MATLAB中基于GARCH模型對股票指數的擬合與預測

周丹文

[摘 要]從股票指數的基礎時間序列出發，分析了時間序列的性質以及股票指數的特性。并以此為基礎，運用經濟統計與計量經濟學，選取恒生指數2009年10月至2019年10月十年間日收盤價進行分析，同時利用MATLAB的金融工具分析箱，建立GARCH模型，對恒生指數的日收益率進行建模與預測。結果表明，GARCH模型能夠較好地擬合樣本數據的對數收益率;在短期內，模型同樣擁有較好的預測效果。

[關鍵詞]股票指數;時間序列分析;GARCH;MATLAB

Abstract： Based on the basic time series of stock index， this paper analyzes the properties of time series and stock index. On this basis， with the knowledge of economic statistics and econometrics， the daily closing price of Hang Seng Index from October 2009 to October 2019 is selected to analysis. GARCH models are established by using the Financial Toolbox of MATLAB to model and predict the daily yield of Hang Seng Index. The results show that GARCH model can fit the logarithmic rate of return of sample data well， and in the short term， the model also has a good prediction effect.

Key Words： Stock Index; Time Series Analysis; GARCH; MATLAB

一、研究背景

（一）股票指數

股票指數是用來度量股票行情的一種指標， 反映了股票市場總體價格水平及其變動趨勢，一般由證券交易所或其他金融服務機構編制，用以為股民提供一個衡量股市價值變化的參考依據。股票指數與其編制范圍內的股票的平均價格水平同向變化，能靈敏反映市場所在國（或地區）社會、政治、經濟變化狀況。

（二）時間序列

時間序列是指將同一統計指標的數值按其發生的時間先后順序排列而成的數列。即對某一個或者一組變量X（t）進行觀察測量，在一系列時刻t1， t2， …， tn所得的離散序列集合（X（ti）為隨機變量）為時間序列。其主要目的是根據已有的歷史數據對未來進行預測。根據觀察時間的不同，時間序列中的時間可以是任何時間形式。股票指數即為時間序列數據。

（三）時間序列的平穩性

平穩性是指時間序列的行為不隨時間的改變而變化，可分為嚴平穩與寬平穩兩種。嚴平穩表示時間序列的分布不隨時間的改變而變化，序列中隨機變量的性質是一樣的;寬平穩則沒有分布不隨時間變化的性質，其強調的是相關系數取決于時間的間隔，而非時間的起點。寬平穩的特性有兩點，一為均值函數為常數函數;二為協方差函數僅與時間差相關。

根據平穩性的定義，可以進行平穩性檢驗。如果序列有明顯的趨勢或者周期性，那么其就是不平穩的，因為平穩序列具有常數均值和方差。

（四）股票指數的特點

股票指數的收益率一般隨時間的變化而變化，因此，它是非平穩的。同時，股票指數的收益率還存在持續偏高或偏低的現象，即波動聚集性。另一方面，股票指數的收益率序列一般不符合高斯假定中的“同方差”假定，即其序列一般具有異方差。

二、研究對象

恒生指數（HSI），由香港恒生銀行全資附屬的恒生指數公司編制的指數。入選樣板股為香港股票市場33家上市公司，是以發行量為權數的加權平均股價指數。為香港股票市場最有影響的指數。

本文選取恒生指數2009年10月8日至2019年10月8日十年間的日收益率作為研究對象，建立模型，并依據其2019年10月9日至2019年12月17日間的收益率對模型進項檢驗。

三、模型選擇

GARCH模型（廣義自回歸條件異方差模型）由Bollerslev等人在于1986年提出，該模型建立在ARCH模型的基礎上，并在當今演化出了多種形式。

傳統的計量經濟學假設時間序列的方差是固定的，這種假設與實際情況相差較大。對于股票而言， 其收益的波動幅度就是隨時間而變化的， 并非常數。這使得傳統的時間序列分析對實際問題無效[1]。1982年，Engle在研究英國通貨膨脹率的波動性時首次提出了ARCH模型，。

ARCH模型在實際運用時， 誤差項的條件方差依賴于之前多期的變化量，存在較難精確估計的缺陷。GARCH模型則在此基礎上用較為簡單的低階GARCH模型代替高階ARCH模型， 降低參數估計的復雜性，適用于有波動性的樣本的分析與預測。GARCH模型可表示為GARCH（p，q），當p=0時，GARCH模型則降至ARCH模型。GARCH模型假定當前的條件方差依賴于其滯后項σt-1與殘差滯后項εt-1;而當期方差則取決于常數項，前一期的殘差與前一期的預測方差。

在高斯分布下，GARCH（p，q）的函數形式如下：

四、模型建立

本次實驗運用MATLAB R2018b軟件進行分析驗證。在2014年之后的版本中，MATLAB中有關GARCH模型的函數部分發生了較大的變化。因此，本文采取了最新的函數形式進行模型建立。

（一）數據導入

本文的數據來源為RESSET金融研究數據庫。首先從該數據庫中下載相應日期及當日恒生指數的日收盤價，并保存在EXCEL中。同時，為了便于MATLAB的讀取與識別，將EXCEL中的日期列的格式修改為“日期”。通過導入功能，將日期與日收盤價兩列以“數值矩陣”的形式導入MATLAB中。

（二）繪制收益率曲線

1.日收盤價

通過導入的日期與日收盤價，運用“plot”函數，可以繪制出恒生指數的日收盤價波動曲線。

對收盤價進行分析可知，十年間恒生指數的收盤價總體而言呈上升趨勢，但波動較大。在2012年、2015年與2019年，發生了三次劇烈的下降。其中，2012年是由于歐債危機惡化、歐美外圍股市下跌等因素的影響;2015是由于股災;2018年則是因為全球市場的動蕩加劇。由于港元采取釘住美元的匯率政策，香港市場對于美國利率的波動尤為敏感。恒生指數也因此較易產生大幅的波動。

2.對數收益率

恒生指數的日收盤價呈現出劇烈的波動趨勢，因此，考慮在日收盤價的基礎上，計算其對數收益率。

對數收益率是兩個時期資產價值取對數后的差額，即資產多個時期的對數收益率等于其各時期對數收益率之和。通過取對數，數據可以變得更加平穩，同時，也利于直接觀察收益率。在MATLAB中，可以通過“price2ret”函數對列向量進行對數收益率的計算，并通過“plot”函數繪制出其圖像。在本例中，將錄有取對數后恒生指數十年間日收益率的列向量命名為“y”。

從圖2可以看出，恒生指數的對數收益率具有波動聚集性，集中在（-0.04，0.04）之間，但在波動較大的點達到了+0.06的水平。達到峰值后又迅速回落。但相較于日收益率，其數據已更加平穩。

（三）分布檢驗

通過MATLAB中的函數，可以計算峰度、偏度等數值，用以判斷數據是否符合正態分布。在此次實驗中，相關數值如下：

通過計算樣本峰度、樣本偏差可知，數據的偏度為-0.3121，峰度為5.2792，數據分布左偏且呈現出厚尾特征。說明從整體上來看，收益率低于其均值的時候較多，數據的波動性強。通過jbtest檢驗，亦可知數據拒絕了服從正態分布的假定。

（四）相關性檢驗

1.平穩性檢驗

在MATLAB中，可以通過”adftest”函數判斷數據是否平穩。經過檢驗，可以發現，雖然十年間恒生指數的日收盤價序列并不平穩，符合股票指數的特征;但adftest（y）‘的結果為1，說明其對數收益率序列是平穩的。因此可以利用其十年間的對數收益率建立相關模型。

2.自相關與偏自相關圖像

通過”autocorr（y）”與”parcorr（y）”函數，可以分別表示出自相關與偏自相關的收斂階數。

通過上述自相關圖與偏自相關圖像，可知兩者均約在16階收斂，表明日收益率沒有明顯的日相關性。

3.Q檢驗與ARCH檢驗

在本例中，用“y-mean（y）”計算恒生指數日對數收益率的殘差。MATLAB中分別用于Q檢驗與ARCH的函數如下：

經過Q檢驗，可知實驗數據在10，15，20滯后階數內，均呈現出h=0。說明日收益率殘差與收益波動之間不存在自相關性。ARCH檢驗中，可知實驗數據在10，15，20滯后階數內，均有h=1，說明收益率序列有高階ARCH效應即GARCH效應。因此考慮建立GARCH模型。

（五）具體模型的選擇

在GARCH模型中，一般有GARCH（1，1），GARCH（1，2），GARCH（2，2）等多種形式。每種形式中，又可分為有平均偏移量和無平均偏移量兩種。模型形式的選擇可以通過” 赤池信息準則（AIC）”判斷，具體而言，計算出的“AIC”的數值的絕對值越大，則擬合效果越好。

其中，y指恒生指數的對數收益率，aicbic函數中的”3”，為損失的自由度，（具體指常數項，GARCH{1}項與ARCH{1}項），會隨著模型中參數的改變而改變。

分別建立GARCH（1，1），GARCH（1，2），GARCH（2，2）沒有平均偏移量的模型，并通過赤池信息準則進行檢驗。經過檢驗可知在5%的顯著性水平下，沒有平均偏移量的GARCH（1，2）模型擬合較好（通過aicbic（）函數計算，可知其絕對值最大）。再將其與有平均偏移量的GARCH（1，2）模型進行比較，可以發現仍是沒有平均偏移量的模型擬合較好。各模型的計算結果如下：

模型的γ1的系數接近于1且通過了顯著性檢驗， 說明恒生指數過去價格的波動與其無限長期價格波動的大小都有關系。條件方差方程中， 系數α1，α2和γ1都為正且顯著，說明過去的波動對市場未來波動有影響， 且影響是正向的。γ1+α1+α2的值接近于1， 這說明股市波動對外部沖擊的反應函數以一個相對較慢的速度遞減， 一旦出現大的波動在短期內很難消除[2]。

通過MATLAB中的 econometricModeler，可以查看GARCH（1，2）對應的函數形式，以及其條件方差和標準化殘差。

通過上述圖像可以看出，標準化殘差變得較為平穩，波動聚集現象已不再明顯。

從而寫出對應的方程：

五、模型預測

運用MATLAB中的forecast（）函數可以進行模型預測。在將上述GARCH（1，2）模型命名為EstMdl2的情況下，具體操作如下：

在執行上述操作后，即得到51天內觀測值的預測結果。再對foreY取對數收益率，以10天為一組，將計算出的結果與恒生指數真實的收益率進行比較，結果如下：

綜合預測與實際的結果，可以發現，總體而言，隨著時間的推移，預測值偏離真實值的范圍越大，預測的準確率越低。因此，在短期內，GARCH模型有較好的擬合效果。

六、總結

本文選用GARCH模型分析股票指數，模擬了股票指數波動性變化。結果說明GARCH模型對于股票指數的日收益率有較好的擬合效果，同時短期預測有較高的準確度。股票指數屬于時間序列的一種，但其不同于傳統的數據，呈現出非平穩、波動聚集與異方差的特征。因此，對于它的建模也應當采用非傳統的方法。GARCH模型用方差預測時間序列，對股票指數有較好的擬合與預測結果。因此，對于投資者的決策能起到一定的指導作用。

[參考文獻]

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（責任編輯：顧曉濱 馬 琳）