二次函數圖像性質的課堂實錄和反思

孫慧

本文是筆者在一次校級公開課上的教學實錄。整理成文的過程中，反思教學環節后有了新的體會，記錄在此。

1 教學案例分析

環節1 情景引入

教師：首先來看一段文字“兩彎似蹙非蹙罥煙眉，一雙似泣非泣含露目。態生兩靨之愁，嬌襲一身之病。”文字描述的是？

學生：林黛玉/一名女子。

教師：能否通過文字刻畫她的面容和身姿？

學生若有所思。

教師：如果有圖片，會更加直觀了吧。（課件展示林黛玉圖片）圖片更生動，文字更具體，兩者結合，圖文并茂，林黛玉的形象則深入人心。那么函數，可從哪些方面去認識它呢？

學生：函數解析式和圖像。

教師：函數式是代數角度，圖像是形的角度，數形結合，認識徹底。我們曾學過一次函數，它的解析式是什么？圖像又是什么？

學生：解析式是y=kx+b（k≠0），圖像是一條直線。

教師：你能列舉出最簡單的二次函數么？

學生1：y=2x2

學生2：不對，是y=x2

教師：兩位同學的舉例可歸納為y=ax2（a≠0），它是二次函數的代數式，那形又如何呢？二次函數長什么模樣呢？有請兩位同學板演作圖。

環節2 概念形成

學生繪圖完畢。教師：兩位同學都注意到了，用平滑的曲線串聯各點，自變量取值均勻且對稱。請大家觀察這幅開口向下的二次函數圖像，聯想生活實際，是否似曾相識？

學生：像拋擲物體后的運動軌跡。

教師：很好！所有的二次函數圖像都是拋物線，我們可以稱它為拋物線y=ax2（a≠0）。繼續觀察，這兩條拋物線最大的區別是什么？

學生：開口朝向不同。

教師：那它們對應的函數式有什么區別？

學生：a的正負不同。

教師：猜想，什么因素導致了開口方向的不同？

學生異口同聲，都猜到了是a的正負導致開口方向的不同。教師用幾何畫板驗證一簇開口向上結果。

教師：思考，為何a>0時，開口一定就朝上呢？

學生：因為當a>0時，x無論取任何數，y為非負數，因此所有的點都在x軸的上方。

教師：解釋得非常棒！同理，可得到當a<0時，拋物線開口向下。幾何畫板驗證。現在聚焦幾何畫板中開口向上的一簇拋物線，你還能觀察到它們的什么共同特征呢？小組討論三分鐘。

學生們紛紛得出以下結論：對稱軸在y軸;圖像有最低點在原點;在y軸左邊，圖像下降，在y軸右邊，圖像上升。

教師：請列表寫出當a<0時的拋物線圖像的特征。有請一位同學板演。

環節3 明晰性質

教師：由此我們發現，任意一個二次函數，它的圖像都是一條拋物線。函數式中的系數決定了圖像的具體模樣。我們首先讀取a的正負，判斷開口方向;繼而可觀察到圖像的最低或最高點，即為頂點;以頂點為分數領，左右兩側的增減趨勢不同。所有的二次函數都可以從這四個方面去討論。

環節4 應用性質

例1：已知關于x的二次函數y=（k-3）。

（1）求k的值;

（2）k為何值時，拋物線有最低點？此時，當x為多少時，y隨x的增大而增大？

例2：已知點A（-3，y1），B（-1，y2），C（3，y3）在拋物線y=x2上，則y1，y2，y3的大小關系是？

環節5 課堂小結

課堂最后，送給學生一首華羅庚的詩：“數缺形時少直觀，形少數時難入微;數形結合百般好，隔裂分家萬事非！”

2 教學反思與說明

2.1 教學質疑

教學設計中存在兩處疑問：（1）二次函數的圖像為什么要研究這幾條性質？再遇到其他函數時也是研究這些性質嗎？會不會遺漏？（2）教師提問里涉及到了一次函數，點到為止，卻沒有調動學生的記憶輔助本堂課的教學，那為何要提？可否利用一次函數，進行類比學習？（3）數形結合的口號不少說，什么時候用數形結合，為什么要用？

2.2 反思與改進

為此，我做了以下思考和預設。在環節二提到一次函數時，首先請學生列舉一次函數并繪制圖形，大家共同討論一次函數圖像的特征，并總結圖像的性質：一次函數是一條直線;沒有最小值最大值;隨著自變量的變化，函數值單調變化。繼而觀察一次函數解析式中的字母，明確了x和y是自變量和因變量，對應圖像中各個點的橫縱坐標;k和b是系數，是決定一次函數特殊性的常量，是圖像中各個點坐落于哪個具體位置的決勝武器。因此得到斜率k控制一次函數圖像的增減趨勢，截距b決定一次函數與y軸交點的縱坐標。然后在進入二次函數的圖像繪制，后續的分析過程，學生會主動類比一次函數，觀察函數圖像特征，對比函數解析式系數，揣測其對應關系，并加以驗證，學習過程水到渠成。

2.3 學生內化過程

由此給學生建立了以下意識：1，函數解析式可以通過系數判斷函數的特征，但圖像更直觀，數形結合原來如此;2，圖像雖是一條直線或曲線，但可以通過與坐標軸的特殊交點，對稱性，增減趨勢，最值等顯著特征來豐富對圖像的描述;3，先驗知識一次函數和新知識二次函數不是割裂開的獨立知識，他們都屬于函數范疇，一次函數的分析過程，可以運用到二次函數，甚至其他函數，由此加深了類比學習的思想。類，是相同特征的遷移;比，是不同特征的分離。相同的是，一次函數和二次函數都有解析式和圖像兩種表達方式，函數式中的系數決定函數圖像的細節;不同的是，不同類型的函數圖像特征不盡相同，函數性質應該是能夠突出表達圖像特征的描述。

參考文獻：

[1] 金國年.類比思想在初中數學概念教學中應用的案例分析[J].中學數學教學參考（中旬），2019（11）：68-70.

[2] 曹才翰，章建躍.中學數學教學概論[M].北京：北京師范大學出版社，2008.