遵循波利亞“解題表”，深挖題目內在價值

麥少鳳

[摘 ?要] 教師如果認為“題目簡單”而不太重視課本習題，則易陷入“為做題而做題”的誤區. 課本中會有一些“小題目”，教師借助波利亞的“怎樣解題表”，可以幫助學生更快更有效地找到解決問題的切入點和難點的突破點，還可以讓自己更深入地挖掘題目本身的內在價值，讓“小題目”產生“大發現”的美妙變化，有利于師生的解題思維提升.

[關鍵詞] 波利亞“解題表”;內在價值;通性通法

問題緣起：一道課本習題

案例 ?如圖1，在正方形ABCD中，M是BC的中點，MN⊥MA，CN平分∠DCE，E為BC的延長線上一點. 求證：MA=MN.

上述案例是人教版教材八下的一道課本習題，這是很經典的一道習題，很多地方的中考題或期末考試題都喜歡以這道題為母版進行改編，而且經久不衰. 由此可見，這道題蘊含著豐富的內在價值，值得我們對它進行深度探究. 下文，我們將遵循波利亞“解題表”的四部曲，深挖該題的內在價值，并以此為契機，引導讀者觸類旁通、舉一反三.

眾所周知，學生解題時遇到的最大困難是，即使他們已掌握了扎實的基礎知識（數學的基本概念、公式、定理、方法）和基本技能，也可以運用它們去解決一些問題，但面對陌生的問題時，他們卻不知如何下手，宛如“老虎吃天，無從下口”. 近年來，廣州的中考題每年都會呈現好幾道這樣“宛如天降”的壓軸題，讓廣大考生束手無策，根本不知從何下手. 廣州中考數據顯示，分數段在130-150的考生占比：2017年為5.52%，2018年為2.13%. 因此，對于廣大廣州考生來說，中考數學拿高分是相當困難的事情. 造成壓軸題難以成功突破的原因雖然有很多，但最重要的可能是以下兩方面：一是缺少解題的基本思想方法，二是缺少指導自己理解題意的基本方法. 而波利亞的“解題表”，雖然沒有為我們提供一個萬能的解題方法，但卻可以引導我們更好地理解題意，更容易找到解題的思路，同時也可以引導我們更進一步地思考題目的內在意義，達到解一題，懂一類，甚至觸類旁通的效果.

波利亞的“怎樣解題表”是針對“怎樣解題”“怎樣學會解題”等問題，教師把“解題中典型、有用的智力活動”，按照學生解決問題時思維的自然過程分為四個階段，即弄清問題、擬定計劃、實現計劃、回顧，描繪出解題理論的一個總體輪廓，也組成了一個完整的解題系統.

解題策略

（一）弄清問題

（1）你要求證什么？

題目要求證的是MA=MN.

（2）你有哪些條件？包括外顯條件、內含條件或隱含條件？

一方面是題目給出的正方形ABCD中，M是BC的中點，MN⊥MA，CN平分∠DCE，另一方面是由這些已知條件可以直接推出的BM=CM，∠BAM=∠EMN，∠MCN=135°.

（二）擬定計劃

1. 題目類型識別

當我們著手解答一道習題的時候，第一件事就是要識別題目類型，這個過程也叫模式識別. 倘若識別了習題的類型，在多數情況下，我們就能得到解題的思路，因為有很多類型的習題都會有它們對應的解題法則或解題方法.

例如，若要證明線段相等，最常規的思路是通過證明這兩條邊所在的三角形全等;如果這兩條線段在同一個三角形，則可以借助等角對等邊證明兩腰相等;如果在直角三角形背景下，還可以借助三角函數，也可以通過勾股定理證明這兩條線段的長度相等. 這是證明線段相等的一般思路，當然，最常規、最基礎、最具一般性的方法，肯定是證明三角形全等了.

2. 輔助問題與形成計劃

有很多習題，盡管能夠識別出對應的類型，但通常不能直接套用在待解決的問題中，又或者是問題本身的類型并不容易被識別或根本是自身不熟悉或費解的，此時就需要設置“橋梁”，以完成從未知到已知的轉化，而這些所謂的“橋梁”就是指輔助問題了.

從題目圖形可知，AM所在的三角形是Rt△ABM，而MN所在的三角形是鈍角△MCN，這兩個三角形不可能全等.

輔助問題 ?那還能否通過證全等的方法證明結論？可以，但必須添加輔助線. 那應該怎樣添加？要么利用MN構造一個直角三角形與Rt△ABM全等，要么利用AM構造一個含135°的鈍角三角形與△MCN全等. 然而，方案一中的構造Rt△MFN，卻不夠條件證明Rt△MFN與 Rt△ABM全等（如圖2）.

形成計劃 ?改用方案二，在Rt△ABM的AB邊上通過截取BG=BM構造△AGM，再證明△AGM與△MCN全等（如圖3）. 而該方案的難點是怎樣才能想到在AB邊上通過截取BG=BM構造△AGM與△MCN全等，思考的依據是：由條件可知，∠BAM=∠EMN，∠MCN=135°，因此構造的新三角形必須含有135°角，而135°角會讓人聯想到45°角，而45°角就不難讓人聯想到等腰直角三角形，難點可由此進行突破.

（三）實現計劃

證法1：如圖3，在AB上截取BG=BM，

因為四邊形ABCD為正方形，點M為BC的中點，

所以BM=CM=BG=AG，∠BGM=BMG=45°.

又CN平分∠DCE，

所以∠NCE=45°，∠AGM=∠MCN=135°.

又MN⊥MA，

所以∠BAM+∠AMB=90°，∠CMN+∠AMB=90°，

所以∠BAM=∠CMN，

所以△AGM？艿△MCN（ASA），

所以MA=MN.

（四）回顧

1. 檢驗與拓展

正面檢驗每一步的推理是否有效，計算是否準確，確認無誤后，再思考除了上述方法外，還能否用別的方法證明這個結論？站在中考復習的維度上，要證明線段相等，在具備某些特定條件的前提下，本案例還可以借助三角函數或構建坐標系求解.

證法2：借助三角函數證明MA=MN. （初三適用）

如圖2，由于∠BAM=∠EMN，所以tan∠BAM=tan∠EMN，設NF=x，AB=2a（或AB=2也行），由 = = ，解得x=a，從而可證MA=MN.

證法3：通過構建直角坐標系，求出N點坐標.

如圖4，構建直角坐標系，設AB=2，N點坐標為（1+a，a），先求出線段AM的解析式，再由MN⊥MA，k ·k =-1，求出線段MN的解析式，將N點坐標代入，即可求出a的值，從而求出AM與MN的長度，進而得證.

2. 推廣與變式

“推廣”指將題目及其解法的本質推廣到類似的情境中;“變式”指保持題目或解法中的一些成分不變，改變某個或某些成分，產生不同類型的變式題.

變式：本案例中的M點是線段BC的中點，具有特殊性，倘若改變M點的位置，令點M為直線BC上任意一點，則題目的結論還會成立嗎？

分類討論：①當點M在線段BC上（對應圖5）;②當點M在線段BC的延長線上（對應圖6）;③當點M在線段BC的反向延長線上（對應圖7）. 經研究發現，改變點M的位置，變成上述三種情況時，題目的結論仍然成立，證明的思路與上文的證法1相同，但用證法2和證法3卻不可行. 由此可見，證法1才是通性通法，具有一般性，而證法2和證法3具有特殊性，在題目具備特殊條件時可行.

我們是否會得到更一般性的結論呢？

思考1：把題目中的“正方形ABCD”改為“等邊△ABC”，把“M是BC的中點”改為“點M為直線BC上異于B，C的任意一點”，點N是∠ACE的角平分線上一點，則當∠AMN=60°時，結論AM=MN是否還成立？

結論1：結論成立. 如圖7、圖8、圖9所示，證明思路與上述變式相同.

思考2：如果把原題目中的“正方形ABCD”改為“正n邊形ABCDE…”，當∠AMN= 時，結論AM=MN是否還成立？

結論2：結論仍然成立，只是要借助高中會學到的數學歸納法才能證明. 但作為初中生，教師可以引導學生去猜想和發現（無須證明）這個結論，也是非常有價值的. 另外，也可以把本題改成一道填空題，讓學生猜想當∠AMN=______°時，結論AM=MN仍然成立（無須證明）.

教學啟示

（一）啟示之一：“通式通法”顯價值

章建躍博士反復強調：一線數學教師一定要注重“通性通法”的教學，而所謂的“通性”就是指概念所反映的數學基本性質;“通法”則是指概念所蘊含的思想方法. 在教學中，注重數學的基礎知識、基本性質及其所蘊含的數學思想方法，才是追求數學教學的“長期利益”. 而在解題教學中，“通法”是指最常見、最基本的解題模式. 在本案例中，我們會發現通過作輔助線構造△AGM與△MCN全等是解決這道題的通法，具有一般性和普適性，最重要的是當改變題目條件時，這種方法同樣適用，而其他的很多方法已經不適用了，這就是大巧若拙的“通性通法”的價值所在了. 因此，在解題教學中，我們要使學生逐步養成從基本概念、基本原理及其聯系性出發思考和解決問題的習慣，追求解決問題的“通性通法”才是發展學生思維能力的正道.

（二）啟示之二：“借題發揮”助升華

“借題發揮”來解決問題，就是借助解決某個簡單的問題來解決更難或隱藏更深的問題，以彰顯這個問題的價值. 如果我們只滿足于原題目，就發現不了“當改變點M的位置”或“改變圖形背景”時，問題的結論仍然成立這個一般性的問題，因而也就更難發現原來這個問題還可以推廣到一個正多邊形中去這個更具一般性的命題，這樣這道題就失去了它本該有的內部價值了，這對于學生來說是非常大的損失. 因此，在解題的過程中，只要我們堅持把握問題的價值，堅持厘清問題本質，堅持運用變式問題的眼光，借發揮已解決過的習題的價值來解決更深入的問題，就一定會更有收獲.

（三）啟示之三：“回歸課本” 是正道

波利亞指出：“一個有責任心的教師與其窮于應付煩瑣的數學內容和過量的題目，還不如適當選擇某些有意義但又不太復雜的題目去幫助學生發掘題目的各個方面，在指導學生解 題的過程中，提高他們的才智與推理能力. ”本案例的題目來源于課本的習題，題目本身難度不算太大，但學生在沒有提示的前提下答題，情況并不理想. 這只是浩瀚題海中一道很普通的題目，但深挖后卻發現小題目蘊含大學問. 此外，我們的學生做了很多題目，可是一到真正的大考，我們所有的尖子生幾乎全部淪陷;更離譜的是，還有不少教師認為課本的題目太簡單，沒有可做性，教學全程居然都不使用課本……其實，從上述案例及其變式延伸中我們可以看出，學生的解題思維沒有培養起來不是因為課本的題目不夠好、不夠多，而恰好是因為我們普遍沒有重視課本，沒有認真對待教材，不愿意也不用心去幫助學生深挖課本習題的各個方面及其內在價值，只是純粹地為做題而做題. 因此，讓我們的教學回歸課本，重質減量，選好題講好題，注重思維培養，才是數學教學之正道也.