例析“數學史”在初中數學課堂教學中的實踐

周燚

[摘 ?要] 基于數學史內容常常被日常教學所忽視的現狀，文章結合教學實際，以“勾股定理”為例，從融入基本教學環節、優化教材史料、利用例題習題、重視閱讀材料的應用與開發四個方面具體說明數學史在課堂教學中的實踐策略.

[關鍵詞] 數學史;課堂教學;實踐策略

初中教材中數學史的內容常常由于教學時間有限、史料素材有限、教師素養有限等因素被一帶而過，甚至置若罔聞. 教師如何在課堂教學中合理進行數學史教學，提高課堂效率，培養學生的數學素養以及解決問題的能力，成為亟須解決的問題. 筆者結合教學實際，以“勾股定理”的教學為例，截取教學過程中的四個片段，具體展示四種數學史的教學策略.

數學史融入基本教學環節，整合教學時間

【片段一：新課引入】

師：今天這節課我們將跟隨數學家——畢達哥拉斯重走歷史，共同探究有趣的發現. 畢達哥拉斯的生平如圖1.

師：下面是一則關于著名數學家畢達哥拉斯的小故事.

畢達哥拉斯有一次應邀參加餐會，這位主人豪華宮殿般的餐廳鋪的是正方形美麗的大理石地磚. 大餐遲遲不上桌，這位善于觀察和理解的數學家便凝視腳下這些排列規則、美麗的方形瓷磚（如圖2）. 想到它們和“數”之間的關系，于是畢達哥拉斯拿起畫筆蹲在地磚上，選了一塊地磚以它的對角線為一邊畫了一個正方形. 他發現，這個正方形的面積恰好等于兩塊地磚的面積之和（如圖3）. 他很好奇，于是再以兩塊地磚拼成的矩形之對角線為一邊作另一個正方形，他發現這個正方形的面積等于5塊地磚的面積（如圖4），也就是以兩直角邊為邊所作的正方形面積之和. 至此，畢達哥拉斯做了大膽的假設：任何直角三角形，斜邊的平方恰好等于另兩邊的平方之和.

說明？搖 教師提前準備史料創設情境，與引入環節相整合，帶領學生重走歷史，感受數學家的思考和發現，體會數學源于生活，激發學生的學習興趣.

拓展與整合已有數學史料，優化教材史料

【片段二：勾股定理的證明】

1. 從特例出發，引導學生用面積法來證明

以引入中的1，2，為特例（如圖5），引導學生用面積法來證明：借助網格，通過兩種割補（如圖6和圖7），利用面積法證得猜想的結論成立.

教師總結：對于不規則圖形或一個難算面積的規則圖形，割補法是最常用的方法！

2. 從特殊到一般，證明a，b，c為邊的情況

離開了網格，學生對邊長和面積的計算都存在心理障礙，此時教師可以引導學生類比之前的證明方法，用字母表示邊長，利用割補法求出大正方形的面積.

師：你們剛才證得的結論——直角三角形中兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，就是著名的“勾股定理”，而大家剛才所使用的證明方法（圖6所示的證法1和圖7所示的證法2一般化后，證法1如圖8，證法2如圖9）也和歷史上偉大的數學家不謀而合. 我們的證法1，相傳是偉大數學家畢達哥拉斯于公元前550年首先證明的（如圖10）;證法2則是我國著名數學家趙爽所發現的方法，該圖案同時也成為2002年在北京召開的第24屆國際數學家大會會徽圖案（如圖11）. 可見，勾股定理在數學史上有著十分重要的地位.

說明？搖 兩種勾股定理的證明方法可完全由學生探究得到，讓學生重走數學家的探究路徑，和數學家一樣研究數學. 數學史在幫助學生了解和掌握更多解決問題的思路方面有著不可替代的作用，其中證法2在教材中有相應的數學史料（浙教版《義務教育教科書·數學》八年級上冊P76課后設計題，如圖12），而證法1對應的數學史料就需要教師自己查找補充. 這樣的資料收集具有方向性，可操作性強，這樣逐步積累與整合史料，便能慢慢完善適合教學的數學史資料.

教師可再整理幾種具有代表性的證明方法印制資料發給學生，供學生比較、探究. 通過了解證明方法的產生過程，學生能體會到一些真實的數學思維，對一些數學問題能形成更深刻的認識，從而在這種不斷學習、不斷探索、不斷研究的過程中逐步培養創新能力.

師：勾股定理在數學史上還有很多別稱呢！例如，畢達哥拉斯定理、商高定理、百牛定理、驢橋定理和埃及三角形等. 這個定理的歷史十分悠久，幾乎所有文明古國（古希臘、中國、古埃及、古巴比倫、古印度）對此定理都有研究. 下面將歷史上其他具有代表性的證明方法的資料發給同學們，這樣我們就可以和數學大家們一起來研究了.

資料

方法1：歐幾里得證法（北師大版《義務教育教科書·數學》八年級下P17）

著名的古希臘數學家歐幾里得在巨著《幾何原本》中給出一個很好的證明. （圖13為歐幾里得和他的證明圖）

方法2：劉徽的證法（資料源于網絡）

劉徽在《九章算術》中對勾股定理的證明：勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其余不移動也，合成弦方之冪，開方除之，即弦也. （如圖14的青朱出入圖）

方法3：總統證法（人教版《義務教育教科書·數學》八年級下P30）

美國第二十任總統詹姆斯·加菲爾德的證法在數學史上被傳為佳話，人們為了紀念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統”證法（如圖15）.

方法4：婆什迦羅證明法（資料源于網絡）

印度數學家兼天文學家婆什迦羅對勾股定理給出了一種奇妙的證明，也是一種分割型的證明. 如圖16，把斜邊上的正方形劃分為五部分，其中四部分都是與給定的直角三角形全等的三角形;一部分為以兩直角邊之差為邊長的小正方形. 很容易把這五部分重新拼湊在一起，得到兩個直角邊上的正方形之和.

師：勾股定理的證明方法還有很多，大家課后可以自己查閱資料再找幾種并進行比較，希望大家能夠從中梳理出一些解決問題的基本思想方法，幫助大家更好地學習數學.

說明？搖 我們在學習數學知識的過程中，若能還原歷史上那些數學家們對同一個問題的研究路徑和解決方法，一方面能讓學生感受智力的挑戰，體會成功，另一方面，通過比較、分析各種方法，能加深學生對數學知識的理解. 勾股定理的證明方法有面積證法、弦圖證法、比例證法等300余種. 通過搜索、比較數學史上的各種不同方法，不僅能讓學生更好地領會每種方法的本質，而且能啟發學生通過分析、比較，咀嚼出數學思想方法.

合理利用、滲透數學史的例題和習題，培養教師素養

【片段三：例題教學】

浙教版《義務教育教科書·數學》八年級上冊課后作業題第六題如下.

《九章算術》中記載了一道有趣的數學題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深、葭長各幾何？”

（根據實際需要給出翻譯和示意圖）

翻譯：有一邊長為一丈的正方形水池，在池中央長著一根蘆葦，蘆葦露出水面一尺，將蘆葦拉到池邊的中點處，蘆葦頂端恰好達到水面，問水有多深，蘆葦有多長. （1丈=10尺）

數學問題：如圖17，AB=10，G為AB的中點，EF⊥AB，FG=1，EF=BE，求BC和BE的長.

（學生解答過程略）

師：古人也是這樣解決問題的，因此方程思想也是從古至今沿用的，數學的歷史就是數學發展的過程，一脈相承.

說明？搖 教材選用《九章算術》中的一道應用題，學生在學有所用的同時能夠了解中國古代的數學成就. 教師在分析題目的過程中，應著重將文字語言轉化為數學語言，將實際問題轉化為數學問題，在問題解決的過程中滲透方程思想，培養學生的數學應用意識和數學建模思想.

歷史名題中蘊含了豐富的思想方法，從古至今一脈相承，能讓學生感到數學的有趣和有用，能讓學生更加重視和發展數學應用能力，能提高學生應用數學的自覺性，從而增強學生解決問題的能力.

合理利用含有數學史知識的例題、習題，需要教師事先查閱資料了解歷史，補充一些背景知識與解題方法，這無形中也培養了教師的人文素養.

重視滲透數學史的閱讀材料的應用與再開發，提高教師能力

【片段四：閱讀材料】

師：（浙教版《義務教育教科書·數學》八年級上冊P78閱讀材料）在歐幾里得時代，《幾何原本》第六卷命題31曾經介紹：“在一個直角三角形中，在斜邊上所畫的任何圖形的面積，等于在兩條直角邊上所畫的與其相似的圖形的面積之和. ”（教師解釋“相似”的含義）同學們可以自己思考一下這個命題，并加以證明.

（學生小組討論，有圖18、圖19、圖20三種情況，逐一匯報，得出結論）

師：通過以上匯報，我們用三個實例說明以上命題是成立的，那其他正多邊形呢？其他相似的幾何圖形呢？大家課后繼續探究！

變式拓展 ？搖條件同圖20，但改為向內作圖呢？如圖21，三塊陰影的面積分別記作S1，S2，S3，結論一致嗎？

（師生共同解決以上問題）

師：其實這種變式也有相應的史料佐證. 公元前約400年，古希臘的希波克拉底研究了他自己所畫的形如圖21的圖形，得出如下結論：“兩個月牙形的面積之和，等于△ABC的面積，即S+S=S.”

師：那圖18與圖19是否也有以上變式？大家動手試一試！

分析？搖 教材中出現頻率最高的數學史料就是課后的“閱讀材料”，合理運用這些材料進行拓展變式，往往事半功倍. 從史料中的命題入手，引發學生的探究興趣，將問題開放化，通過學生的自主探究將原本如圖18、圖19、圖20的三種常見圖形自然呈現，符合知識的形成規律. 另外，及時變式拓展：（1）改變圖形的形狀進一步探究，結論不發生變化;（2）改變以斜邊為邊形成的圖形的方向，相應結論發生改變. 層層遞進的探究，使學生體會到以“勾股定理”為核心可以發生多角度的變化，但是萬變不離其宗. 通過這層層深入的探究，能培養學生的創新能力，同時，其思考問題的能力、解決問題的能力也能得到拓展、提升.

立足于教材，以“閱讀材料”形式呈現的數學史資料，選取與練習相結合的點進行再開發、再拓展，既傳承了數學一貫的延續，又在教學中得到發展與延伸，還培養了教師的聯系與整合能力.

結語

一位學者說過：“數學是一種文化，回歸源頭能使我們獲得對思想過程的重要認識，更加清晰地理解現在的問題. ”數學史教學的重要性不僅是為了激發學習興趣等外在原因，主要是把數學發展中同時期和不同時期的數學文化聯系起來，使數學史成為支持教與學的重要組成部分. 同時期的數學文化含有課堂對話和課堂活動的自然情境，不同時期的數學文化則聯系著數學的發展. 學生在一定的社會文化背景下掌握數學知識的構建意義、思維模式以及發生發展形式，不僅實現了數學認知的發展，更重要的是實現了數學元認知的發展. 數學史滲透于教學的發展方向是積極的，雖然在實施過程中存在很多阻礙因素，但只要教師和學生認識到其對于數學教與學的作用和價值，并有意識地應用于實踐，相信還是能發現很多有效的方法和途徑. 其最終目標是培養學生掌握更多更好的方法，以進一步認識數學、研究數學.