淺論高等數學的發展歷史及學習方法

馬文娟 許峰 周繼振

[摘 要] 高等數學是大學理工科、管理學、經濟學等專業學生必修的一門非常重要的公共基礎課，也是考研的必考科目。數學是隨著原始人類在長期的生活、生產實踐中逐漸產生的，數學具有嚴密的邏輯性和高度的抽象性。學習高等數學主要是研究它的邏輯思維性，通過信心、決心和恒心掌握其解題思維過程和方式。

[關鍵詞] 高等數學;發展歷史;學習方法

[項目名稱] 安徽省重大教學研究項目“基于網絡教學平臺的公共數學課教學與考試模式的研究”（2017jyxm0181）;安徽省省級教學團

隊“數學建模與數據分析教學團隊”（2017jxtd017）

[作者簡介] 馬文娟（1982—），女，安徽淮北人，安徽理工大學講師，碩士，研究方向：計算機視覺與模式識別。

[中圖分類號] G642.0? ? [文獻標識碼] A? ? [文章編號] 1674-9324（2020）19-0065-02? ? [收稿日期] 2019-09-12

高等數學是大學理工科、管理學、經濟學等專業學生必修的一門非常重要的數學公共基礎課，也是大學生進修為碩士研究生時必考的科目。數學一、數學二和數學三在全國統一的碩士研究生入學考試中，高等數學知識分別占56%、78%和56%。筆者簡要地介紹數學發展的大致歷程，目的是為了使大家更進一步地了解高等數學在數學中所占的重要地位。

第一階段：數學萌芽階段。這個階段起于遠古時代，終止于公元前的5世紀。這一階段對數學的發展做出重要貢獻的主要是中國、巴比倫、埃及和印度。人類由于長期的生產實踐，從而在這個時期積累了很多數學知識，由此逐漸地產生了數的概念，出現了自然數和分數，比較簡單的幾何形狀，如矩形、正方形、圓形、三角形等。也產生了數的運算方式，如記數方法、數的符號、計算方法等。因為天文觀測與田畝度量的需要，促進了幾何學的初步萌芽。由于這些零碎的、片段的知識，既缺乏了邏輯性，又沒有形成完整的、嚴格的體系，因此幾乎看不到演繹推理、命題的證明和公理化系統，這個時期的幾何和數學并未分開。

第二階段：初等數學階段。這個時期即為變量數學時期，從公元前6、7世紀開始，到17世紀中葉結束，整個過程持續了2000多年之久。前一階段與這個階段的區別在于，前者研究客觀世界的個別要素時用的是靜止的方法，而這一時期探究事物變化和發展規律時用的是運動和變化的觀點，算術、初等代數、初等幾何、三角學等在這個時期都已成為獨立的分支。現在中學課程的主要內容大多是這個時期的基本成果。許多聞名世界的大數學家在初等數學時期出現，并在數學領域碩果累累，比如祖沖之、劉徽、李冶、王孝通、朱世杰、秦九韶等人。也出現了數學方面相關的著作，尤其是《九章算術》在中國數學歷史上甚至在世界數學歷史上都占有舉足輕重的地位，受到中外數學家的高度重視。我國數學研究在世界上長期處于領先地位。

第三階段：高等數學階段。這個時期即為變量數學，開始于17世紀中葉笛卡爾解析幾何的誕生，19世紀中葉終止。和前一階段的主要區別是，前一時期研究客觀世界的個別要素時用的是靜止的方法，而這一時期探究事物變化和發展的規律用的是運動和變化的觀點。在這個時期里，伴隨著數學中進入了變量與函數的概念，微積分產生了。這個時期雖然也出現了新的數學分支比如射影幾何和概率論等，但似乎都被微積分過分強烈的光芒遮蓋了它們的光彩。

第四階段：現代數學時期。這個時期從19世紀中葉開始，以幾何、代數、數學分析中的深刻變化為標志。后來代數、幾何、數學分析變得越來越抽象，此時幾何得到了新發展，擴大了幾何的應用范圍和對象;產生了非歐幾里得幾何;提出了無限維空間的概念。代數擴展了所研究的“量”，提出了群、域、環和抽象代數。分析中也產生了新方向、新理論，如實變函數論、函數逼近論、復變函數論、微分方程定性理論、泛函分析、積分方程論等相繼出現，促進了分析學的發展躍上了一個新階段。

在大家了解了高等數學發展的歷史過程后，再來談談大學生怎樣才能學好高等數學，主要從以下五個方面來論述。

1.一個高中生進入大學后，要盡快適應新的環境，不僅從心理上適應，同時還要注意中學時學習方法的改變。進入大學學習后，學習方法上將需要進行很大的轉變。首先會不適應大學的教學方式方法，對于高等數學這門課反應非常明顯，由于這門課對于大一新生來講理論性特別強，而他們在中學習慣于單一性和模仿性的學習方法，這是一直以來形成的習慣，一時之間很難改變。大學的教學方式方法與中學千差萬別，中學的學生是在老師的直接指導下實施單一的學習和模仿，而大學生進行的是創造性學習，比如，中學生學習數學是完全按照課本的內容，學生在課堂上聽老師講課，對記筆記不作要求。老師講課慢而且詳細，舉的例題多，課后只要求根據課上講述內容會做課后習題即可，對學習其他參考書不做要求。

2.大學生要注意高等數學與中學數學的區別和聯系，中學數學的課程主要是從具體數學轉變到概念化數學。中學數學課程以大學微積分做準備為宗旨。數學的學習過程是由具體到抽象，再由特殊到一般的漸進過程。由數延伸到符號，即名稱為變量;由符號之間的關系延伸到函數，符號代表了對象之間的關系。高等數學首要做的是幫助學生建立變量間關系的表述方式，即函數概念。中學生的理解力是從常量延伸到變量、從描述延展到證明、由具體情形延伸到一般方程，由此解開了數學符號的奧妙之處。

3.為了適應21世紀的教學改革，對高等數學課程的教學也作了很大的改變，打破了傳統的教學手段，加入了更加形象化和具體化的現代教育技術，一般中學并不具有這樣的條件，故大一新生既要注意中學數學和高等數學內容的聯系與區別，又要了解高等數學教學上有哪些新特點。按照上課老師的嚴格要求，認真學習高等數學的每一節課。

4.由于高等數學具有嚴密的邏輯性和高度的抽象性，不可能全靠老師課堂上的講解，學生就能全部掌握。有些內容一時很難掌握，比如三大微分中值定理，不定積分，無窮小和無窮大等，這需要每個同學反復思考，反復琢磨，反復鉆研，反復訓練。要想從一無所知到一知半解再到牢固掌握，需要比較正反例子，從中悟出一些道理。

5.學好高等數學做大量的習題是十分必要的，是非常有效而且是最為重要的手段。當代著名數學家，也是教育家波利亞指出：“智力是人類的天賦，而解題就是智力的特殊成就，可以說人類最富有特征性的活動就是解題。”做習題是復習、聽課的繼續，也是為了檢驗自己復習、聽課的效果，更是提高運算能力的培養，是綜合運用所學知識去分析和解決問題的重要方式。有些同學做習題前根本不復習，認為只要能做出來就行了，事實并非如此。首先，習題的內容并不能涵蓋所學的全部知識點;其次，建立起有關知識的系統結構并不能僅靠做習題;再次，做習題前不復習，常常是做到哪兒，就翻到哪地方的書、筆記，造成的結果是作業做得既慢又差，自此以后一旦脫離筆記和書本，就會感到無所適從，一片茫然。必須指出的是：學習方法不是唯一的，沒有完全固定的模式。怎樣學習效果最好，還要因人而異。就如同我國著名的數學家陳景潤所言，“學習要有三心：一信心，二決心，三恒心。”做題也不能完全只靠一個人在那兒苦想，有時候鉆了牛角尖走進了死胡同就很難從中走出來，如果自己實在做不出來時，可以問問同學還有老師，很可能就茅塞頓開、豁然開朗了。已經做過的題目，如果自己覺得題目很典型，可以把它記錄在筆記本上，重點解析解題過程，分析其中的思維方式等等，空暇時間可以翻看一下，進一步加深印象。學習高等數學不單是為了考試考得好，主要研究其中的邏輯思維性，因此不能以解出答案為目標來學習。

參考文獻

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[3]許峰，范自強.高等數學（上冊）[M].北京：人民郵電出版社，2016.

[4]崔瑞剛.高等數學教學改革中的問題與對策[J].數學理論與應用，2002（4）.

Analysis of the Development History and Learning Methods of Advanced Mathematics

MA Wen-juan， XU Feng， ZHOU Ji-zhen

（School of Mathematics and Big Data， Anhui University of Science and Technology，

Huainan， Anhui 232001，China）

Abstract：Advanced Mathematics is a very important required public basic course for students majoring in science and engineering， management， economics， etc. It is also a necessary subject in the postgraduate entrance examination. Gradually coming into being in human being's life and production history， mathematics is strictly logical and highly abstract. Hence learning Advanced Mathematics mainly involves studying its logical thinking and mastering its process and methods of problem solving.

Key words：Advanced Mathematics; development history; learning method