關于圓內比例線段問題的探究與思考

郭芝萍

[摘 ?要] 圓內的比例線段是平面幾何的重點問題，該問題涉及線段關系提煉、代換等內容，問題解析時需要綜合應用幾何定理來構建解題思路，由于圖形結構較為復雜，因此構建方式較為多樣，文章將深入探究圓內比例線段問題的常用策略，并深入思考教學建議，與讀者交流.

[關鍵詞] 圓;比例線段;三角形相似;代換;等比

問題綜述

圓是中學階段需要掌握的基本圖形，依托圓構建的幾何問題眾多，圓內的比例線段問題是其中的典型代表，具有很強的綜合性，涉及圓的性質、線段關系、幾何轉化等內容，因此可以全面考查學生的基本知識和解題思維. 以圓為背景構建的線段比值問題，解題的難點主要有兩個：一是如何合理利用圓的性質來進行解題切入，二是如何利用幾何定理來完成線段問題轉化. 因此，開展考題探究需要深入挖掘圓內特性、把握線段特點，充分利用平面幾何的性質定理來完成問題轉化和思路構建.

策略探究

圓內的比例線段問題的題型特點多樣，所證線段之間的性質關聯也多變，對于不同的題型需要采用不同的方法策略，常用的方法有基本定理法、等線代換法、等比轉化法和等積轉化法等. 上述方法均是基于一定的性質定理和數學思想所構建的，適用于不同的題型，下面對其進行深入探究.

1. 策略一：用定理，相似轉化

從比例線段的形式來看，比例線段與相似三角形對應邊成比例的性質之間有著極大的關聯，因此可以利用三角形相似的性質來完成比例線段的證明. 實際解題時需充分把握圓的特性，化“積”為“比”，結合比例形式來探索相似三角形.

例1 ?如圖1所示，四邊形ABCD是圓的內接四邊形，已知DP∥CA交BA的延長線于點P，試證明AD·DC=PA·CB.

分析 ?對于比例線段問題，首先嘗試化“積”為“比”，利用相似三角形性質來證明，即可將比例線段轉化為 = ，顯然只需要證明△ADP和△CBD相似，探索出兩組等角即可.

證明 ?連接DB，由DP∥CA可得∠1=∠2=∠3，因為四邊形ABCD是圓的內接四邊形，所以∠PAD=∠BCD. 所以有△ADP∽△CBD. 由三角形的相似性質可得 = ，即AD·DC=PA·CB，證畢.

評析：求證比例線段問題最為基礎的方法就是利用三角形相似或者圓冪定理，上述在求證時進行的化“積”為“比”為后續的相似三角形探究提供了參考. 學習相似三角形性質，不應僅關注其性質本身，還需要透過比例形式挖掘其中的乘積關系，提升對性質的理解.

2. 策略二：找關系，等線代換

對于位于不同三角形中的線段比例問題，由于三角形不存在相似關系，故無法直接應用相似性質來轉化出比例線段關系. 此時可以采用等線段代換法，即結合條件提煉相關等長線段，從而實現等長代換，然后借助三角形相似性質來完成解題.

例2 ?△ABC為直角三角形，且∠ACB=90°，現以BC的中點為圓心，以BC長為直徑畫圓，與AB相交于點D，設AC的中點為E，連接DE和CD，再連接OE，與CD的交點為點F，試回答下列問題.

（1）試判斷直線DE與⊙O的位置關系，并說明理由;

（2）試證明2DE2=AB·EF.

分析 ?（1）DE是⊙O的切線，過程略;（2）證明2DE2=AB·EF，可將其化為比例形式 = ，證明比例線段成立需要借助三角形相似性質，故需要對上式進行等線段轉化. BC為⊙O的直徑，則∠ADC=90°，點E為斜邊AC的中點，故AC=2DE，進而可將問題轉化為證明 = ，顯然上式屬于△DEF和△BAC相似的性質，后續只需要結合條件證明兩三角形相似即可.

證明 ?根據條件可推知∠DFE=∠ACB=90°，∠DEO=∠CAB，從而可證△DEF與△BAC相似，由相似性質可得 = . 根據（1）問知DE是⊙O的切線，可知△ADC為直角三角形，點E為斜邊AC上的切線，故AC=2EC=2DE，所以有 = ，即2DE2=AB·EF，證畢.

評析：上述是涉及倍數關系的線段比例問題，該類問題突破的關鍵是通過等線段代換來消去其中的倍數，后續只需探尋其中的相似三角形即可. 等線代換的方式有很多，可以借助平分點，也可以由三角形全等以及題干中的線長關系來完成.

3. 策略三：建聯系，等積推導

處理比例線段一般有兩種思路：一是“化等積為等比”，二是直接進行等積推導. 如不能直接由相似三角形的性質得出，則可以采用等積互推的方式，即將其視為是線段乘積問題，然后通過等積推導來完成證明. 等積互推可通過構建多組相似三角形進行，也可以直接借助圓內的特殊定理及結論，如相交弦定理、割線定理、切割線定理等，以提升解題效率.

例3 ?如圖3所示，⊙O與⊙C相交于A，B兩點，其中PQ是⊙O的切線，切點為點P，切線PQ與⊙C相交于點Q和M. 現延長AB與PQ的交點為點N，試求證NP2=NM·NQ.

分析 ?本題目以兩圓為背景建立了相關線段，求證線段比例關系. 首先需要分析圖形特征，點N是⊙O外的一點，而NP和NA分別為⊙O的切線和割線，顯然滿足切割線定理使用的條件，可使用該定理提煉條件. 而AN和QN又可視為是⊙C外一點N引出的兩條相交割線，因此滿足割線定理使用的條件，同樣可以由定理得出相等比例關系. 后續綜合應用上述定理提煉的線段關系即可完成線段比例式的證明.

證明 ?在⊙O中使用切割線定理，可得NP2=NB·NA，而在⊙C中使用割線定理可得NB·NA=NM·NQ. 綜合上述兩式，可得NP2=NM·NQ，證畢.

評析：上述求證比例線段問題時綜合運用了割線定理和切割線定理，實際上上述兩定理是基于三角形相似性質對特定圓內比例線段問題的結論總結. 因此在學習探究時需要深入剖析定理構建的過程，探究定理的適用模型，掌握圖形提取的方法技巧.

4. 策略四：構關聯，等比代換

對于特定情形的比例線段問題也可以采用等比代換的方法，即首先將所證式子轉化為線段比例式的形式，然后結合圖形條件通過等比代換將其證明.

例4 ?已知PA是⊙O的切線，切點為A，割線PBC與⊙O相交于點B和C，AD⊥PC于點D. 現分別過點B和C作切線PA的垂線，垂足分別為點M和點N，如圖4所示，試證明AD2=BM·CN.

分析 ?根據題干中的條件可確定△PAD、△PBM和△PCN均為直角三角形，而AD，BM和CN均為上述直角三角形的邊，因此可根據上述三角形之間的相似關系來得出關于線段的比，后續通過等比代換來完成證明.

證明 ?由∠PMB=∠PDA=90°，∠P=∠P 可證△PAD∽△PBM，所以有 = ，同樣可證△PCN∽△PAD，由三角形相似性質可得 = ，而由切割線定理可得 = ，等比代換可得 = ，即AD2=BM·CN，證畢.

評析：上述過程在求證比例線段時采用的是等比代換的思路，即根據三角形相似性質和圓內的相關結論來構建等比關系，然后通過等比互推來完成證明. 幾何性質定理是等比代換的基礎，因此在學習時需要深入了解與圓、三角形相關的性質定理，總結等比推導的方法策略.

總結思考

圓內的比例線段問題是學生需要重點掌握的問題類型，從考查內容來看綜合了圓、三角形等幾何圖形，涉及相切、平行、分割等幾何關系，上述思路構建的過程也是從知識綜合的角度進行，具有一定的參考價值，下面提出幾點教學建議.

1. 關注問題的核心內容

比例線段的問題形式一般以幾何線段長為基礎，以求證線段乘積或比值關系為主要形式，其核心內容是根據圖形特征，調用性質定理來構建線段之間的關系，其中三角形相似性質和圓內的性質結論是解題突破的核心內容. 因此在實際教學中需要教師引導學生關注問題的核心內容，把握問題突破的關鍵所在.

2. 關注突破的數學基礎

從上述考題的突破過程來看，解題的根本目的就是利用數學定理來提煉圖形中的線段關系，通過恒等代換的方式來構建線段的比例形式，在該過程中需要掌握兩點內容：一是基本的數學定理，二是代換的基本方法. 上述兩點同時也是數學教學的基礎內容，具有極高的教學價值，在實際教學中教師可以立足三角形和圓的基本性質，總結線段關系的構建方法，結合數式變形來完成知識整合，使學生掌握解題的方法技巧.

3. 關注解析的思想方法

比例線段問題的突破策略有很多，上述探究了相似轉化、等線代換、等積推導和等比代換的解析過程，實際上其中滲透著眾多的數學思想，例如數形結合思想、化歸轉化思想等. 解題時正是在數學思想的指導下完成了思路構建，而數學思想是考題教學的核心，因此開展考題教學不應局限于考題突破的方法本身，還應深入到解題的數學思想，以提升學生思想、發展學生思維作為教學的核心任務.