(rèn)識分式的基本概念是學(xué)習(xí)分式的基本運(yùn)算、分式方程的基礎(chǔ)，因此從基礎(chǔ)的夯實(shí)和方法的滲透上來講，何老師均有充分的準(zhǔn)備.

（3）教學(xué)環(huán)節(jié)完整流暢、層次分明、過渡自然.？搖整堂課在設(shè)計(jì)上一環(huán)緊跟一環(huán)，環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn). 特別是：通過學(xué)生自己重組分式的設(shè)計(jì)及之后進(jìn)行的一系列的延展例題探究學(xué)習(xí)，讓學(xué)生從練習(xí)中發(fā)現(xiàn)知識，并應(yīng)用知識解決問題;讓學(xué)生充分體驗(yàn)到成功的喜悅，使每個(gè)層次的學(xué)生都能得到不同的發(fā)展.

（4）教學(xué)方式多樣化，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.在課堂上積極嘗試使用觀察發(fā)現(xiàn)、小組合作討論、同桌互相幫助等方式方法進(jìn)行教學(xué)，充分信任學(xué)生，最大化地發(fā)揮學(xué)生的主體能動性，讓學(xué)生在平等的交流中充分展示自己的自信與潛能. 教師在整個(gè)過程中只是扮演了學(xué)生學(xué)習(xí)和探究的啟發(fā)者、合作者、促進(jìn)者. 真正意義的小組合作學(xué)習(xí)，充分賦予了課堂強(qiáng)烈的生命力. 讓學(xué)生感悟到自己是學(xué)習(xí)的主人，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)動力，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

（5）精準(zhǔn)選題，學(xué)以致用. 設(shè)計(jì)的練習(xí)和例題不僅選題典型，由淺入深，層層推進(jìn)，能照顧不同層次的學(xué)生，而且結(jié)合中考試題，讓學(xué)生明確本節(jié)課所學(xué)知識在中考的考法.

教學(xué)建議

（1）應(yīng)注重知識體系的構(gòu)建. “認(rèn)識分式”作為章頭節(jié)，教材以列舉生產(chǎn)和生活過程實(shí)際問題出現(xiàn)了形如 ， ， ， 等代數(shù)式引入，教師還可以啟發(fā)學(xué)生：前面學(xué)習(xí)了整式的概念及加減乘除等運(yùn)算，整式的除法也可能會產(chǎn)生分式，從而引入學(xué)習(xí)分式的意義.

（2）應(yīng)注重課堂生成. ①教師在引入環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生觀察得到的式子在形式上有什么相同點(diǎn)時(shí)，學(xué)生很快說出它們都是分式時(shí)，教師的回答是：“?。∧氵@么快就給出分式的定義了？”此時(shí)，教師不僅要肯定學(xué)生的答案的正確性，而且要肯定這位同學(xué)提前預(yù)習(xí)的好習(xí)慣，并且順勢追問：“那你能給同學(xué)們分享一下，你是怎么理解分式的？”

②練習(xí)環(huán)節(jié)中：（內(nèi)江·中考）當(dāng)x為何值時(shí)，分式 ?的值為0？此題學(xué)生的難點(diǎn)是，分類討論x=2或者x=-2時(shí)，驗(yàn)證分母不等于0這一條件;對于學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤，應(yīng)先在小組內(nèi)討論分析，最后學(xué)生在全班分析匯報(bào)，教師最后總結(jié)強(qiáng)調(diào).

（3）注重學(xué)生思維過程的訓(xùn)練.對于例2，教師不應(yīng)該僅讓學(xué)生口述答案，應(yīng)著重讓學(xué)生分析每個(gè)式子的特征，并區(qū)別小題“（2）（3）（4）”的不同之處，然后教師再歸納重點(diǎn).