淺談數(shù)的發(fā)展史

【摘? 要】早在人類社會(huì)初期，人們?cè)卺鳙C、采集果實(shí)等勞動(dòng)中，由于計(jì)數(shù)的需要，就產(chǎn)生了自然數(shù);隨著生產(chǎn)和科學(xué)的發(fā)展，數(shù)的概念也得到了發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】數(shù);發(fā)展史

回顧數(shù)的歷史我們可以發(fā)現(xiàn)，隨著數(shù)系的每一次擴(kuò)張，數(shù)域在不斷擴(kuò)大：自然數(shù)集→整數(shù)集→有理數(shù)集→實(shí)數(shù)集→復(fù)數(shù)集

今天，人們對(duì)從1數(shù)到10這樣的小事會(huì)不屑一顧，然而上萬(wàn)年以前，這事可讓人們煞費(fèi)苦心。人類在最原始時(shí)代就有了數(shù)的意識(shí)，并且指出：“數(shù)有三種基本的用途：計(jì)算、訂購(gòu)和測(cè)量”這些用途是合理的，然而形成數(shù)的概念，卻不容易理解，現(xiàn)代的學(xué)生必須經(jīng)過(guò)十二年的正規(guī)教育才能掌握數(shù)的概念，然而提出這些數(shù)的概念需要花費(fèi)一千年甚至更長(zhǎng)的時(shí)間。

數(shù)是一個(gè)神秘的領(lǐng)域，人類最初完全沒(méi)有數(shù)的概念。而是在漫長(zhǎng)的生活實(shí)踐中，由于記事和分配生活用品等方面的需要，讓人類腦海中逐漸有了“數(shù)量”的影子，才逐漸產(chǎn)生了數(shù)的概念。

很久很久以前，人類的祖先為了生存，往往幾十人在一起，過(guò)著群居的生活。人類的祖先群居在森林里、山洞中，身上披的是獸皮和樹(shù)葉，吃的是山上的野獸、樹(shù)上的野果和河里的魚(yú)蝦，終年靠狩獵為生。它們白天共同勞動(dòng)，搜捕野獸、飛禽或采集果蔬食物;晚上住在洞穴里，共同享用勞動(dòng)所得。在長(zhǎng)期的共同勞動(dòng)和生活中，它們之間逐漸到了有些什么非說(shuō)不可的地步，于是產(chǎn)生了語(yǔ)言。它們能用簡(jiǎn)單的語(yǔ)言?shī)A雜手勢(shì)，來(lái)表達(dá)感情和交流思想。隨著勞動(dòng)內(nèi)容的發(fā)展，它們的語(yǔ)言也不斷發(fā)展，終于超過(guò)了一切其它動(dòng)物的語(yǔ)言。其中的主要標(biāo)志之一，就是語(yǔ)言包含了算術(shù)的色彩，人類先是產(chǎn)生了“數(shù)”的朦朧概念。它們狩獵而歸，獵物或有或無(wú)，于是有了“有”與“無(wú)”兩個(gè)概念。連續(xù)幾天“無(wú)”獸可捕，就沒(méi)有肉吃了，“有”、“無(wú)”的概念便逐漸加深。后來(lái)，群居發(fā)展為部落，部落由一些成員很少的家庭組成。所謂“有”，就分為“一”、“二”、“三”、“多”等四種，任何大于“三”的數(shù)量，它們都理解為“多”或者“一堆”、“一群”。那時(shí)候，雖然每天獵取的食物不多，但仍然有一個(gè)記數(shù)的問(wèn)題。他們獲取的獵物，開(kāi)始只是以“多”和“少”來(lái)區(qū)分。漸漸地，有人想到可以扳著手指頭來(lái)數(shù)數(shù)。因?yàn)槟菚r(shí)每天狩獵的結(jié)果也只是“屈指可數(shù)”的水平。比如捕獲了一頭野獸，就用1個(gè)指頭代表。捕獲了3頭，就用3個(gè)指頭代表。再后來(lái)，狩獵的工具改進(jìn)了，水平也提高了，當(dāng)獵物超過(guò)十個(gè)以后，“屈指”已不可數(shù)，于是又想到在一條繩子上打結(jié)來(lái)記數(shù)。“結(jié)繩記事”也是地球上許多相隔很近的古代人類共同做過(guò)的事。“事大，大結(jié)其繩;事小，小結(jié)其繩。結(jié)之多少，隨物眾寡”。又過(guò)了不知多少年代，人們漸漸感到“結(jié)繩”不但麻煩，而且時(shí)間一長(zhǎng)往往記不清這些“結(jié)”指的是什么了，后來(lái)又改為“書(shū)契”，即用刀在竹片或木頭上刻痕記數(shù)。用一劃代表“一”，用二劃代表“二”，當(dāng)然，這個(gè)“正”字還包含著“逢五進(jìn)一”的意思，就出現(xiàn)了刻劃記數(shù)，它是比結(jié)繩記數(shù)進(jìn)步的一種記數(shù)法。隨著時(shí)間的推移，契也不能滿足生產(chǎn)和生活的需要，人們終于想到要用一些符號(hào)來(lái)表示各種不同的東西和各種東西的數(shù)目，出現(xiàn)了最早的數(shù)字。在國(guó)外，大約在公元8世紀(jì)，有一種印度的數(shù)字傳入阿拉伯，它們是：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。這種數(shù)字后來(lái)又由阿拉伯人傳入歐洲，被歐洲人稱作阿拉伯?dāng)?shù)字。這些數(shù)字符號(hào)，在使用過(guò)程中又經(jīng)人們不斷改進(jìn)，最后演變成現(xiàn)在我們所使用的數(shù)字。

就這樣，在逐步摸索中，祖先從混混沌沌的世界中走出來(lái)了。

數(shù)字的出現(xiàn)，給人們的生產(chǎn)和生活帶來(lái)了極大的方便。但如何用盡量少的數(shù)字來(lái)表示那么多的數(shù)呢？這個(gè)問(wèn)題，是中國(guó)人首先創(chuàng)造了十進(jìn)制記數(shù)法以后，才最終得到圓滿的解決。

人類對(duì)0的認(rèn)識(shí)比較晚。打不到野獸，空手而歸，這是最初對(duì)“0”的印象：空虛、饑餓、一無(wú)所有。在記錄這種情況時(shí)，各民族大多不約而同地用空位來(lái)表示。后來(lái)，又用符號(hào)“□”表示空位，慢慢地就演化成現(xiàn)在的“0”了。

人類認(rèn)識(shí)了自然數(shù)后接著認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)。打獵有時(shí)兩人合作才能獵獲一只兔子，有時(shí)五人合作一共獵獲兩只羊，如何分配這些食物呢？起初，人們只知道“二分一”、“五分二”;后來(lái)，才逐漸形成了分?jǐn)?shù)的概念，記錄下來(lái)，就是“二分之一”“五分之二”……到公元前四、五世紀(jì)時(shí)，分?jǐn)?shù)已在中國(guó)廣泛應(yīng)用了，有些分?jǐn)?shù)還有特殊名稱，如叫半，叫少半，叫大半。

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，算式“2-3”給學(xué)生的印象是不夠減。但學(xué)習(xí)了有理數(shù)的知識(shí)后，學(xué)生就能解決這個(gè)問(wèn)題了。正負(fù)數(shù)的概念也是從生產(chǎn)實(shí)際的需要中產(chǎn)生的。生產(chǎn)發(fā)展了，人們的財(cái)富多起來(lái)，促使人們“互通有無(wú)”，進(jìn)行交換。于是，人們把私有財(cái)產(chǎn)記為正，欠債記為負(fù);收入記為正，支出記為負(fù);運(yùn)進(jìn)記為正，運(yùn)出記為負(fù);超出記為正，不足記為負(fù)……人們從這些具有相反意義的量中抽象出了正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念。負(fù)數(shù)是相對(duì)于正數(shù)而言的。正數(shù)和負(fù)數(shù)既相互對(duì)立，又相互依存。

整數(shù)、分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。對(duì)于自然數(shù)而言，有理數(shù)系是較完美的數(shù)系了。利用它們?nèi)祟惸軌蛴?jì)算物體或物體的一部分，它對(duì)加、減、乘、除（除數(shù)不為零）四種運(yùn)算是封閉的。

古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為：世界上只存在整數(shù)和分?jǐn)?shù)（萬(wàn)物皆數(shù)），除此以外，沒(méi)有別的什么數(shù)了。可是不久就出現(xiàn)了一個(gè)問(wèn)題：公元前500年，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的弟子希伯斯發(fā)現(xiàn)了一個(gè)驚人的事實(shí)，當(dāng)一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是1的時(shí)候，對(duì)角線的長(zhǎng)m等于多少？是整數(shù)呢，還是分?jǐn)?shù)？畢達(dá)哥拉斯和他的門徒費(fèi)了九牛二虎之力，也不知道這個(gè)m究竟是什么數(shù)。世界上除了整數(shù)和分?jǐn)?shù)以外還有沒(méi)有別的數(shù)？這個(gè)問(wèn)題引起了學(xué)派成員希伯斯的興趣，他花費(fèi)了很多的時(shí)間去鉆研，最終希伯斯斷言：m既不是整數(shù)也不是分?jǐn)?shù)，是當(dāng)時(shí)人們還沒(méi)有認(rèn)識(shí)的新數(shù)。從希伯斯的發(fā)現(xiàn)中，人們知道除了整數(shù)和分?jǐn)?shù)以外，還存在著一種新數(shù)。給新發(fā)現(xiàn)的數(shù)起個(gè)什么名字呢？當(dāng)時(shí)人們覺(jué)得，整數(shù)和分?jǐn)?shù)是容易理解的，就把整數(shù)和分?jǐn)?shù)合稱“有理數(shù)”，而希伯斯發(fā)現(xiàn)的這種新數(shù)不好理解，就取名為“無(wú)理數(shù)”。

數(shù)系因生產(chǎn)和科學(xué)發(fā)展的需要而逐步擴(kuò)充，數(shù)集的每一次擴(kuò)充，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科本身來(lái)說(shuō)，也解決了在原有數(shù)集中某種運(yùn)算不是永遠(yuǎn)可以實(shí)施的矛盾：分?jǐn)?shù)解決了在整數(shù)集中不能整除的矛盾，負(fù)數(shù)解決了在正有理數(shù)集中不夠減的矛盾，無(wú)理數(shù)解決了開(kāi)方開(kāi)不盡的矛盾。數(shù)集擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)集以后，人們便能夠解二次甚至某些高次方程，然而一個(gè)最其貌不揚(yáng)的二次方程x2+1=0卻使得數(shù)學(xué)家狼狽不堪。像x2+1=0這樣的方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)是無(wú)解的，難道存在平方為-1的數(shù)嗎？如何解決這個(gè)問(wèn)題？經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的猶豫、徘徊，到了16世紀(jì)，一些勇敢的數(shù)學(xué)家作出了大膽選擇：引入一個(gè)新數(shù)i，把i叫做虛數(shù)單位，并且規(guī)定i2=?1，并從而建立了一個(gè)復(fù)數(shù)系。

到了18世紀(jì)，復(fù)數(shù)理論已經(jīng)比較成熟，人們很自然的想到了這樣的問(wèn)題：復(fù)數(shù)系還可能進(jìn)行擴(kuò)張嗎？是否可以找到一個(gè)可以真包含復(fù)數(shù)系的“數(shù)系”，它們承襲了復(fù)數(shù)系的運(yùn)算和運(yùn)算律？也就是說(shuō)，我們能否進(jìn)一步構(gòu)造一個(gè)包含復(fù)數(shù)系的新的數(shù)系，且使原來(lái)的運(yùn)算性質(zhì)全部保留下來(lái)？一個(gè)很自然的想法是考察一元復(fù)系數(shù)高次方程的解，如果我們能夠找到一個(gè)復(fù)系數(shù)方程，它在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)沒(méi)有解，就有可能得到一個(gè)復(fù)數(shù)系的擴(kuò)張系。

作者簡(jiǎn)介：謝積科，男，渭南市教師進(jìn)修學(xué)校高級(jí)教師，主要研究數(shù)學(xué)教學(xué)方面的內(nèi)容，發(fā)表過(guò)《學(xué)習(xí)新課標(biāo)，感悟新課標(biāo)》《數(shù)學(xué)因生活而完美，生活因數(shù)學(xué)而精彩》等多篇論文。