對一道幾何綜合題的突破與探討

朱莉

[摘 ?要] 幾何與函數是初中數學的重點內容，而在實際考查時常從知識綜合的角度命題，幾何綜合中函數解析式的求解是較為經典的問題，該類題的突破不僅需要具備相應的基礎知識，還需要掌握一定的構建策略. 文章對一道幾何綜合題開展解法探究，并深入探討幾何中函數解析式的構建策略，與讀者交流學習.

[關鍵詞] 幾何;綜合;函數;解析式;三角形相似;勾股定理

對一道幾何綜合題的思路突破

問題 ?一直角三角形紙板ABO放置在平面直角坐標系中，三頂點坐標分別為A（ ，0），B（0，1），C（0，0）. 點M是邊OA上不與點O和A相重合的一個動點，過點M作AB的垂線，垂足為點N，沿著MN折疊紙板，頂點A的對應點為點A′，設OM=m，折疊后△AMN與四邊形OMNB重疊部分的面積為S.

（1）如圖1所示，若點A′與三角形紙板的頂點B重合，試求此時點M的坐標;

（2）如圖2所示，若點A′落在坐標系的第二象限，A′M與y軸的交點為C，試求S與m的函數關系式.

解析 ?本題為一次函數與幾何相結合的綜合題，以折疊為背景研究相應的幾何問題，聯立函數性質與幾何知識即可求解.

（1）該問設定點A折疊后的重合點為B，分析可知點A關于折痕MN的對稱點為點B，點M位于x軸上，因此求點M的坐標只需求線段OM的長即可，而OM屬于Rt△MOB的一邊，可以利用直角三角形的性質，具體如下.

根據三角形紙板的頂點坐標可知OA= ，OB=1，由OM=m可得AM= -m. 根據折疊性質可證△BMN≌△AMN，所以BM=AM= -m. 在Rt△MOB中使用勾股定理，則有BM2=OB2+OM2，代入可解得m= ，即OM=m= ，所以點M的坐標為 ，0.

（2）該問中點A′落在了第二象限，顯然問題（1）中的情形可提煉為臨界條件，即點A′落在坐標系的第二象限的限制條件為0

四邊形BCMN屬于Rt△ABO內的一部分，利用MC和MN來分割圖形，即S=S -S -S ，其中S = ·AO·BO= ，S = ·AN·MN，S = ·OM·CO. 而AN=AM·cos∠OAB= ?-m，CO=OM·tan∠A′MO= m，所以S = ?-m2，S = m2，則S=S -S -S =

評析 ?上述屬于以折疊為背景的幾何綜合題，題目的兩問均是基于折疊落點開展的幾何探究. 其中第（2）問求函數解析式是結合了直角坐標系的幾何綜合題，也是中考對該部分內容的重要考查方式. 上述在求解函數解析式時采用了面積構造的策略，即通過面積割補的方式將問題轉化為求規則圖形的面積，然后利用面積公式建立起線段變量與面積變量之間的關聯.

對函數解析式構造策略的探討

幾何綜合中求函數解析式的情形十分常見，能夠同時考查學生對幾何與函數知識的掌握情況，以及處理綜合題的能力. 上述在構建函數解析式時采用的是幾何面積構造策略，實際上求幾何圖形中函數解析式的方法是多種多樣的，還可以使用比例線段、勾股定理等方法策略，下面結合實例具體探討.

1. 構建策略一：應用“比例線段”

在幾何綜合題中應用“比例線段”建立函數解析式，通常依托的是相關的幾何性質或常用模型，例如相似三角形的對應線段比、三角比性質、A字形模型、8字形模型等. 在解析問題時首先根據題干條件來提煉特殊關系或特殊圖形，然后從中提煉比例線段，代入幾何量建立函數解析式.

例1 ?如圖3所示，△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，點O是邊AC上的一個動點. 現以點O為圓心作圓，與AB恰好有切點，且切點為D，與OC的交點為點E，再作EP⊥ED，與AB相交于點P，與CB的延長線交于點F，試回答下列問題.

（1）試求證△ADE∽△AEP;

（2）設OA的長為x，AP的長為y，試求y與x的函數解析式.

解析 ?（1）連接OD，可證∠ODE=∠OED，從而有∠EDA=∠PEA，結合∠A=∠A可證△ADE∽△AEP.

（2）該問求y與x的函數解析式，由于x與y均表示線段長，因此實際上就是求線段之間的關系，圖形中存在相似三角形，可以利用相似三角形來建立比例式，從而完成函數解析式的構建.

OD與BC相平行，分析可知△ABC∽△ADO，進而可得 = ，代入線段長可得OD= x，同理可得AD= x. 由（1）問的三角形相似的性質可得 = ，則 = ，即 xy= x2，可解得y= x（x>0），即y與x的函數解析式為y= x，其中x>0.

評析 ?上述幾何綜合題的第（2）問求兩線段之間的函數解析式，求解時利用幾何圖形中的“比例線段”完成了構建，即首先求證三角形相似，然后利用相似三角形對應邊的性質建立比例式，并結合題干條件確立了變量的取值范圍.

構建策略二：應用“勾股定理”

勾股定理可以充分表示直角三角形中三邊長的關系，實際上也可用勾股定理來構建幾何綜合中的函數解析式. 直角三角形的顯著特征是其中的一個內角為90°，而在幾何綜合中還可利用圓的切線、圓周角特性以及垂徑定理等來確立直角三角形.

例2 ?如圖4所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，AB=2. 點D是邊BC上的一個動點，現作AD的垂直平分線，與AB和AC分別相交于點E和F，而EF與AD的交點為點O，先回答下列問題.

（1）設BD=x，AE=y，試求y關于x的函數解析式.

（2）試分析是否存在x，使得四邊形AEDF為菱形？若存在，求出x的值;若不存在，請說明理由.

解析 ?（1）本題目中含有眾多的直角三角形，求兩個變量x與y的函數關系，可以將其集中到一個直角三角形中，利用直角三角形的勾股定理建立函數解析式.

由于EF是線段AD的中垂線，則AE=DE=y. 在Rt△BDE中，BD=x，BE=2-y，由勾股定理可得BD2+BE2=DE2，即x2+（2-y）2=y2，整理可得y= x2+1. 而在Rt△ABC中，∠BAC=30°，AB=2，則BC= ?，分析可知x的取值范圍為0

（2）略.

評析 ?上述考題求解幾何綜合題中兩條線段之間的函數關系，圖中的直角三角形是解題突破的基礎，其中的勾股定理廣泛應用于與線段相關的函數解析式構建，因此在解析該類型問題時需要關注其中的特殊圖形，提煉直角，構建模型.

對問題突破的教學思考

上述展示了幾何綜合中函數解析式的不同求法，實際上是對幾何與函數知識的綜合應用，在實際解析時需要積累相應的知識基礎，同時掌握不同題型的解題策略，下面提出幾點教學建議.

1. 剖析問題本質，積累知識基礎

幾何中函數解析式的求解屬于幾何與函數的綜合問題，從上述三道考題的突破過程來看，運用到了圖形提煉、模型構建和數式轉化，涉及幾何、函數兩大模塊的知識內容. 上述綜合題突破的基礎是掌握幾何性質和函數解析式等基本內容，因此，在實際教學中需要教師引導學生關注教材的基本內容，強化圖形分析、解析式構建等基本技巧，為后續求解綜合問題做鋪墊.

2. 學習數形結合，深入轉化問題

幾何圖形中求函數的解析式是中學數學的常見問題，該類問題的突破過程一般分為兩步：一是分析幾何圖形，構建相關模型;二是基于問題模型，求解函數解析式. 而數形結合有助于挖掘題目中的隱含條件，獲得解題突破口，實現幾何問題向代數轉化. 教師在教學中可以立足數形結合方法，引導學生體驗數形對照、數形轉化的解題過程，逐步掌握該方法的解題內涵.

3. 滲透數學思想，提升解題思維

幾何綜合題的突破過程是基礎知識和解題方法的融合，其解題思路是在眾多數學思想的指導下完成構建的. 以上述例1為例，通過數形分析提煉出其中的相似三角形，然后利用對應性質構建了比例模型，最后代入條件將問題轉化為函數解析式，其中用到了數形結合思想、模型思想和化歸轉化思想，這些數學思想是解法的精華所在，也是教學中需要重點講解的內容. 對于學生而言，數學思想較為抽象，教學中可以借助教材內容，例如在函數圖像教學中滲透數形結合思想，幾何教學中滲透模型思想，使學生感悟思想方法對解題的意義，逐步提升學生的解題思維.

寫在最后

對于幾何綜合中的函數解析式問題，需要根據問題條件和圖形特點來選取合理的構建策略，充分利用數形結合的分析方法，挖掘隱含條件，構建幾何關聯. 教學中需引導學生強化基礎知識，構建完善的知識體系，掌握相應的解題策略，逐步提升整體素養.