解讀幾何探究，探討解析思考

李茂輝

[摘 ?要] 近幾年出現了眾多以知識探究為背景的幾何探究題，該類考題以問題探究為基礎，引導學生總結問題特征、解題方法，以知識應用作為最終目的. 考慮到問題的解析思路較為特殊，需要學生充分利用基礎知識，通過類比聯想等方式來探究解題，因此十分有必要總結問題的解析策略，文章以一道幾何探究題為例開展解法探究、教學反思.

[關鍵詞] 探究題;幾何;模型;全等;方程;分類討論;數學思想

探究型問題是中考重要的新型問題，問題常圍繞探究性內容的目標特征來開展探究活動，其中所探究內容的目標特征具有多個要素，主要包括條件性、解題原理及方法、結論等. 在后續的問題探究時需要依托目標特征的要素進行，因此對學生的觀察解析、綜合思考、歸納概括和推理判斷能力有著較高的要求.

以幾何探究題為例，在解析問題時需要提煉問題條件的文字信息和圖像信息，提取幾何模型，總結方法結論，然后結合問題情形加以應用突破. 實則解題的過程也是探究學習的過程，有助于培養學生的發散思維和創新解題能力，這也是命題人的最終目的所在.

幾何探究題探討

幾何探究題的類型較為眾多，有操作設計、規律探索、材料閱讀、應用推理等多種類型，但從其探究過程來看，無非就是從幾何內容中提取特征、總結規律、形成方法、應用解題，通過聯想思考、啟發思維來完成關聯問題的拓展探究. 因此在解析問題時需要思考兩個問題：一是探究目標內容可以得到哪些啟示？二是后續的拓展問題與目標內容有哪些關聯？下面結合一道幾何探究題來探討解析策略.

1. 呈現問題

模型建立：如圖1所示，△ABC為等腰直角三角形，其中∠ACB=90°，CB=CA，直線ED經過點C，分別過點A和B作ED的垂線，垂足分別為點D和E，試求證△BEC？艿△CDA.

模型應用：

（1）直線l1的解析式為y=- x-4，與坐標的y軸相交于點A，現將直線l1繞著點A逆時針旋轉45°，得到直線l2，如圖2所示，試求直線l2的解析式;

（2）如圖3所示，四邊形ABCO為矩形，點O為坐標的原點，點B坐標（8，-6），點A和C分別位于坐標的y軸和x軸上. 點P為線段BC上的一個動點，設PC=m，點D在直線y=-2x+6上，且位于坐標的第四象限. 若△APD是不以點A為直角頂點的等腰直角三角形，試求點D的坐標.

2. 策略探索

從問題設置來看，上述問題屬于幾何模型探究題，其目標內容為幾何模型，因此需要對模型的結構和解析方法加以總結歸納，用于第二部分“模型應用”.

對圖1的模型加以解讀，可知其中存在三個直角三角形，△BEC和△ACD的底邊共線，且共用一個頂點C，從而形成了新的直角——∠ACB. 分析可知該模型就是幾何中常見的“K”型圖，通過等角代換即可獲得求證兩三角形全等的條件. 具體如下：由∠ACD+∠BCE=90°∠ACD+∠CAD=90° 可知∠BCE=∠CAD，從而在△CBE和△ACD中有∠D=∠E=90°∠BCE=∠CADCA=CB（AAS），所以△BEC？艿△CDA，得證.

完成問題模型的求解后，需要對其模型加以提煉，總結相應的解析方法. “K”型圖的結構為“共線對頂角，頂角夾直角”，即圖中兩個直角三角形存在共線直角邊，且共用一個頂點，而共頂點所夾角為另一直角三角形的直角. 從而在解析時聯合頂角三角形的一組相等邊即可求證兩三角形全等. 因此“模型應用”階段可以聯想上述模型作輔助線，利用其解析思路求解問題，具體如下.

對于第（1）問，求解直線l2的解析式，可設為y=kx+b，則只需要求得其上的兩個點即可，由直線l1的解析式可求得點A的坐標，只需求出直線l2上的另一點即可. 由圖可知其中已經存在一直角三角形AOB，可以聯想上述所使用的“K”型圖模型來添加輔助線. 令點B為兩直角三角形的對頂點，則過點B作BC⊥AB，與坐標x軸交于點B，與直線l2交于點C，然后過點C作x軸的垂線，垂足為點D，如圖4所示. 從而可構建“K”型圖，后續按照上述模型的轉化思路即可獲得共線對頂三角形相似或全等，具體如下.

根據旋轉特性可知∠BAC=45°，則△ABC為等腰直角三角形，BC=AB，根據上述模型的解析思路可證△CBD≌△BAO. 由全等特性可得BD=AO，CD=OB，根據直線l1的解析式可知點A（0，-4），B（-3，0），則BD=AO=4，CD=OB=3，OD=BD+OB=7，所以點C的坐標為（-7，-3），將點A和點C的坐標分別代入解析式y=kx+b中，可得-3=-7k+b，-4=b，可解得k= - ，b=-4，所以直線l2的解析式為y= - x-4.

對于第（2）問，需要求解△APD是不以點A為直角頂點的等腰三角形時點D的坐標，顯然需要討論點P和點D分別為直角頂點時的情形，其中點D為直角頂點時又分為位于矩形內和矩形外兩種情形，故共有三種情形需要討論.

①當點D為直角頂點，且位于矩形ABCO的內部時，過點D作AB的平行線，與y軸交于點E，與BC交于點F，如圖5所示. 顯然可以構建“K”型圖——△AED-△PFD，根據模型的解析思路可證△ADE？艿△DPF，則有AE=DF. 設點D（x，-2x+6），則OE=2x-6，AE=12-2x，DF=8-x，所以有12-2x=8-x，解得x=4，所以點D（4，-2）.

②當點D為直角頂點，且位于矩形ABCO的外部時，采用同樣的方式作輔助線，如圖6所示. 構建“K”型圖——△AED-△PFD，同理可證△ADE？艿△DPF，則有AE=DF. 設點D（x，-2x+6），則OE=2x-6，AE=2x-12，DF=8-x，所以有2x-12=8-x，解得x= ，分析可知同樣符合題意，所以點D ，- .

③當以點P為直角頂點時，按照同樣的方式添加輔助線，如圖7所示，設點P的坐標為（8，-m），推理可得點D（14-m，-m-8），從而有-m-8=-2（14-m）+6，解得m= ，所以點D ，- .

綜上可知，滿足條件點D的坐標有三個，分別為（4，-2）、 ，- 和 ，- .

上述是中考典型的幾何探究題，其特殊之處在于使用了常見的幾何“K”型圖，能夠全面考查學生模型提煉和拓展應用能力. 其中采用了分類討論和數形結合的數學方法，實現了幾何直觀與代數運算的融合. 整個過程思路清晰，過程簡潔，充分把握圖形特點和模型解析策略，是幾何探究題的突破典例.

探究解析的思考

幾何探究題具有知識綜合、結構復雜、邏輯關聯等特點，上述在探究時全面貫徹“模型提煉—聯想拓展”的思路. 基于問題模型添加輔助線，利用模型的解析策略來構建思路，其探究過程具有一定的學習價值. 而在實際教學中依然需要教師引導學生立足教材基礎，以總結方法、提升能力為根本，促進學生的思想發展，下面提出三點教學建議.

1. 立足教材內容，強化鞏固基礎

幾何探究題屬于綜合性較強的問題，其中涉及眾多的知識內容，以上述考題為例，包含了函數、幾何圖形、相似全等、幾何旋轉、代數方程等知識. 正是這些基礎知識的有效融合完成了綜合題的構建，解析過程實則就是問題的拆解轉化過程，該過程中需要利用基礎知識和基本技能. 因此教學中需要教師立足教材內容，開展基礎知識強化與融合，使學生掌握一般問題的常用解法，形成較為完善的知識體系，為后續探究題的突破打下基礎.

2. 開展教學探討，掌握探究方法

幾何探究題的突破過程中需要經歷核心目標內容的特征提煉、方法模型總結、拓展應用探究三個階段. 三個階段之間存在著遞進關系，需要教師采用知識探究的教學方式，引導學生進行觀察解析、猜想思考、歸納概括和推理判斷等思維活動. 以上述問題為例，需要學生思考模型的特征結構、猜想構建思路、歸納方法策略，逐步將其上升到數學模型層面. 拓展探究是提升學生知識水平和數學能力的重要方式，教學中應引導學生思考、鼓勵學生發表見解，通過實踐活動來使學生掌握知識探究的方法.

3. 重視數學思想，提升解題思維

幾何探究題的突破過程中一般會涉及眾多的數學思想，例如上述幾何探究題解答時首先進行了模型提煉，求解問題時采用數形結合的方法來轉化問題，通過分類討論加以探討，最后構建代數方程求解. 其中包含了模型思想、數形結合思想、化歸轉化思想、分類討論思想、方程思想，這些思想也是幾何探究題常用的數學思想. 教學中需要結合相關的教材內容來合理滲透，使學生明晰數學思想的內涵，掌握數學思想構建解題思路的方法技巧. 思想方法是蘊含在數學中的知識精華，也是素質教學的重要內容，依托探究考題開展思想滲透，不僅可以使學生掌握探究題的解析思路，還可以提升學生的解題思維.