讓數學實驗自然融入常態教學

張世欽

摘 要 數學實驗教學“常態化”的一個誤區，是把實驗僵化為一個教學環節，“為實驗而實驗”. 數學實驗只有自然融入到常態教學 的整個過程當中，與具體教學內容有機結合，才能更好地體現其教學功能與育人價值.實現“自然融入”的關鍵，是讓數學 實驗在學生的認知過程中體現出適切性與必要性.

關 鍵 詞 數學實驗;自然融入;常態教學;課例

筆者在線觀摩了一個數學實驗教學網絡研討活 動，活動的主題是“數學實驗與核心素養”，旨在推動 兩個方面的探討：一是數學實驗在發展學生數學核心 素養方面的功用與價值;二是如何將“數學實驗”融入 常態課的教學中.在課堂教學展示環節，一位教師以 “等腰三角形的軸對稱性”（人教版《數學》八年級上冊 第十三章第3節）這節內容為例，進行了課堂教學展 示.受活動主題的啟發，筆者在課例分析的基礎上，從 以上兩個方面對數學實驗教學進行了思考.

一、課例簡要回放

環節一：引入概念

執教者先引導學生回顧“三角形”的概念及性質， 然后由一般三角形過渡到“特殊三角形”（等腰三角 形）.學生都能說出等腰三角形的定義：有兩條邊相等 的三角形叫做等腰三角形.

環節二：性質猜想

引入概念并明確定義之后，執教者讓學生畫一個 等腰三角形并觀察、猜想其性質.學生在教師引導下 獲得如下“猜想”：1等腰三角形是軸對稱圖形;2等腰 三角形的兩個底角相等;3等腰三角形底邊上的高、中 線與頂角平分線重合（三線合一）.

環節三：數學實驗

“這些猜想是否正確呢？我們可以通過數學實驗 來驗證.”執教者由此引出數學實驗.

實驗活動1：在一張形狀不規則的毛邊紙上，折疊 出一個等腰三角形.說一說你的折疊方法及理由.

很快，就有學生想到方法并展示操作：先將毛邊 紙對折一下，得到一條直邊，然后再對折使直邊對齊 得到一個直角，將這個直角頂點向內任意翻折一下，

展開就會得到一個等腰三角形（. 如圖 1）

實驗活動2：用剪刀把剛才折疊得到的等腰三角 形剪下來，然后通過實驗操作來驗證“猜想1”.

一名學生到講臺上展示：將等腰三角形沿一條線 疊之后，兩邊完全重合，說明等腰三角形是軸對稱 圖形.

實驗活動 3：利用手頭的等腰三角形紙片，驗證 “猜想2”（等腰三角形兩個底角相等）.

學生沿對稱軸折疊，發現兩個底角重合，驗證了 “等腰三角形的兩個底角相等”.

實驗活動 4：利用手頭的等腰三角形紙片，驗證

“猜想3”（等腰三角形“三線合一”）.

沿對稱軸折疊，頂角的兩邊重合，說明折痕與頂 角平分線重合;沿對稱軸折疊，底邊的兩端重合，說明 折痕又與底邊上的中線、高線重合.由此驗證了“三線 合一”.

實物驗證之后，執教者還為學生提供了“幾何畫 板”（計算機軟件）驗證.

實驗活動5：利用幾何畫板軟件驗證“猜想2”.

一個等腰三角形，在保持等腰特征不變（“幾何畫 板”中設置頂點為底邊中垂線上的點）的情況下，讓學 生上下拖動頂點位置.可以發現：隨著兩腰長度（度量

值顯示）的變化，兩個底角度數（度量值顯示）也在變 化但是始終相等.

實驗活動6：利用幾何畫板軟件驗證“猜想3”. 任意一個三角形，沿著平行于對邊的直線移動一 個頂點，只有當另外兩邊長度恰好相等（即圖中AB = AC）的時候，才出現''三線合一”的情形.（如圖2）

圖

環節三：推理證明

執教者指出：'通過數學實驗驗證是不夠的，數學 結論最終還是要通過推理來證明.”接下來，將兩個命 題具體化為證明題.結果發現，學生輕而易舉地給出 了證明，甚至每個命題都給出多種證明方法……

環節四：定理運用（略）

二、課例分析

1“. 為實驗而實驗”導致認知過程邏輯混亂

分析上述課例中的幾個'實驗活動”可以發現，執 教者設計'實驗活動1”的目的是通過'實驗”的方法獲 得一個等腰三角形，為下一步實驗驗證提供具體的實 驗材料.然而，從認知順序來看，這個'為實驗”而設計 的實驗活動事實上造成了知識學習的邏輯混亂 . 因為 這里所用的'折疊”的方法，其本質就是運用了等腰三 角形的軸對稱性，初中階段對軸對稱（反射變換）的定 義就是'一個圖形沿某條直線對折之后，折線兩側的 部分能完全重合” '. 實驗活動1”用折疊后剪切展開得 到等腰三角形，然后在'實驗活動2”中又通過折疊重 合去驗證'等腰三角形是軸對稱圖形”，這就相當于邏 輯上循環論證（由折疊剪切得到的三角形當然折疊重 合）.事實上，從客觀的知識結構上來看，等腰三角形 的兩個性質定理（即課例中的兩個'猜想”）其實都是 源自于等腰三角形的軸對稱性.如果把'等腰三角形 是軸對稱圖形”作為對等腰三角形的一個定性描述的 話，那么兩個性質定理其實就是更進一步的定量刻 畫.課例在對稱性'實驗驗證”上的邏輯混亂，使得認 知順序沒有體現知識之間的內在聯系，對稱性在前后 知識上的主線作用沒有凸顯出來，學生對等腰三角形 軸對稱性的理解缺乏概念角度的認識支撐，未能從概 念的本質特征上思考為什么'折疊重合”.

1. 數學實驗呈現出“初中教學小學化” 在引入概念之后，學生都能準確地說出等腰三角 形的定義，甚至，在實驗活動1中，大部分學生也都能 想到折疊方法.為什么會這樣？主要是因為學生在小 學階段有過等腰三角形及軸對稱概念的學習.由于小 學階段的幾何學習主要是'實驗幾何”，類似上述課例 中的實驗活動，特別是實驗活動2和實驗活動3（折疊 驗證等腰三角形的軸對稱性），學生在小學階段都是 做過的（據筆者對所在學校七年級新生的調查）.在這 樣的情況下，初中階段再對等腰三角形的'折疊重合” 和'兩個底角相等”進行實驗驗證，是沒有必要的.把 這樣的'驗證”活動再一次引入課堂并且作為一個固 定環節，其實就是羅增儒教授所說的'初中教學小學 化”^[1].數學教學是思維的教學，因此，數學實驗設計 與安排的基本原則應該是對學生的思維調動.喻平教 授指出 ：'數學實驗教學將動手操作和動腦思考有機 結合在一起，實踐性和操作性是它的外部特征，通過 實驗活動促進學生思維的發展則是數學實驗的核心 和最終歸宿.”^[2]如果一個實驗活動沒有思維挑戰性、 缺乏思維調動或者促進作用，那么它也就失去了實驗 價值.就筆者對課例的觀察，在后續的'推理證明”環 節（特別是兩個底角相等的證明過程中），大部分學生 都能很快想出不止一種證明方法，說明學生僅僅通過 頭腦中的表象操作就能驗證猜想并獲得證明思路，教 師努力推銷的以動手為特征的'數學實驗”反而讓學 生覺得既低級又無趣.
2. 數學實驗被僵化為一個教學環節 從教學流程上來看，執教者為學生設計的認知順 序是'概念建構—性質猜想—實驗驗證—推理證明— 鞏固應用”.的確，這樣認知流程體現了數學研究的 '基本套路”.但是，如果教師在設計數學實驗的時候 缺乏對具體內容及學生認知現實的分析，把數學實驗 僵化為一個教學步驟與環節，那么數學實驗的實際價 值與作用，就可能大打折扣甚至完全不能體現出來. 喻平教授認為 ：'數學實驗教學本質上是以數學問題 為出發點，以獲得數學結果為目標，充分展示探究過 程的實踐活動.”^[3]這就是說，數學實驗是'問題驅動” 下的'目標明確”的'實踐探究”.從問題的提出到目標 的達成，數學實驗都可以在其中發揮'實踐探究”作 用.在不同的認知節點，數學實驗還應該發揮不同的 認知促進作用.因為這一點，數學實驗被細分為'探索 型數學實驗” '驗證型數學實驗”和'理解型數學實 驗”.^[3]分析上述課例中的幾個實驗活動，不難發現，它 們分別具有不同的性質和特征.比如，實驗活動1是具 有應用特征的探索型數學實驗（依據性質探索折疊與

剪切方法）;實驗活動2、3、5屬于驗證型數學實驗（驗 證猜想）;實驗活動4可以作為思路探索型數學實驗 通過折疊操作探索證明思路）;實驗活動6更適合作 為理解型數學實驗（演示“一般”與“特殊”之間的關 系）.驗證型數學實驗應該在觀察與猜想的過程中用 于檢驗或修正猜想;探索性數學實驗既可以在推理證 明的過程中發揮思維輔助作用，又可作為知識的鞏固 運用;理解型數學實驗可以在推理證明之后促進數學 知識的直觀化理解……然而，執教者把這些實驗活動 籠統地僵化為一個教學環節，就使得數學實驗在本節 課的功能與價值局限于某一個方面（僅僅是“驗證”， 并且這里很多“驗證”讓學生覺得沒有必要）.

綜合以上幾個問題的分析，筆者認為，課例執教 者對數學實驗教學的功用與價值的認識過于狹窄片 面.沒有從認知過程的整體上思考數學實驗教學的有 效融入，只是把幾個“數學實驗”內容整體插入到原本 的教學過程中作為一個固定環節，使得實驗過程沒能 很好地促進學生的數學思維，反而降低了課堂效率， 擾亂了認知理序，一定程度上阻礙了知識的內在建 構.

三、關于數學實驗教學的兩點感悟 在課例的分析的基礎上回歸本次活動的主題，筆 者認為研討活動所指向的兩個問題其實是統一的：數 學實驗只有恰當、自然地融入到常態教學中，與具體 教學內容有機結合，才能更好地體現其功用與價值.

1. 數學實驗與具體內容有機結合才能促進核心 素養的發展

數學教學應該把發展學生的數學核心素養作為 目標指向.^[4]因此，我們就有必要從發展學生核心素 養的角度來思考數學實驗的功用與價值.上述課例分 析使筆者獲得這樣一個感悟，即數學實驗作為一種教 學手段（從“學”的角度來說是一種學習方法），在核心 素養層面的功用與價值只有與具體教學內容有機結 合才能充分體現出來.這里所說的“有機結合”，指的 是把數學實驗貫穿在知識內容的引入、理解、鞏固、應 用的整個過程中.比如，在知識的引入環節，如果知識 具有一定的現實背景和操作特征，那么以數學實驗的 方式引入就可能很好促進學生數學抽象素養的形成 和發展;在知識理解（概念建構或者原理揭示）環節， 用具體而直觀的數學實驗來闡釋數學關系結構，就可 能有效地促進學生直觀想象素養或者模型思想（對應 數學建模素養）的發展;在知識的鞏固應用環節，數學 實驗可以促進學生應用意識（對應數學建模素養）的 發展.就上述課例來說，分析中提到的“邏輯混亂”和 “環節化”，都是因為執教者對數學實驗本身的功能與 價值認識過于片面，沒有將它與等腰三角形性質的認 知過程有效結合.事實上，既然實驗活動1具有明顯的 應用特征，那么就應當將它后置于性質定理的鞏固應 用階段;實驗活動6具有理解型數學實驗特征，那就可 以把它放在定理證明之后幫助學生“回歸直覺”;實驗 活動3、4可以作為推理證明過程中的“自由選擇”，一 些幾何直觀能力相對欠缺的學生可以在動手操作中 獲得思路的啟發.如果執教者這樣去安排數學實驗， 就相當于在整個認知過程中為學生提供了特殊與一 般、具體與抽象、現實與數學之間的往返穿梭，讓數學 實驗更好地發揮思維輔助與推動作用.

1. 數學實驗融入常態教學的關鍵是體現適切性 與必要性

數學實驗教學是教學研究領域的一個新興課題， 相關研究在近幾年呈“井噴”之勢，大量的數學實驗被 開發出來.^[5]在這樣的背景下，一線教師需要特別注 意的是保持一種“理智的清醒”，既要充分認識數學實 驗的功用與價值，又要理性客觀地分析其適切性與必 要性，防止自己走進盲目跟風和泛化使用的誤區.^[6]

強調適切性，就是要讓數學實驗順應認知理序， 促進認知建構.就上述案例來說，實驗活動1的位置安 排就缺乏適切性.為了順應知識建構，這里應該從概 念定義（有兩邊相等的三角形）出發，用問題去驅動 “實驗”.比如，教師可以讓學生先在紙上根據定義畫 一個等腰三角形，然后剪下來，觀察并思考：為什么兩 邊相等的三角形就能“折疊重合”？在畫等腰三角形 的時候，學生根據定義畫圖必定是先畫兩條有公共端 點且相等的線段（其實就是畫出一個角），然后連接另 外兩個端點;剪下來之后，學生對問題進行思考的時 候也就會自然而然地聯系自己的畫圖過程，主動地進 行折疊觀察.在這樣的概念操作和實物操作下，學生 就會認識到等腰三角形的軸對稱與角的軸對稱、線段 的軸對稱存在內在聯系：等腰三角形的軸對稱性實質 上是源于角與線段的軸對稱性.

強調必要性，就是強調數學實驗要盡可能地扣緊 學生的思維，要讓學生切實感受到外部操作對內在思 維的推動作用或者補充作用.如果學生具備了一定的 幾何直觀能力與空間想象能力，以致他們完全依賴于 內在的表象操作就能解決當前問題的時候，何必動手 呢？就上述課例來說，實驗活動2、實驗活動3、實驗 活動5、甚至實驗活動4，從“驗證猜想”角度看都是沒有必要的.但是，它們在“推理證明”環節可能卻是有 價值的，因為探尋證明思路的時候，在實驗中觀察往 往能獲得思路上的啟發.比如，學生會由“重合”想到 運用三角形全等，由“折痕”想到添加輔助線……由此 說明，數學實驗教學的理想狀態，就是讓外在的實驗 操作恰好切中個體的內在需求.做到這一點確實不容 易，但是我們“為思維而教”的目標應該是清晰而明 確的！

參考文獻：

[1]羅增儒.“教學目標”見角下的教學研討[〕]·中學數學

教學參考（中旬刊），2017（1，2）：26-30.

[2] 裴光亞.數學教學的支點[J]中學數學教學參考（中 旬），2016（9）.

[3] 董林偉，孫朝仁.初中數學實驗的理論研究與實踐探 索[J]·數學教育學報，2014（12）：21-25.

[4] 章建躍.樹立課程意識落實核心素養[J]數學通報， 2016（5）：1一4，14.

[5] 姚強.數學實驗貴在切時切需[J].中小學數學（初中 版），2017（2）.

[6] 陳海烽.數學實驗需要找準自己的位置[J]數學通 報，2016（7）：7-10.

（責任編輯：萬丙晟）