幾何折疊解讀，核心問題探討

白福清

[摘 ?要] 折疊是幾何研究的重點內容，以其為背景命制的考題形式也較為多變，可以充分考查學生動態分析、問題轉化、模型構建、知識綜合等能力. 文章對折疊問題進行剖析，結合實例探究其中的核心問題，總結解題策略.

[關鍵詞] 幾何;折疊;性質;線段;面積;探究

問題綜述

軸對稱是初中幾何的重要知識點，而以軸對稱為基礎進行知識考查的折疊問題在幾何中有著重要的地位. 有些問題的軸對稱特性隱藏較深，在解題時學生若不能充分挖掘，則容易陷入解題困境，難以獲得解題突破口. 幾何問題中，折疊問題具有代表性，常涉及角度分析、線段求值、面積解析、圖形探究等. 同時以折疊性質為基礎，綜合圓的性質、三角形全等與相似、勾股定理等內容進行考查.

在備考復習時除了需要扎實基礎，還需要把握幾個解題關鍵點：一是找準圖形折痕，確定圖形的對稱軸;二是明確折疊前后圖形的對應元素，提取等量關系;三是合理利用幾何折疊的關聯性質，利用勾股定理、三角形相似來構建方程求解. 圖形折疊問題可歸為計算型和討論型兩類，實際解題時可結合相應的數學思想，巧用數形結合，合理轉化簡解.

類題探討

幾何折疊問題的形式較為多樣，涉及眾多考點，下面舉例其中的三大核心問題，探討突破思路，總結解題策略.

類型一：折疊中的角度

折疊前后對應角相等，故折疊變換中存在相應的等角關系，考查圖形折疊中的角度是其問題之一. 求解時需要明晰折疊前后圖形的對應角，結合圖形內角、角相關定理，結合等角代換來推理計算.

例1 ?如圖1所示，△ABC為等腰三角形，已知AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分線AO與AB的中垂線相交于點O. 若點C沿著EF進行翻折剛好與點O相重合，則∠CEF的度數為______.

解析 ?本題目屬于幾何折疊中的角度計算題，除了涉及幾何折疊外，還包含了角平分線、中垂線等幾何知識，需要利用相應的幾何性質來推導角度大小.

連接OB，如圖2所示. 根據垂直平分的性質可知AO=BO，∠OAB=∠OBA，結合已知條件可得∠ABC=∠ACB=65°，由角平分線的性質可得∠BAO=∠CAO=25°，所以∠OBA=25°，∠OBC=40°. 推理可證△ABO≌△ACO，故BO=CO，∠OBC=∠OCB=40°. 根據折疊過程的軸對稱性質可知OE=CE，∠OEF=∠CEF，從而有∠ECO=∠EOC=40°，則∠OEC=100°，所以∠CEF=50°.

評析 ?本題目主要考查幾何折疊中角度的推導，在計算角度時用到了角平分線、線段中垂線、全等三角形的判定及性質等知識點. 折疊過程實則隱含著軸對稱的性質，充分利用該性質可打開問題突破口.

類型二：折疊中的線段

求解圖形折疊中的線段長度十分常見，也是折疊探究中的核心內容. 折疊前后的圖形為全等圖形，其中含有一些等長線段，因此分析時需要明晰折疊過程，合理利用幾何定理來構建線段關系，如勾股定理、三角形相似性質等.

例2 ?如圖3所示，在三角形紙片ABC中，有AB=40 cm，∠ACB=90°，∠A=30°，現將∠A進行折疊，使得點A落在AB邊上的點D處，設折痕為EF，若所得△CDE為直角三角形，則線段AF的長為______.

解析 ?本題目屬于常規的折疊問題，核心條件有兩個：一是折疊后點A落在點D處，二是所得△CDE為直角三角形，前者可以利用折疊性質來提煉條件，后者由于沒有明確具體的直角，顯然需要加以討論.

根據已知條件可推得BC=20 cm，由翻折特性可知AF=DF，∠A=∠EDF=30°，當∠EDC=90°時，如圖4所示，則∠CDB=60°. 又∠B=60°，所以△BCD為等邊三角形，BC=BD=20 cm，則AD=20 cm，從而有AF=10 cm.

當點B與點D重合時，∠C=90°，滿足要求，如圖5所示，此時△CDE為直角三角形，則點F為線段AB的中點，有AF= AB=20 cm.

綜上可知，滿足條件的AF長度有兩個，分別為10 cm和20 cm.

評析 ?上述題目分析圖形折疊背景下的線段長，由于沒有設定直角三角形的直角情形，因此結合條件進行了分類討論，這也是圖形折疊中常見的多解分析方法. 在進行多解分析時需要充分采用數形結合的策略，結合直觀的圖像來討論具體的問題情形，以軸對稱特性為突破口來構建思路.

類型三：折疊中的面積

折疊問題具有一定的綜合性，圖形折疊后會出現新的幾何圖形，而分析這些圖形的面積是常見的問題類型. 對于其中的規則圖形可以直接結合面積公式來探究條件，而不規則圖形則需要采用等面積轉化的策略來求解. 具體分析時要充分利用折疊特性，提取等長線段，巧用等面積關系.

例3 ?如圖6所示，四邊形ABCD為矩形，已知AB和BC的長分別為2和3，點M是BC邊上不與點B和C相重合的一個動點，設BM=x. 現將△ABM沿著AM進行折疊，使點B落在射線MP的點B′處，點E是邊CD上的一點，設CE=y，再將△CME沿著ME進行折疊，使得點C落在射線MP的點C′處. 試求當y取到最大值時△C′ME的面積.

解析 ?本題目分析圖形折疊中的幾何面積，問題的特點有兩個：一是進行了兩次折疊，二是涉及最值分析. 因此求解時需要結合折疊特性建立與x、y相關的函數，利用函數性質確定y的最大值，再構建△C′ME的面積模型.

根據條件可知∠B=∠C=90°，則∠AMB+∠BAM=90°，根據折疊特性可得∠AMB′=∠AMB，∠EMC′=∠EMC，可推得∠BAM=∠EMC，進而有△ABM與△MCE相似，根據相似性質可得 = ，即 = ，整理可得y=- x2+ x=- x- 2+ ，當x= 時，y可取得最大值 ，即BM= 時CE= ，而CM=BC-BM= . 分析可知此時△C′ME的面積與△CME的面積相等，則S =S = ·CM·CE= ，即y取最大值時，△C′ME的面積為 .

評析 ?上述求解圖形折疊中的幾何面積，其特殊之處在于需要首先構建線段函數求解最值，然后進行等面積轉化求解. 線段函數的構建方式有很多，常見的有利用勾股定理、三角形相似的線段比例性質. 需要注意折疊中的幾何全等也是幾何面積轉化的重要方式，在求解時要靈活運用.

總結思考

圖形折疊實則就是軸對稱變換，是圖形變換的一種方式，幾何折疊雖然是一種動態變化的過程，但可以用靜態的眼光來探索特性. 解題時需理解圖形折疊前后元素的對應關系，掌握折痕的垂直平分特性，充分根據折疊情形來構建解題思路.

在實際教學中提出以下幾點建議：一是充分展示折疊過程，使學生感知、體驗圖形折疊的動態變化過程，深刻理解其中的“不變”特性;二是關于折疊特性的幾何關聯，圖形折疊是幾何的重要研究內容，但其知識點并不獨立，而是與其他幾何定理緊密關聯，因此在實際探究時需要引導學生挖掘折疊內涵，結合圖形特性來構建知識體系;三是分類探究折疊問題，上述展示了圖形折疊中的三大核心問題，實際折疊問題考查形式是多變的，教學中需要挖掘問題特點，反思轉化方法，思考構建策略，總結解題經驗，提升學生的解題思維.