“高等數學”中的概念和公式教法

烏仁其其格

【摘要】在“高等數學”課程的教學中，基本概念和公式占有相當重要的位置.一方面，基本概念和公式是學習后繼課程所必需的基礎知識;另一方面，概念本身的實際背景及公式的應用和著眼點就是學生解決實際問題并且掌握好數學這門課程的關鍵.但是，由于許多概念和公式具有高度的抽象性，使學生學起來感到非常困難，有些概念和公式雖然簡單，但學習過程枯燥乏味.“興趣是最好的老師”，因此，教師如何恰當地選擇方法引導學生輕松愉快地接受新知識，了解概念和公式的來龍去脈，掌握解決問題的方法，從而激發和培養學生學習數學的興趣，在整個數學教學過程中起著舉足輕重的作用.筆者就自己在“高等數學”教學實踐中對概念和公式的教學方法做一淺談.

【關鍵詞】高等數學;概念;公式;教法

【基金項目】赤峰學院青年科研基金項目：cfxyqn201921.

一、引 言

“高等數學”是高校非常重要的一門必修課，其邏輯性強、基礎性強、抽象性強且應用廣泛.然而，剛入學的學生，對抽象定理的證明、冗長例題的演算或“高等數學”實用工具的理解都沒有做好準備，因而，普遍感到概念難以理解，公式不易應用，思維難以展開，問題難以入手，方法難以掌握，習題難以解答.同時，部分學生不清楚這門課和自己所學專業之間的聯系，導致很多學生一開始就對這門課沒有興趣，甚至產生放棄學習的念頭.很多學生對“高等數學”的學習存在一定的畏難情緒，認為“高等數學”學著難、用著少，因此，他們的積極性不高.眾所周知，“高等數學”是理科類非數學專業的各個專業的重要基礎課，近年來，也成為一部分文史類專業的必修課.通過“高等數學”課的學習，一方面，使學生獲得必要的數學知識，為以后的專業課學習打下基礎;另一方面，也能培養學生的抽象思維、邏輯推理和綜合分析能力.而且“高等數學”課程的教學中，基本概念和公式占有相當重要的位置.

筆者認為，為了提高基本概念和公式的教學質量，促進教學的改進，在教學過程中，必須把抽象的內容具體化，把復雜的問題簡單化，使教學接近于生活，幫助學生理解數學、應用數學，從而提高學生學習數學的興趣.

如何解決這些問題，筆者從以下幾個方面談一下看法.

二、恰當地引出概念和公式

（一）“高等數學”課程和學生所學專業課的聯系

首先要解決數學和開設該課的專業之間的聯系.很多學生上這門課的第一個問題是：“我學這門課有什么用？”教師首先應理解自身教學的目的，才能夠為學生解答此問題，使學生明白這門課和自己專業的后繼課程之間的關系;即使是文科，也應讓學生明白邏輯思維的重要性.學生也只有解決了這一問題，才能自主學習.這樣的學習也不再是被動的、漫無目的的.

“高等數學”是高校理科和文科相關專業學生必修的一門重要基礎理論課程，比如，理科中的物理、化學、計算機、生物醫學的相關專業和文科中的財經管理類專業都開設了“高等數學”課程.這門課程對各專業后續課程的學習具有奠基作用.例如，物理學、控制論、流體力學和電動力學等專業課程都要用到“高等數學”中的數學知識.另外，大學生畢業參加工作后也會用到“高等數學”所學的知識，例如，數據分析、機械設計、游戲軟件設計、城鄉規劃、建筑設計、風景園林設計、房地產管理和測量工程等工作領域都涉及“高等數學”知識.

（二）利用各種方法提高學生的學習興趣

興趣是最好的老師，如果能夠激發學生的學習興趣，就能使學生真正成為教學的主體.教師時刻關注學生的思想變化，因材施教，這樣有利于培養學生學習的積極性和主動性，從而提高學生的理論知識和實際操作技能.

“高等數學”是一門抽象的學科，教學內容中概念較多，上課時教師必須注重它的文字講解和邏輯推導，但這樣將導致課堂教學枯燥乏味，學生很容易喪失學習興趣，最終難以達到預期的教學效果.為了解決這個問題，教師在教學時首先應注意面部表情和肢體語言，良好的表情與肢體語言的引導能夠使學生感到輕松、愉悅;其次，學科背景、實際問題和趣味問題的選取，也會激發學生的興趣.因此，如果把握好每個概念觸發興趣的契機，學生學習的效果就有了極大的保障.另外，實際問題或趣味問題的選取，會給學生愉悅的感受.

（三）從直觀到抽象，由特殊到一般

要給出數列極限的定義時，可先引出以下問題：一根1 m 長的木棒第一次平分后，變成兩個長度為1 2 m的木棒;第二次平分，其長度為1 22 m，第三次平分，其長度為1 23 m，如此持續平分下去，我們可知，隨著平分的次數增加，木棒長度越來越小以至于趨向于0，從純數學的角度來說就得出一列數字為：1 2，1 22，1 23，…，1 2n，….隨著自然數的增加，此數列趨向于0，從而可以引出數列極限的定義為：設 {xn}為一數列，如果存在常數a，對任意給定的正數ε（不論它多么小），總存在正整數N，使得當n>N時，不等式|xn-a|<ε都成立，那么就稱常數a是數列{xn}的極限，或者稱數列{xn}收斂于a，記為 limn→∞xn=a.

（四）引經據典，由淺入深

要給出導數的定義時，可先引出以下問題：在自由落體運動中，設在時間t下落的距離為s，則有公式s=〖SX（〗1 2gt2，其中g是固定的重力加速度，要求物體在t0的瞬時速度，可以先求平均速度，即用下落距離的改變量除以時間的改變量：

所求量為函數增量與自變量增量之比的極限.類似問題還有：加速度是速度增量與時間增量之比的極限，角速度是轉角增量與時間增量之比的極限，線密度是質量增量與長度增量之比的極限，電流強度是電量增量與時間增量之比的極限，提出這些問題的共性就可以引出導數的定義為：設函數y=f（x）在點x0的某鄰域內有定義，若 存在，則稱函數f（x）在點x0處可導，并稱此極限為y=f（x）在點x0的導數，從而可知物體在t0的瞬時速度為下落的距離函數在該點的導數.

（五）創新教學模式，培養學生自主學習的能力

傳統的教學模式已經不能滿足這一代的年輕人了，教師也發現課上太多學生玩手機、不聽課，最大的原因就是學生對所學內容不感興趣，因此，需要教師創新教學模式.在教學過程中，教師可以采用多樣化的教學模式，例如，問題驅動型教學模式，其教學效果良好.教師可以課前提出問題，以小組合作為單位，布置預習任務，指導學生課外搜索相關資料，對資料進行分析和歸納.課堂上，教師可以圍繞該知識點提出問題，學生通過查找資料、認真思考等過程解決問題.在這一過程中，教師要不斷激發學生的求知欲，使學生從被動學習變為主動學習.例如，在講解“定積分”時，筆者給學生布置了一項任務：如何求曲邊梯形的面積？

課后有很多學生把思路發給筆者，也有學生覺得這是不可能的.到下一次課的時候，筆者用問題引入的方式來講解.講解這個例子的時候不僅讓學生學會用簡單的方法求出了曲邊梯形的面積，更重要的是引出了定積分的概念，讓學生知道定積分其實可以求曲邊梯形的面積，從而強化了學生的理解能力.

三、熟練掌握抽象的概念和公式

（一）根據教材的內在聯系，優化教學內容

“高等數學”教材，因為面向的是廣大學生，因此，非常重視基礎知識部分.在教學過程中對基礎知識講解過多，可能造成浪費學時的現象，從而導致教學效率低下.因此，根據教材的內在聯系，優化教學內容，是提高教學效率的有效途徑.數學是一門邏輯性強、內容間聯系緊密的課程，學生抓住這個特點能更好地掌握所學內容，熟練應用概念和公式來解決問題.例如，教師在講解函數極限、導數、不定積分、定積分、特別是重積分等概念之后提出思考問題：這些概念的內在聯系是什么？它們有哪些共性、區別？在學生做出解答以后，教師再引導學生復習這些基本概念的定義和計算方法，通過比較共性和找出區別也達到了預期的教學目的，同時還能鍛煉學生的發散性思維和邏輯思維能力.

“高等數學”中的內容內在聯系緊密，例如，函數極限、導數、不定積分、定積分、特別是重積分等概念都有密切的內在聯系，一般情況下前者是后者的基礎，后者是前者內容的延拓或應用、深入展開.所以，講新內容時先回顧之前所學的有關內容，讓學生感覺所講內容并不陌生，激發學生的學習興趣.

（二）公式的應用應該抓住特點靈活運用

“高等數學”中有很多公式，我們不能通過死記硬背公式來掌握與應用，否則已經產生記憶的公式很容易忘記或者無法應用公式來解決問題.而公式的應用應該抓住其特點靈活運用.例如，兩個重要極限為

（三）引入案例教學法

案例教學法是指教師在授課過程中能夠舉出一些典型案例去解決生活、管理、經濟等實際問題.只有當數學問題和實際問題聯系在一起時，學生才能體會數學是有用的，才能激發學生的學習興趣.不過，案例教學法實施起來還是有困難的，需要教師有扎實的數學功底和專業背景，要求學生要去多觀察、多發現本專業的一些實例，結合數學知識來構造問題，從而讓學生體會數學的有用之處.接下來介紹一個具體的案例教學法，此例子是針對經管類學生提出的，讓學生明了“不同計息方式所得利息不同”，推出連續復利并加深重要極限的理解.

“高等數學”課上使用案例教學法是非常有必要的，它不僅可以影響學生的學習興趣，也可能影響教師本身的發展.所以教師有必要收集一些數學教學案例，也可以建立一個案例庫，這些措施可以極大地推進案例教學的實施和開展.“高等數學”的教學教法有很多，本文只介紹了從教學模式方面去介紹“高等數學”教師如何教學.在當今高速發展的信息時代，教師應該培養學生的數據處理能力、數學應用能力和數學創新能力.對學生，不管用什么樣的教學方法，最終目的是社會需要什么樣的人才，就應在教學中著重培養什么樣的人才.

（四）精選例題法

抽象的概念或公式即使講得再深刻、再透徹，也難以使學生迅速地消化吸收.因此，教師應通過課堂舉例這一教學手段幫助學生鞏固新知識.恰當、適時和具有啟發性的例子是課堂教學的關鍵，這樣的例子能開闊學生的思路，加速其對新概念的吸收和消化.相反，課堂教學過程中不顧對象、脫離實際的例子則會使學生摸不著頭腦，不利于學生理解概念和公式，所以如何配合內容精選例題值得教師注意.

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