運用排序法在解題中的應用

曹路路

【內容摘要】運用排序解題，其思想是將某些對象按照一定的規則進行升序或降序排列，然后通過對這種順序關系的研究，從而獲得解題方法。運用排序解題的時候，切忌與極端原理相混淆。排序主要是運用排列得到的順序，再結合其它的數學技巧進行解題，其關鍵是要找準排序對象。

【關鍵詞】有序性 排序方法 極端原理 反證法

本文結合一些典型的例題介紹幾種常見的排序方法。

一、以實數的大小進行排序

當條件中出現，z個實數時，運用實數的有序性進行排序。然后結合條件，觀察是否對解題有幫助。

【例1】給定7個不同的正整數，它們之和為100。求證：在這7個數中，一定存在三個數，它們的和至少是50。

【解析】該題可將7個正整數進行排序：a

【例2】（1990年全國初中數學聯賽試題）現有2n×2n的正方形方格棋盤，在其中任意的3n個方格中各放一枚棋子，求證：可以選出n行n列，使得3n枚棋子都在這n行和n列中。

【解析】可設備行棋子數為P1，P2，…，P2n，對這些棋子數進行一個排序：

Pl≥P2≥…≥P。≥P。+l≥…≥P2n

由題設：

P1+P2+-+Pn+Pn1+1+-+P2n=3n

取棋子數為p1，p2，…，P2n的這n行，則必有P.+P：+-+P。≥2n。

下面運用反證法，假設：

P1+P2+-+P。≤2n-l。

運用最初的排序可得：

P._1+P.+2+-+P2n≥n+1==》

（P.+.+P.+2+…+P2n）≥I+T1

根據平均值原理可知：

Pn+1.，Pn-2，…，P2n中至少有一個不小于2，則：

Pl≥P2≥…≥P。≥2

于是：

P1+P2+-+P.+P._1+…+P2Z≥2n+（，z+1）=3n+1

這與假設矛盾。

故選出來的n行已經含有不少于2n枚棋子，再選出n列包含其余的棋子（至多n枚），這樣選出的n行n列就包含了全部的3n枚棋子。

二、以線段長度進行排序

由于平面上的點，任意兩點連接而成的線段的個數是有限的。如果它們長度均不相等，則通過對它們進行排序，從中選出需要的線段;或者經過某種操作使得與平面上的點對應的線段長度不一，以達到排序的目的。

【例3】平面上任意奇數個點，如果任意三點組成的三角形的周長均不相等，那么必定存在一個橢圓，使得該橢圓內與橢圓外的點數相同。

【解析】設平面上有2n+l個點，首先，對于平面上有一個點和三個點的情況，結論是顯然成立的。當n≥2時，從中任意選出兩點A，B作為橢圓的焦點，它們與其余2n-l個點中的每一個都可以確定一個橢圓。因為任意三點組成的三角形的周長均不相等，所以可以得到2n-l個不同的橢圓。按照橢圓長軸的大小順序對這些橢圓進行排序：

以a1< a2<…

其中a1表示第i個橢圓的長軸。那么第n-2個橢圓即滿足要求。

【評注】例3中通過對橢圓長軸排序達到了解題目的。在運用以線段長度進行排序的時候請注意，如果解題用到的只是這些線段中的最長或最短的那一條，用極端原理即可，勿須考慮如何排序，如：

（第24屆莫斯科數學奧林匹克試題）在平面上有100個點，其中任何兩點的距離都不超過1，并且任三點為頂點都構成鈍角三角形。試證能夠作出一個半徑為的圓，使得所有的點都在圓內或圓周上。

提示：運用極端原理，從任意兩點連接得到的所有線段中選出距離最遠的兩個點A，B（必定是存在的）。以AB為直徑作圓S，圓S或其同心圓滿足要求。

三、以點到直線的距離大小進行排序

平面上的點，它們確定的直線條數是有限的。平面上必定存在一條直線與這些直線都相交，從而使得點到該直線的距離都不相等，通過對這些距離的排序達到解題目的。

【例4】平面上有2n個點，任三點不共線。求證：存在一條直線，使得該直線兩側均有，2個點。

【解析】平面上必存在一條直線，，它與2n個點中任兩點確定的直線都相交，且全部的點都在，的上方，這些點到，的距離均不相等，將它們按照從小到大排列：

只需作直線mP/，且兩平行線間的距離滿足：，不難看出直線m的兩側各有，n個點。

【評注】例4讓我們想起了英國著名數學家希爾維斯特（J.J.Sylvester）提出的一個有趣的問題：

平面上有n（n≥3）個不全共線的點。求證：存在一條直線，，它恰通過其中兩個點。

該題的證法有很多，其中凱里（LM.Kelly）給出的簡單證明中雖然也用到了點到直線的距離，但是僅用到其中的最小值（極端原理），然后結合反證法的出來的。

四、建立平面直角坐標系，以橫（縱坐標）的大小進行排序

顧名思義，即建立合適的坐標系，使得平面上的點在x軸（y軸）上的射影均不相同，根據橫（縱）坐標的大小進行排序。

【例5】（1990年中國浙江省數學夏令營試題）設平面上有1990個相異的點。是否可以做出一個正三角形，使其中995個點在內部，其余995個點在外部？

【解析】該題可以用例4的方法來做。這里考慮建立直角坐標系xy，其中y軸與1990個點中任兩點的連線都相交，并使得1990個點的橫坐標都不相同，將它們進行排序：

作直線1：

則，的兩側各有995個點。現在，只需要作一個充分大的正三角形，使其一邊在，上即可。

【評注】該排序方法與第二類排序方法有異曲同工之妙，但是它們最大的不同在于該方法使得平面上的每一個點都有了坐標，這對解某一類題會有很大的幫助，如：

（第32屆國際數學奧林匹克預選題）設S是由平面上的n（n≥3）個點組成的集合，其中，任三點都不共線。試證在平面上存在一個由2n-5個點組成的集合M，使得在以S中任意三點為頂點的三角形內部至少有一個M中的點。

五、以兩直線的夾角的大小進行排序

在平面上如果確定一條直線的位置和該直線上的一點，根據該點與平面上的點所確定的直線與該直線的夾角大小（可以有正負），可對它們進行排序。

【例6】給定平面上2n+2個點，其中任意三點不共線。求證：在2n+2個點中存在兩點，這兩點確定的直線將其它點分為兩部分，每部分均有，z個點。

【解析】該題所求的直線要經過其中的兩個點，以點到直線的距離大小進行排序就顯得不適合了，現在考慮使用角度進行分類。如圖1，設P.表示位于最西面的點（如果位于最西面的有兩個點，那么選其中的任意一個點作為P.）。以P.為原點建立直角坐標系，其中x軸方向為西一東;y軸方向為南一北。按照P1P，與x軸正方向所成夾角的升序排列，將剩下的點依次標記為P1，P3，…，P2n+2，因為任三個點不共線，所以直線P，P與x軸正方向所成角在-90。到90。之間，直線PIPn+2滿足要求。

六、以點到固定線段的視角大小進行排序

因為在一個圓中，如果一條弦所對的圓周角均在它的一側，那么這些圓周角相等。該排序方式主要是根據這一}生質進行的。

【例7】（1963年中國北京數學競賽試題）已知平面上有2n+3（n≥1）個點，其中沒有三點共線，也沒有四點共圓。能否通過其中三點作一個圓，使得其余2n個點一半在圓內，一半在圓外？證明你的結論。

【解析】如圖2，在2n+3個點中必定存在兩點A，B，使得其余2n+l個點都在直線AB的一側。因為任意四點不共圓，所以將2n+l個點分別與A，B連接，將得到的視角按照從小到大進行排列：

從而VAPn+1B的外接圓即為所求。

【評注】該解法巧妙的運用任意四點不共圓得到沒有兩點到線段AB的視角相等，從而通過排序得到滿足要求的圓。與該題相類似的題目有：

從以上例題中可以看出，對于某些數學題，如果我們在不改變原題性質的前提下選準排序對象，再結合其它的數學技巧和方法，就能快速得到解答。其中，排序對象的選取方法有很多種，本文僅列出以上幾種情況，希望對讀者有所幫助。

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【本論文為廣州教育政策研究課題“利用少年科學院提高學生科學素養培養科技創新人才的實踐研究”（課題批準號：ZCYJ18023）的部分研究成果。】

（作者單位：廣州大學附屬中學）