從基本不等式到“勾股容方”
——HPM視角下的高三“基本不等式”復習課教學

王 劍 (江蘇省無錫市第一女子中學 214001)

汪曉勤 (華東師范大學教師教育學院 200062)

1 引言

復習課是高中數學教學的重要課型之一，高三復習課更是整個數學教學活動中一個重要環節[1]．高三復習課不是已學知識的簡單重復和再現，而是把平時相對孤立、獨立存在、帶有某種規律的知識，以復述、整理、歸納等精細加工的方法串聯起來，加深學生的理解[2]．由于高三復習時間緊、任務重，故而教師的教學模式仍然以講授法為主，忽略了知識發生的自然過程，忽視了學生主觀能動性的發揮和主體地位的體現．因此，在高三復習課中如何處理知識的“源”與“流”，幫助學生串聯基礎知識、掌握基本技能、滲透數學基本思想，就成了亟待解決的問題[3]．

Jankvist認為，數學史是數學教學的指南，不僅可以幫助學生梳理知識發展脈絡，加深學生的數學理解，而且可以幫助學生對比古今思想方法，拓寬學生的數學思維[4]．講述知識的產生，將數學課堂中散落(尤其是不同領域)的知識、問題串聯起來，讓學生系統地理解、掌握和應用，進一步體會其背后蘊含的數學思想，讓數學復習課富有德育價值，煥發勃勃生機[5]．

“基本不等式”是中學數學的重要內容，其運算基本、結構簡單、關系深刻，在不等式的知識體系中具有基礎性地位[6]．在高考中，對于基本不等式的考查往往以具有實際情境的應用題出現[7]，而高三復習中，學生所面對的相關應用題也是層出不窮．但教師很少使用數學史材料，究其原因，一方面教師缺乏恰當的數學史料，另一方面教師已經習慣于常規例題的講解，很少有運用數學史、創新復習課教學方式、豐富復習課教育價值的意識．

鑒于此，本文擬從HPM的視角來實施高三“基本不等式”復習課教學，希望為高三復習課教學以及HPM課例研究提供參考．

2 史料分析

2.1 等周問題

借鑒有關文獻[8]，發現古人曾用周長來推斷城市的大小，公元前5世紀著名歷史學家修昔底德(Thucydides)通過繞島航行一周所需時間來估算西西里島大小．由此引入，在課堂伊始便引發學生思考，在解決古人疑惑的同時，讓學生了解數學的演進．

等周問題的提出與證明最早見于古希臘數學家芝諾多魯斯(Zenodorous)的《論等周圖形》(公元前2世紀)一書，書中證明了如下命題：在邊數相同的等周多邊形中，等邊且等角的多邊形面積最大．通過基本不等式解決這一問題，既回顧了知識，也解決了實際問題．

2.2 均值不等式

圖1 基本不等式的幾何模型

公元3世紀末，古希臘數學家帕普斯(Pappus)在歐幾里得的基礎上給出了更多中項的幾何作圖法．[10]

2.3 勾股容方

該題解法有很多[12]，有關文獻[13]從勾股容方問題出發引出了一系列均值不等式.筆者便嘗試將之引入高三基本不等式復習課，探討不等式的一般解法及基本不等式在這一問題中的應用，從而進一步聯想:若正方形一邊恰在直角三角形斜邊(弦上容方)，則正方形面積如何計算？與原問題所求正方形面積相比，哪一個較大？

3 教學設計與實施

3.1 創設情境，追本溯源

上課開始，教師展示網上拍賣島嶼的圖片 (圖2)，吸引學生的注意．

圖2 兩座不同的海島

師：我在網上看到了不少有意思的圖片，比如“1元拍海外小島，淘寶助你做島主！”現在假如你有1元錢，這兩座小島，你會拍哪一座呢？說說你的看法．

生1：第二座，因為看上去面積比較大．(還有學生坐在下面說，她會拍第一張，因為海灘比較漂亮)(傳來笑聲)

師：看來大家非常善于發現身邊的美．海島很大，古人既沒有航拍圖，也無法測算精確的島嶼面積，他們是怎么確定面積的呢？(停頓片刻)公元前5世紀，雅典人修昔底德測量西西里島大小的時候，乘船繞海岸線一周，記錄航行時間．在修昔底德看來，繞島一周所花費時間越長，海岸線越長，也就說明該島的面積越大.同學們，你們覺得這個方法有數學依據嗎？

生2：有數學依據!海岸線的長度可以通過航行時間乘以船的速度估算出來，時間越長，說明海岸線越長，也就意味著島的周長越長．

師：那么古人的判斷方法是，周長越長的島嶼，其面積也越大．正確嗎？

生眾：不一定正確．

師：測量的時候還碰到一個問題，有兩座島周長相等，哪個面積大呢？聰明的你，怎么幫他解決這個問題？

生3：我們可以觀察上面的圖形，如果想象成矩形，就可以做了．

師：很好的思路，為了讓這個問題更有利于我們現在解決，可以簡化,假設兩個圖形都是矩形．

問題1你能證明“在周長為定值的所有矩形中，面積最大的是正方形”嗎？

3.2 橫縱串聯，多元表征

圖3 課件中展示的幾何模型

師：這里我們從形的角度對基本不等式加以表征.在高二學習“推理與證明”時，我們進一步通過分析法和綜合法，從不等式出發證明了基本不等式，一起來回顧一下(表1)．

表1

問題2如果你成了某座島的島主，上島之后要建一座房子，憑海聽濤，臨風沐雨．要求地基為矩形，占地面積為S，如何設計能使該矩形周長最小？

師：(小結)運用基本不等式需注意“一正二定三相等”.往往看到和為定值或者積為定值時，想到使用基本不等式，有“和定積最大，積定和最小”．

3.3 勾股容方，古題新探

問題3假設在建好的房子附近，有一直角三角形區域，其直角邊分別為5 m和12 m，為了美化環境，你要在其中開辟一個內接正方形區域種植花草，求該正方形的面積．據此提出一個不等式問題，先試著在小組中討論解決．

教師已在課前發放的問卷中，讓學生解決《九章算術》中的“勾股容方”問題(問題3即由該問題改編而成)，并對該問題進行改編，提出新的數學問題．讓學生課前完成，目的有二：一是通過作答情況了解學生對于基礎知識的儲備，便于調整例題難度；二是了解學生對問題的洞察力，培養提出問題的能力．在實際教學中，遵循從特殊到一般的思路進行探索，選擇學生提出的問題作為例題，更能激發學習欲望．

師：我們一起來聽一聽，這位同學是怎么解決課前問題的．

圖4 學生作出的勾股容方圖 圖5 學生對弦上容方的解法

新問題1 如圖4，兩條直角邊分別為5和12的直角三角形ABC中，點D在線段AB上運動，矩形DECF的面積最大值為多少？

注：80%的學生提出這一問題并給予了解答，相信學生已在課前討論交流，所以課堂中僅予以展示，簡單介紹解題思路，并未讓學生詳答．

新問題2 如圖4，正方形邊長為a，若點A在CF延長線上運動，直線AD交CE延長線于點B，是否存在S△ABC的最值，是最大值還是最小值？

圖6 學生提出的問題與給出的問題

師：運用建系的方法解決圖形問題，和大數學家笛卡兒頗為相似，也注意到k的取值范圍和取等的條件，思路非常清晰．不過這個方法和提出這一問題的同學的做法并不一樣，大家想不想“領略”一下？(教師展示該學生的做法，見圖6，部分學生驚嘆)

師：這兩種方法都是非常精妙的，從題目出發，經過分析得到關系式，計算化簡、運用基本不等式得到最值，并研究了等號取得的條件．尤其是這個問題的提出，更是難能可貴，體現了同學們良好的數學素養和問題意識，此時應有掌聲．(學生們微笑，熱烈鼓掌)

新問題3 直角三角形的哪一種內接正方形面積最大？是不是對任意直角三角形都有這個結論呢？

圖7 勾股容方 圖8 弦上容方 圖9 學生對問題的一般化 問題的一般化 解法的優化

師：什么時候等號成立呢？

生10：(補充)好像取不到等號,那也就得到x>y．

師：非常好.在用基本不等式處理函數類問題的時候，一定要注意函數的定義域，也就是注意基本不等式使用的條件．

3.4 總結提煉，開源引流

師：勾股容方問題起源于古人生產和測量的需要，有勾股容方便有勾股容圓，感興趣的同學可以課后繼續探究．“方圓”也是古人常提的二字，“方”為持身中正，“圓”乃上善若水，希望大家帶著數學的眼光觀察事物、分析問題、感悟原理，在高三復習中回顧舊知、探究新知．本節課到此結束．

4 討論

以下，我們利用數學史教育價值的分類框架[14]對本節課中數學史所體現的教育價值進行初步總結．

·知識之諧 一方面，基于海島測量和等周問題的歷史相似性引導學生發現和解決問題，解釋了基本不等式引入的必要性，使得學生進一步學習和理解知識的過程變得自然而然；另一方面，從恒等式、幾何圖形、代數證明等多種方式表征基本不等式，則體現知識之間的橫縱聯系，親身經歷知識的不斷補充、發展的過程，構建良好的知識結構，體現了“知識之諧”．

·方法之美 利用數學史料展現基本不等式的多元表征，拓寬學生的思維．在探索“勾股容方”問題時，學生能夠充分利用數學家的方法，結合所學知識，從幾何、代數兩種不同的角度思考問題，用代數方法解決幾何問題：坐標法、作商法、三角換元法等方法精彩紛呈，彰顯了數學的“方法之美”．

課后對全班45名學生做了問卷調查，關于本節課中印象最深的內容，67%的學生認為“勾股容方”問題及其解決給她們留下了深刻印象，還有學生寫道：“同學們提出的問題和解答的方法非常豐富，讓我印象深刻．”“代數幾何相結合處理勾股容方問題，最后的三角換元法更是精妙．”

·探究之樂 對歷史問題的探索有助于課堂“四基”的達成．從本節課中不難看出，對于學生基礎知識和基本技能的訓練是比較到位的:由半圓模型到基本不等式體現了數形結合的思想，對于勾股容方的探究則體現從一般到特殊、轉化與化歸等基本數學思想.在真實情境中引導學生像數學家一樣深入思考和分析問題，積累了基本活動經驗．隨著提出的問題愈加復雜，“探究之樂”也愈發濃烈．

·能力之助 融入數學史的高三復習課有助于培養學生的核心素養．本課例從小島測量問題出發，通過簡化引出等周問題，是數學建模的過程；用《幾何原本》中的幾何模型表征基本不等式，蘊含了數學抽象和直觀想象的素養；綜合法和分析法的回顧，體現了邏輯推理素養；對“勾股容方”問題的求解則體現了數學運算素養．圖10給出了本節課的設計框架．

圖10 本課例涉及的核心素養

愛因斯坦曾說過：“提出一個問題往往比解決該問題更重要．解決一個問題，可能只不過是一種數學或實驗技能；但要提出新的問題、新的可能性，從新視角看舊問題，需要創造性的想象力，這標志著科學的真正進步．”[15]基于“勾股容方”的問題提出是本節課的前置任務，部分學生從中找到了均值不等式的精彩應用．表1給出了學生所提的典型問題及所用的相應策略．

據統計，80%的學生通過目標操作提出問題，采用其他三種策略的各僅有1名學生，尚有部分學生無法提出問題.這一結果值得深思．

·文化之魅 本節課讓學生看到基本不等式之源，體會到數學在現實生活中的應用，感受到數學背后的多元文化．數學史的融入營造了有“文化味”的高三課堂．

·德育之效 表2給出了本節課所體現的基于數學史的數學學科德育要素以及相應的課堂活動．

表1 基于“勾股容方”的問題提出策略[16]

表2 基于數學史的數學學科德育的落實

課后調查表明，89%的學生認為融入數學史知識的高三復習課能夠激發其學習興趣；對于本節課的德育元素，73%的學生選擇了科學素養、理性精神、美學價值．

5 結語

本課例依托等周問題創設情境，解決了基本不等式的必要性問題；基于“勾股容方”問題設計問題串，達到了“四基”與“四能”的要求，培育了學生的數學核心素養；最后，基于數學史的課堂活動滲透了數學學科德育．總之，數學史的融入造就了精彩的高三課堂． 當然，本次教學實踐中還存在不足之處．首先，依托等周問題，以真實情境引入問題1、2，連貫性緊密，但與勾股容方相結合，在銜接處稍顯生硬；其次，關于直角三角形兩種內接正方形邊長的比較，還有一些巧妙的方法，由于時間關系課上未及展示，留下了些許遺憾．