模型解讀，視角拓展，實例探討

袁媛

[摘 ?要] 數學模型可用于命制綜合問題，對基本模型加以拓展研究可以構建類型問題的求解思路，提升解題效率. “等腰直角—內嵌直角”模型是常見的幾何模型，從不同的視角拓展該模型，可以形成不同的問題類型，文章對該模型加以解讀，結合實例拓展探究，提出相應的教學建議.

[關鍵詞] 等腰直角三角形;模型;拓展

等腰直角三角形是一種十分特殊的三角形，不僅含有等腰三角形的性質，同時具有直角三角形的特性. 單從圖形本身來看，其圖形結構較為簡單，但若在此基礎上適度添加線段，則可以構建新的幾何模型，其模型所具有的性質、結論有一定的研究價值，同時以其為基礎構建的考題具有極強的拓展性，下面對其中的一種等腰直角模型加以解讀探討.

等腰直角三角形模型

等腰直角三角形中含有兩條等長的直角邊，同時兩個底角均為45°，兼具等腰和直角雙重特性. 分析考題命制思路，存在如下一種以等腰直角三角形為基礎的復合圖形——“等腰直角—內嵌直角”模型.

如圖1所示，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點O是底邊BC上的一點，過點O作MO⊥NO，與AB交于點M，與AC交于點N.

則上述所構圖形就是“等腰直角—內嵌直角”模型，在該模型中△ABC為等腰直角三角形，而△MON為其內嵌直角三角形，同時將圖形分為多個直角三角形. 提取復合圖形的性質特征，可以得到如下信息：

包含五個三角形：△ABC，△MON，△AMN，△MBO，△NOC;

直角三角形：△ABC，△AMN和△MON;

等長線段：AB=AC;

特殊互補角：∠AMN+∠NMO+∠BMO=180°，∠MOB+∠MON+∠NOC=180°，∠ANM+∠MNO+∠ONC=180°.

上述是從該復合模型中提取的基本信息，實際上該模型具有一定的拓展性，適度添加條件則可以獲得一些特殊的結論. 例如使MN與底邊平行，則可以獲得多組相似三角形，再若令點M和N分別為所在線段上的中點，則可以進一步獲得對應的相似比，以及線段關系. 因此十分有必要對該模型進行解讀探究.

基于模型多視角拓展

“等腰直角—內嵌直角”作為一種特殊的復合模型，極具拓展性，以其為基礎可以衍生出多種類型問題，也是中考常見的問題類型，下面舉例探究.

拓展視角一——幾何角度關系

分析角度關系是中學幾何常見的問題類型，針對該模型同樣可以從內角關聯入手進行問題拓展，除了可以直接設定等角關系外，還可以從其中的點入手，將其設定為中點，則綜合等腰直角三角形的特性可以獲得多組等角關系.

例1 ?如圖2所示△ABC為等腰直角三角形，其中∠A=90°，AB=AC，AD為底邊BC上的高，以點D為端點任意作兩條垂直的射線，與△ABC的兩條腰分別相交于點E和F，連接EF，與AD的交點設為點G，試分析∠AED與∠AGF的大小關系.

解析 ?本題目以模型為基礎進行問題拓展，其添加條件為“AD為底邊BC上的高”，由等腰三角形的“三線合一”性質可知，AD既是底邊上的高，也是頂角∠BAC的角平分線、底邊BC的中線. 分析兩角關系需要結合該特性，初步判斷兩角相等，論證有兩個角度：一是依托三角形性質進行等角轉化，二是借助全等或相似三角形的性質來直接提取.

由DE⊥DF，AD⊥BC可證∠ADE=∠CDF. 在△AED與△CFD中，有∠ADE=∠CDF，AD=CD，∠EAD=∠C，可證△AED？艿△CFD，則DE=DF，可推知∠FED=45°. ∠AED=∠AEF+∠FED=45°+∠AEF，∠AGF=∠BAD+∠AEF=45°+∠AEF，所以∠AED=∠AGF.

拓展視角二——線段最值探索

線段最值也是中學幾何需要關注的重點問題，基于該模型同樣可以拓展出線段最值，模型中的內嵌直角三角形沒有具體設定兩個非直角頂點的位置，因此兩頂點之間的距離是可變的，此時就可以基于問題條件來探索其線段最值.

例2 ?如圖3所示，△ABC中∠A=90°，AB=AC=2，點D是BC的中點，現以點D為端點引入兩條射線，分別與AB、AC相交于點E和F，若∠EDF=90°，試求線段EF的最小值.

解析 ?分析模型中線段EF的最小值，連接AD，則AD為頂角∠A的角平分線，分別過點D作DG⊥AB于點G，DH⊥AC于點H，如圖3所示. 由角平分線到角兩邊的距離相等可得DG=DH，結合∠EDG=∠FDH可證△EDG≌△FDH，從而有DE=DF，則△DEF為等腰直角三角形.

進一步分析可知DG和DH均為△ABC的中位線，有DG=DH=1. 其中EF= ED，顯然EF的長度直接由ED的長度決定，根據垂線段最短原理可知，當DE與DG相重合時DE的長度最小，則EF取得最小值，此時EF= ED= ，即線段EF的最小值為 .

拓展視角三——求多邊形面積

分析上述復合模型，可知圖中含有兩類幾何圖形：三角形和四邊形，且利用不同的三角形可以組合出不同特征的四邊形. 結合中考試題常考的面積割補法可知根據該模型可以拓展出不規則四邊形的面積問題.

例3 ?如圖4所示，△ABC為等腰直角三角形，其中∠A=90°，AB=AC，已知點D是底邊BC上的中點，作DE⊥DF，與AB和AC分別相交于點E和F，若BC=4，試求四邊形AEDF的面積.

解析 ?本題目以該模型為基礎求解不規則四邊形的面積，最為有效的方法是采用面積割補的方法，將其轉化為規則三角形的組合，進而利用三角形的面積公式來間接求解.

連接AD，如圖4所示，則S =S +S ，點D為BC的中點，則AD就是∠BAC的角平分線，根據條件可知△ADE？艿△CDF，則S =S ，故S =S +S =S ，即四邊形的面積與等腰直角三角形ADC的面積相等，則S = S = ×AD×CD=2，即四邊形AEDF的面積為2.

上述是關于“等腰直角—內嵌直角”模型的三種拓展視角的探究，形成了角關系分析、最值分析、面積求解、形狀判斷四類問題. 從其思路構建的過程來看，三角形的性質定理、判定定理、“三線合一”定理是核心知識，等角轉化、模型構建是常用的解題策略. 問題求解應從模型的基本特征出發，提取全等圖形，利用全等性質來轉化、簡化問題.

關于模型問題的建議

本文所探討的模型是初中幾何重要的問題模型，基于模型形成的問題也是中學階段需要學生重點掌握的類型題，下面基于模型問題提出幾點教學建議.

1. 重視幾何模型研究

上述基于幾何模型進行了三大問題拓展，形成了較為系統的解題思路，對于后續復合問題的求解有著一定的幫助. 實則很多中考試題就是基于教材中的幾何模型而構建的，若能合理地對原始模型加以拓展探究，則可以使學生充分把握類型問題的本質，掌握問題突破的方法和技巧，同時對模型的遷移思路和變式方法也有助于提升學生的思維. 因此在實際教學中需要教師重視研究教材的幾何模型，挖掘原始模型的教學價值，實現教材知識與考題的鏈接，提升學生解題的靈活性.

2. 加強數學建模教學

復合模型是多個基本圖形的綜合，故模型具有基本圖形的性質特征，因此研究幾何模型應立足基礎圖形，關注圖形的基本性質和研究方法. 以上述復合模型為例，其中涉及常見的等腰三角形和直角三角形，其性質定理和判定方法是復合模型問題求解的基礎. 因此教師應加強數學建模教學，以基本圖形為依托，引導學生掌握探究圖形的方法，逐步提升學生的模型思維，積累數學建模經驗.

3. 強化幾何推理教學

模型問題的求解過程就是幾何推理過程，在該過程中需要學生調用幾何知識和分析方法來轉化問題，構建思路，學生的推理能力將直接決定解題效率. 因此，在幾何教學中需要教師引導學生分析條件與結論之間的關聯，使學生掌握幾何探究的方法，提升學生的推理能力. 具體教學時可以采用變式拓展的方法，通過對問題的結構重組和條件變化來引導學生做出猜想，推理論證，激發學生的探索興趣，提升學生思維的邏輯性和嚴密性.