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二次函數圖像性質的課堂實錄和反思

2020-05-27 14:28:57孫慧
成長 2020年3期
關鍵詞:拋物線特征教師

孫慧

本文是筆者在一次校級公開課上的教學實錄。整理成文的過程中,反思教學環節后有了新的體會,記錄在此。

1 教學案例分析

環節1 情景引入

教師:首先來看一段文字“兩彎似蹙非蹙罥煙眉,一雙似泣非泣含露目。態生兩靨之愁,嬌襲一身之病。”文字描述的是?

學生:林黛玉/一名女子。

教師:能否通過文字刻畫她的面容和身姿?

學生若有所思。

教師:如果有圖片,會更加直觀了吧。(課件展示林黛玉圖片)圖片更生動,文字更具體,兩者結合,圖文并茂,林黛玉的形象則深入人心。那么函數,可從哪些方面去認識它呢?

學生:函數解析式和圖像。

教師:函數式是代數角度,圖像是形的角度,數形結合,認識徹底。我們曾學過一次函數,它的解析式是什么?圖像又是什么?

學生:解析式是y=kx+b(k≠0),圖像是一條直線。

教師:你能列舉出最簡單的二次函數么?

學生1:y=2x2

學生2:不對,是y=x2

教師:兩位同學的舉例可歸納為y=ax2(a≠0),它是二次函數的代數式,那形又如何呢?二次函數長什么模樣呢?有請兩位同學板演作圖。

環節2 概念形成

學生繪圖完畢。教師:兩位同學都注意到了,用平滑的曲線串聯各點,自變量取值均勻且對稱。請大家觀察這幅開口向下的二次函數圖像,聯想生活實際,是否似曾相識?

學生:像拋擲物體后的運動軌跡。

教師:很好!所有的二次函數圖像都是拋物線,我們可以稱它為拋物線y=ax2(a≠0)。繼續觀察,這兩條拋物線最大的區別是什么?

學生:開口朝向不同。

教師:那它們對應的函數式有什么區別?

學生:a的正負不同。

教師:猜想,什么因素導致了開口方向的不同?

學生異口同聲,都猜到了是a的正負導致開口方向的不同。教師用幾何畫板驗證一簇開口向上結果。

教師:思考,為何a>0時,開口一定就朝上呢?

學生:因為當a>0時,x無論取任何數,y為非負數,因此所有的點都在x軸的上方。

教師:解釋得非常棒!同理,可得到當a<0時,拋物線開口向下。幾何畫板驗證。現在聚焦幾何畫板中開口向上的一簇拋物線,你還能觀察到它們的什么共同特征呢?小組討論三分鐘。

學生們紛紛得出以下結論:對稱軸在y軸;圖像有最低點在原點;在y軸左邊,圖像下降,在y軸右邊,圖像上升。

教師:請列表寫出當a<0時的拋物線圖像的特征。有請一位同學板演。

環節3 明晰性質

教師:由此我們發現,任意一個二次函數,它的圖像都是一條拋物線。函數式中的系數決定了圖像的具體模樣。我們首先讀取a的正負,判斷開口方向;繼而可觀察到圖像的最低或最高點,即為頂點;以頂點為分數領,左右兩側的增減趨勢不同。所有的二次函數都可以從這四個方面去討論。

環節4 應用性質

例1:已知關于x的二次函數y=(k-3)。

(1)求k的值;

(2)k為何值時,拋物線有最低點?此時,當x為多少時,y隨x的增大而增大?

例2:已知點A(-3,y1),B(-1,y2),C(3,y3)在拋物線y=x2上,則y1,y2,y3的大小關系是?

環節5 課堂小結

課堂最后,送給學生一首華羅庚的詩:“數缺形時少直觀,形少數時難入微;數形結合百般好,隔裂分家萬事非!”

2 教學反思與說明

2.1 教學質疑

教學設計中存在兩處疑問:(1)二次函數的圖像為什么要研究這幾條性質?再遇到其他函數時也是研究這些性質嗎?會不會遺漏?(2)教師提問里涉及到了一次函數,點到為止,卻沒有調動學生的記憶輔助本堂課的教學,那為何要提?可否利用一次函數,進行類比學習?(3)數形結合的口號不少說,什么時候用數形結合,為什么要用?

2.2 反思與改進

為此,我做了以下思考和預設。在環節二提到一次函數時,首先請學生列舉一次函數并繪制圖形,大家共同討論一次函數圖像的特征,并總結圖像的性質:一次函數是一條直線;沒有最小值最大值;隨著自變量的變化,函數值單調變化。繼而觀察一次函數解析式中的字母,明確了x和y是自變量和因變量,對應圖像中各個點的橫縱坐標;k和b是系數,是決定一次函數特殊性的常量,是圖像中各個點坐落于哪個具體位置的決勝武器。因此得到斜率k控制一次函數圖像的增減趨勢,截距b決定一次函數與y軸交點的縱坐標。然后在進入二次函數的圖像繪制,后續的分析過程,學生會主動類比一次函數,觀察函數圖像特征,對比函數解析式系數,揣測其對應關系,并加以驗證,學習過程水到渠成。

2.3 學生內化過程

由此給學生建立了以下意識:1,函數解析式可以通過系數判斷函數的特征,但圖像更直觀,數形結合原來如此;2,圖像雖是一條直線或曲線,但可以通過與坐標軸的特殊交點,對稱性,增減趨勢,最值等顯著特征來豐富對圖像的描述;3,先驗知識一次函數和新知識二次函數不是割裂開的獨立知識,他們都屬于函數范疇,一次函數的分析過程,可以運用到二次函數,甚至其他函數,由此加深了類比學習的思想。類,是相同特征的遷移;比,是不同特征的分離。相同的是,一次函數和二次函數都有解析式和圖像兩種表達方式,函數式中的系數決定函數圖像的細節;不同的是,不同類型的函數圖像特征不盡相同,函數性質應該是能夠突出表達圖像特征的描述。

參考文獻:

[1] 金國年.類比思想在初中數學概念教學中應用的案例分析[J].中學數學教學參考(中旬),2019(11):68-70.

[2] 曹才翰,章建躍.中學數學教學概論[M].北京:北京師范大學出版社,2008.

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